第 7章 力 法
§ 7-1 概述
§ 7-2 力法的基本概念
§ 7-3 超静定刚架和排架
§ 7-4 超静定桁架,组合结构
§ 7-5 对称结构的计算
§ 7-6 超静定拱
§ 7-7 支座移动,温度变化的计算
§ 7-8 具有弹性支座的计算
§ 7-9 超静定结构位移的计算
§ 7-10 超静定结构计算的校核
§ 7-11 静定,超静定结构特征比较主要内容
1） 超静定结构拱组合结构
§ 7-1 概述
—— 由于有多余约束，其反力、内力不能由静力平衡条件全部确定的结构。
—— 几何不变，有多余约束。2）特征
3）超静定结构的类型桁架超静定梁刚架
（ 1） 超静定次数 —— 结构多余约束或多余未知力的数目,即为超静定次数 。
（ 2） 确定超静定次数的方法 —— 通过去掉多余约束来确定 。 （ 去掉 n个多余约束,即为 n次 超静定 ） 。
（ 3） 去掉 （ 解除 ） 多余约束的方式
4）超静定次数确定
a、去掉或切断一根链杆 —— 去掉 1个约束（联系）；
X1
§ 7-1 概述
b、去掉一个单铰 —— 去掉 2个约束；
c,切断刚性联系或去掉一个固定端 —— 去掉 3个约束；
X1
X2
§ 7-1 概述
X1
X2
X3
X1
X2
d、将刚性连结改为单铰 —— 去掉 1个约束。
注意事项
（ 1）对于同一超静定结构，可以采取不同方式去掉多余约束，而得到不同形式的静定结构，但去掉多余约束的总个数应相同。
（ 2） 去掉多余约束后的体系,必须是几何不变的体系,因此,某些约束是不能去掉的 。
§ 7-1 概述
（ 4）对于复杂结构，可用计算自由度的方法确定超静定次数
① 组合结构,23n h r m
23
2 5 3 3 4
1
n h r m
n — 超静定次数； m — 刚片数；
h — 单铰数； r — 支座链杆数。
例：确定图示结构超静定次数。
此链杆不能去掉此两链杆任一根都不能去掉
§ 7-1 概述该结构为一次超静定结构
② 桁架结构：
n — 超静定次数； j — 结点数；
b — 杆件数； r — 支座链杆数 。
例：确定图示桁架超静定次数 。
2
(1 3 3 ) 2 7
2
n b r j
2n b r j
该结构为二次超静定结构。
§ 7-1 概述
③ 框架结构：
n — 超静定次数；
f — 封闭框格数；
h — 单铰个数 。
例：确定图示结构的超静定次数 。
3n f h
3 3 1 0 3n f h
3 3 6 7 1 1n f h
该结构为 3次超静定结构该结构为 11次超静定结构
§ 7-1 概述
21
1111
q
q
§ 7-2 力法的基本概念
1） 解题思路 —— 将超静定问题转化为静定问题求解
（ 1）确定超静定次数
—— 具有一个多余约束，原结构为一次超静定结构。
（ 2）取基本体系
—— 去掉多余约束（链杆 B），代之以多余未知力 X1。
A B
l
原结构基本体系 X1
例：图示单跨超静定梁
X1 — 称为力法的基本未知量。
2）解题步骤
A B
（ 3）求基本未知量 X1
=
A B
X1=
+
① 建立变形协调方程
Δ 11：由多余未知力 X1单独作用时，基本结构 B点沿 X1方向产生的位移
Δ 1P：由荷载 q单独作用时，基本结构 B点沿 X1方向产生的位移由迭加原理，上式写成：
Δ1 ＝ Δ11＋ Δ1P＝ 0
—— 变形协调方程。
基本体系与原结构在去掉多余约束处沿多余未知力方向上的位移应一致，即,Δ1 ＝ 0
§ 7-2 力法的基本概念
q
A B
l
q
q
A
B 11?
1 P?A
B X
1
=
B
B
X1
=
+
§ 7-2 力法的基本概念由于 X1是未知的，△ 11无法求出，
为此令,△ 11= δ11× X1
δ 11—— 表示 X1为单位力时，
在 B处沿 X1方向产生的位移。
式,Δ1 ＝ Δ11＋ Δ1P＝ 0
可改写成：
δ11X1＋ Δ1P＝ 0
式中 δ11,Δ1P被称为系数和自由项，可用求解静定结构位移的方法求出。
一次超静定结构的力法方程
1× X1
A
A 1 P?
q
B
l
q
q
X1
A B
A
11?δ
11X1
② 求系数 δ 11,自由项 Δ 1P
由图乘法,得：
11
11
MM ds
EI
2312
2 3 3
lll
E I E I
1
1
2
1 1 3
3 2 4
p
P
MM
ds
EI
qL L
L
EI
4
8
ql
EI
δ 11 Δ 1P—— 均为静定结构在已知力作用下的位移，故可由积分法或图乘法求得。
A B
l M
1 图作,图,M MP
2
2
ql
MP图
l
A B
§ 7-2 力法的基本概念
③ 将 δ11,Δ1P代入力法方程，求得 X1
由上式,得：
1 1 pM M X M
④ 按静定结构求解其余反力、内力、绘制内力图其中：
（ 与所设方向一致 ）
δ11X1＋ Δ1P＝ 0
3
8
ql
43
1
1
11
/
83
p q l lX
E I E I?
—— 迭加原理绘制 A Bl
q
M图
2
8
ql
§ 7-2 力法的基本概念
3）力法概念小结解题过程
（ 1） 判定超静定次数,确定基本未知量；
（ 2） 取基本体系；
（ 3） 建立变形协调方程 （ 力法方程 ） ；
（ 4）求力法方程系数、自由项（作 Mp,M图）；
（ 5）解力法方程，求基本未知量（ X）；
（ 6） 由静定的基本结构求其余反力、内力、位移。
§ 7-2 力法的基本概念力法的特点
（ 1） 以多余未知力作为基本未知量,并根据基本结构与原结构变形协调的位移条件,求解基本未知量；
（ 2） 力法的整个计算过程自始至终都是在基本体系上进行的 。 因此,就是把超静定结构的计算问题,转化成了前面已学习过的静定问题；
（ 3） 基本体系与原结构在受力,变形和位移方面完全相同,
二者是等价的 。
（ 4） 基本体系的选取不是唯一的 。
§ 7-2 力法的基本概念
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
0
0
p
p
XX
XX
（ 3）根据变形条件，建立力法方程
—— 二次超静定结构的力法方程
B
A
q
C
基本体系
X2 X1
L
L
q
A
BC
原结构
4） 力法的典型方程
—— 多次超静定结构讨论解：（ 1）超静定次数,2次
（ 2）选择支座 B的约束为多余约束，取基本体系如图所示。
例：图示一超静定结构 。
§ 7-2 力法的基本概念
δ11,δ12,Δ1P——,和荷载分别单独作用于基本体系时,B点沿 X1方向产生的位移；
X1＝ 1 X2＝ 1
δ11
δ21
δ12
δ21
Δ1P
Δ2P
δ21,δ22,Δ2P——,和荷载分别单独作用于基本结构时,B点沿 X2方向产生的位移；
X1＝ 1 X2＝ 1
荷载作用
X2＝ 1作用
X2＝ 1
X1＝ 1作用
X1＝ 1
A
C
B
q
C
B
A
C
B
A
§ 7-2 力法的基本概念
（ 4）求系数、自由项
11
11
cyMM ds
E I E I
12
1 2 2 1
cyMM ds
E I E I
22
22
cyM M d s
E I E I
1
1
p c
p
MM yds
E I E I
2
2
p c
p
MM yds
E I E I
—— 上述各系数和自由项均可由上式积分或通过,,图的图乘求得 。MPM2M1
（ 5）解力法方程，求基本未知量,X1,X2。
§ 7-2 力法的基本概念推广至 n次超静定结构
（ 1） 力法方程 —— 力法典型方程
11 1 12 2 1 1 1
21 1 22 2 2 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
0
0
0
0
i i n n p
i i n n p
i i ii i in n ip
n n ni i nn n np
X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
注：对于有支座沉降的情况，右边相应的项就等于已知位移（沉降量），而不等于零。
§ 7-2 力法的基本概念
（ 2）系数（柔度系数）、自由项主系数 δii(i ＝ 1,2,…n) —— 单位多余未知力单独作用于基本结构时，所引起的沿其本身方向上的位移，恒为正；
Xi＝ 1
副系数 δij(i ≠j)—— 单位多余未知力单独作用于基本结构时，所引起的沿 Xi方向的位移，
可为正、负或零，且由位移互等定理,δij =δji
Xj＝ 1
§ 7-2 力法的基本概念自由项 Δ i P —— 荷载 FP单独作用于基本体系时,所引起 Xi方向的位移,可正,可负或为零 。
（ 3） 典型方程的矩阵表示
111 1 1
1
0
pn
n nn n np
Δδ δ X
δ δ X Δ
（ 4）最后弯矩
1212 nnM X M X M X M
§ 7-2 力法的基本概念
§ 7-3 超静定刚架和排架
1） 刚架以图示刚架为例解,● 判定超静定次数，
选择基本体系
X2
X1
原结构为：二次超静定拆去 A端的固定支座，以多余未知力 X1,X2代之，
其基本体系如图所示。
原结构
C B
A
D
2I
I
a
a/2
a/2
FP
BF
P
C
A
D
2I
I
基本体系
● 根据基本体系与原结构变形协调条件,建立力法方程 。
由水平位移 Δ 1 ＝ 0
垂直位移 Δ 2 ＝ 0
—— 力法典型方程
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
0
0
p
p
XX
XX
得：
原结构
C B
A
D
2I
I
a
a/2
a/2
FP
BF
P
C
A
D
2I
I
基本体系
X1
X2
§ 7-3 超静定刚架和排架注：计算系数和自由项时,对于刚架通常可略去轴力和剪力的影响,而只考虑弯矩一项,为此,只需绘出弯矩图 。
X1＝ 1
M1图
2P
Fa
Mp图
X2＝ 1
M2图
● 作基本体系的 图，求系数及 自由项12
PM M M
2I
C B
A
I
FP
C B
A
2I
I
a
C BI
2I
A
a
§ 7-3 超静定刚架和排架
32211 1 1 2 1 7 2 2 3 6 aa a a aE I E I E I
3
2
22
1 1 2
2 3 3
aaa
E I E I?
3
2
1 2 2 1
11
22
aaa
E I E I
利用图乘法，可求得：
2P
Fa
Mp图
FP
C BI
2I
A
X1＝ 1
M1图
2I
C B
A
I
a
X2＝ 1
M2图
C B
A
2I
I
a
§ 7-3 超静定刚架和排架
● 将系数,自由项代入方程中,求得多余未知力
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
0
0p
p
XX
XX
§ 7-3 超静定刚架和排架解得,1
2
17
40
9
80
P
P
XF
XF
12
12
7 1 5 3
0
6 2 9 6
1 1 1
0
2 3 4
P
P
X X F
X X F
● 求内力图
（ 1） M图 — 由
31 7 9
4 0 8 0 2 8 0
PP
B C P P
F a F aM F a F a
31 7 9 0
4 0 8 0 2 4 0
PP
C B P P
F a F aM F a F
1717 00
4 0 2 8 0
P
DP
FaaMF
0ACM?
317
4 0 2 4 0
PP
C A P
F a F aM F a
§ 7-3 超静定刚架和排架
1212 pM M X M X M
迭加原理绘制
a
a/2
a/2
FP
340
PF
1780
PF
380
PF
M图
（ 2） FQ图 — 可由基本体系逐杆,分段定点绘制,也可利用 M图绘制 。
§ 7-3 超静定刚架和排架
98PF
FQ图A
BF
P
C
D
2I
I
基本体系X
1 X
2
2340PF
1740PF
○
○ +
B
C
A
D
○ +
340
PF
1780
PF
380
PF
M图A
D
C
B
（ 3） FN图 — 可由 FQ图中取出结点，由平衡方程求得各杆 FN，同杆也可以由基本体系逐杆，分段求得。
FQCB
FNCB
FNCD
取 C结点：
FQCA
2340PF
FN图98PF
B
C
A
D
98PF
FQ图
2340PF
1740PF
○ +
B
C
A
D
○ +
○
○
○
00
N C B Q C A N C A Q C B
XY
F F F F
§ 7-3 超静定刚架和排架说明：
1） 超静定结构在载荷作用下,其内力与各杆件 EI的具体数值无关,只与各杆 EI的比值 （ 相对刚度 ） 有关；
2） 对于同一超静定结构,其基本结构的选取可有多种,
只要不为几何可变或瞬变体系均可 。 然而不论采用哪一种基本体系,所得的最后内力图是一样的 。
A
BF
P
C
D
2I
I
基本体系 1X
1 X
2
X1X
2
A 基本体系 2
C B
D
2I
I
FP FP
基本体系 3
X2 X1
如前面的刚架：
§ 7-3 超静定刚架和排架
2）排架 —— 单层工业厂房
（ 1） 排架结构与计算简图结构形式 计算简图基础柱子桁架
EA=∞
§ 7-3 超静定刚架和排架
2）排架 —— 单层工业厂房
（ 1） 排架结构与计算简图结构形式 计算简图基础柱子桁架
EA=∞
§ 7-3 超静定刚架和排架
（ 2）计算假定计算横向排架（受侧向力作用的排架），就是对柱子进行内力分析。通常作如下假设：
认为联系两个柱顶的屋架（或屋面大梁）两端之间的距离不变，而将它看作是一根轴向刚度为无限大（即
EA=∞ ）的链杆。
计算简图
EA=∞
§ 7-3 超静定刚架和排架
（ 3）计算方法及步骤
● 将横梁作为多余约束,并将其切断,代之以多余反力,得到基本结构；
● 作 Mp,图，求系数及自由项；M
● 解力法方程，求出多余未知力；
● 按静定问题求作最后内力图。
● 利用切口处相对位移为零的条件，建立力法方程；
§ 7-3 超静定刚架和排架
（ 4）举例计算图示两跨排架，作出弯矩图。
E＝ C,I2＝ 5I,h1＝ 3m,h2＝ 10m,ME=20KN·m，
MH＝ 60KN·m,CD杆,HG杆的 EA=∞。
DC
原结构
I1
I1I1
I2 I2
h1
h2
A B
E H
ME M
H
F
G
X1
X2
DC
基本体系
I1
I1I1
I2 I2
h1
h2
A B
E H
ME M
H
F
G
§ 7-3 超静定刚架和排架
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
0
0
p
p
XX
XX
解：（ 1）此排架为二次超静定，选取基本结构如图。
（ 2）建立力法方程。
（ 3）作,,图，
求系数及自由项。
1M 2M pM
X1
X2
DC
基本体系
I1
I1I1
I2 I2
h1
h2
A B
E H
ME M
H
F
G
§ 7-3 超静定刚架和排架
X2=1
M1图
Mp图
X1=1 DC
A B
E H
F
G
20 60
DC
A B
E H
F
G
DC
A B
E H
F
G
10 10
3 7 7
M2图
20 60
§ 7-3 超静定刚架和排架
M1图
X1=1 DC
A B
E H
F
G
10 10
3
X2=1
DC
A B
E H
F
G
7 7
M2图
Mp图
20 60
DC
A B
E H
F
G
20 60
§ 7-3 超静定刚架和排架由图乘法，得：
2 2 2
11
21
2
1 1 2 1 2 1 1 2
1 0 1 0 3 3 3 3 2
2 3 2 3 2 3
7 3 8 7
E I E I
.
EI
M1图
X1=1 DC
A B
E H
F
G
10 10
3
§ 7-3 超静定刚架和排架
2
22
2 1 2
1 1 2 1 1 2 6 8 67 7 7 7 7
2 3 2 3E I E I E I?
2
1 2 2 1
22
1 1 2 1 8 7,87 7 3
23E I E I
X2=1
DC
A B
E H
F
G
7 7
M2图M1图
X1=1 DC
A B
E H
F
G
10 10
3
§ 7-3 超静定刚架和排架
1
22
1 7 7 3 6 4 02 0 7 3 6 0 7 3
22p E I E I
2
2
22
1 1 1 4 7 07 6 0
2p E I E I
Mp图
20 60
DC
A B
E H
F
G
20 60
X2=1
DC
A B
E H
F
G
7 7
M2图
M1图
X1=1 DC
A B
E H
F
G
10 10
3
§ 7-3 超静定刚架和排架
（ 4）解力法方程，求多余未知力解得：
12
12
7 3 8,7 1 8 7,8 3 6 4 0 0
1 8 7,8 6 8 6 1 4 7 0 0
XX
XX
1
2
4,6 3 7 k N
0,8 6 6 k N
X
X
1212 pM M X M X M
（ 5）由迭加法绘制弯矩图
§ 7-3 超静定刚架和排架
M图
26.37
13.91
6.06 7.50
6.09 46.09
E H
DC
A B F
G
§ 7-4 超静定桁架、组合结构
（ 1） 解题步骤及相关公式
a,判定超静定次数,选取基本体系
—— 切断多余桁架杆 。
b,根据切口处变形协调条件,建立力法方程 。
—— 切口两侧截面相对轴向线位移应为零 。
c,求力法典型方程中的系数 和自由项 。
—— 分别求出基本结构在单位多余未知力和载荷作用下各杆的内力 和 NP，然后利用静定桁架位移计算公式求 解 。
Xi＝ 1
N
1）桁架
d,解力法方程,求出多余未知力 Xi
e,求出各杆最后轴力 —— 按迭加法求得即：
NN ijNN ii
ii ij
N N pi
ip
FFFF
ll
EA EA
FF
l
EA
即：
1212N N N N n N pnF F X F X F X F
1
n
N i N pi
i
F X F
§ 7-4 超静定桁架、组合结构
（ 2）例题求图示超静定桁架的内力,EA为常数 。
解,a、确定超静定次数，取基本体系。
a
a
C
A D
B
原结构
FP
一次超静定，切断 BC杆
b、建立力法典型方程
1 0
由：
1 1 1 1 0pX
得：
X1
§ 7-4 超静定桁架、组合结构
FP
基本体系
c、求各杆的,及,
11? 1p?1NF NpF
其系数、自由项为：
2211 14 4 1 2 2 2 1 2NN iiFF al a aE A E A E A
§ 7-4 超静定桁架、组合结构
X1
-1
-1 -1
-1
2 2
1F 图
2 PF?
FP
FP
NPF
图
11 21 2 1 2 2 2 1 2N N p Pp P PFF Fal F a F aE A E A E A
FP
d、解方程，求 X1
e,求各杆最后的轴力
1
1
11
/2p pXF
1 1NN N pF F X F
§ 7-4 超静定桁架、组合结构
FP
2
2 PF
2
2 PF?
FN 图
1
2 PF
1
2 PF?
1
2 PF?
1
2 PF
其中：
11 1 022
PP
N B C N p
FFF X F
2）组合结构
（ 1） 解题要点及公式其解题步骤与桁架基本相同,
但对于系数和自由项的计算略有不同 。 对于梁式杆计弯矩的影响,
对于链杆计轴力的影响 。
、,
的计算公式：
ii? ij? ip?
iiNN
ii
ii
ijNNij
ij
i
N N p pi
ip
FF MM
l d s
E A E I
FF M M d s
l
E A E I
F F M M
l d s
E A E I
组合结构梁式杆杆链
§ 7-4 超静定桁架、组合结构
A
C
D
B
2）例题求所示组合结构的内力 。
1 0
1 1 1 1 0pX
解,a、取基本体系
b、列力法方程原结构基本体系该结构为一次超静定，切断 CD杆，代之以 X1 。
§ 7-4 超静定桁架、组合结构
A
由：
得：
L/2 L/2
aa
A
C
D
B
EI1
A2
A1
A3
q kN/m
C
D
B
EI1
A2
A1
A3
q kN/m
X1
（ 3）计算 δ 11,Δ 1P
11( ) Na F M,图
§ 7-4 超静定桁架、组合结构
a/2h a/2h
11
2
2
2 3 1
33
2 2 3
1
-1 2 1 22
2
2 2 4 3 4
2 48
ii
NN ii
FF MM
l ds
E A E I
a
h l l lh
a
E A E A E I
h a l
E A h E A E I
L/4
A
C
B
EI1 A1
D
A2 A3X1=1-1
L/4
（ 3）计算 δ 11,Δ 1P
11( ) Na F M,图
( ) F N P PbM,图
§ 7-4 超静定桁架、组合结构
A
C
D
B
EI1
A2
A1
A3
X1=1a/2h a/2h-1
0 0 0
qL2/8
1
4
1
4
1
5
0
384
5
384
N N p i pi
p
F F M M
l d s
E A E I
ql
-
EI
ql
EI
（ 4）解力法方程，求 X1
（ 5） 求最后的内力 N,M
由迭加法求得
1
1
11
pX
11N N N pF F X F
1 1 pM M X M
§ 7-4 超静定桁架、组合结构
FN,M图
aX1/2h aX1/2hX1
LX1/4× qL2/8
§ 7-5 对称结构的计算
1,对称结构
3EI3EI
EI EI2EI
3EI
EIEI
1）定义 —— 结构的几何形状、支承状况和各杆的刚度
（ EI,EA）均对称于某一轴线，这种结构被称为对称结构。
2）两类问题 —— 正对称与反对称问题
（ 1） 正对称问题 —— 对称结构在正对称载荷作用下的情况
（ 2） 反对称问题 —— 对称结构在反对称载荷作用下的情况
§ 7-5 对称结构的计算
（ a）正对称
FPFP FP FP
（ b）反对称
2、正对称问题
（ a）原结构 （ b）基本体系
§ 7-5 对称结构的计算
FPFP
3
3
L
FPFP
3
3
L
X1
X2
X3
1 1 1 1 2 2 1 3 3 1
2 1 1 2 2 2 2 3 3 2
3 1 1 3 2 2 3 3 3 3
0
0
0
p
p
p
X X X
X X X
X X X
力法方程：
6 6
L/2
L/2L/2
11
1
3FP 3FP
作 图，求系数与自由项：M
pM
§ 7-5 对称结构的计算
FPFP
MP图
X1=1
M1图
X2=1 X3=1
M2图 M3图
§ 7-5 对称结构的计算
3FP 3FP
FPFP
MP图
6 6
X1=1
M1图
L/2
L/2L/2
X2=1
M2图
1
11
X3=1
M3图
1 2 2 1 2 3 3 2
2
00
0P
由上可见,MP,M1,M3图是正对称的,M2图是反对称的，由图乘可知：
由 ② 式得,X2=0
§ 7-5 对称结构的计算力法方程变成：
1 1 1 1 3 3 1 0 pXX
2 2 2 0 X
3 1 1 3 3 3 3 0 pXX
①
②
③
结论：
结构对称，荷载对称，在结构的对称点处，只有对称的内力存在，反对称的内力等于零。
因此上述结构在对称荷载作用下，是 2次超静定的。
3、反对称问题
§ 7-5 对称结构的计算
（ a）原结构
FPFP
3
3
L
1 1 1 1 2 2 1 3 3 1
2 1 1 2 2 2 2 3 3 2
3 1 1 3 2 2 3 3 3 3
0
0
0
p
p
p
X X X
X X X
X X X
力法方程：
（ b）基本体系
FPFP
3
3
L
X1
X2
X3
3FP 6 6
L/2
L/2L/2
11
1
3FP
作 图，求系数与自由项：M
pM
§ 7-5 对称结构的计算
FPFP
MP图
X1=1
M1图
X2=1 X3=1
M2图 M3图
§ 7-5 对称结构的计算
3FP3FP
FPFP
MP图
6 6
X1=1
M1图
L/2
L/2L/2
X2=1
M2图 1 1
1 X3=1
M3图由上可见,M1,M3图是正对称的,M2,MP图是反对称的，由图乘可知：
1 2 2 1 2 3 3 2
13
00
0PP
由 ①,③ 式得,X1=X2=0
§ 7-5 对称结构的计算力法方程变成：
1 1 1 1 3 3 0 XX
2 2 2 2 0 PX
3 1 1 3 3 3 0 XX
①
②
③
结论：
结构对称，荷载反对称，在结构的对称点处，只有反对称的内力存在，对称的内力等于零。
因此上述结构在反对称荷载作用下，是 1次超静定的。
4、未知力分解与载荷分解
1）未知力分解对于对称的超静定结构，虽然选取了对称的基本结构，
但若载荷是非对称的，那么，多余未知力对结构的对称轴来说却不是正对称或反对称的，因此，有关副系数不可能为零，因而，达不到简化计算的目的。
对于这种情况，为使副系数尽可能多的等于零，
采用将未知力分解（分组）以实现这一目的。
§ 7-5 对称结构的计算
§ 7-5 对称结构的计算
FP
Y1
X2
FP
原结构 基本体系
=
Y1
X1
Y2 Y2
基本体系
=
FP
X1=Y1+Y2
X2=Y1－ Y2
§ 7-5 对称结构的计算
Y1=1
Y2=1 Y2=1
FP
MP图
Y1=1
M1图
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
P
P
X
X
力法方程：
两个独立方程
M2图
2）载荷分解当对称结构承受一般非对称载荷时，除了可将未知力分解外，还可将载荷分解为正，反对称的两组，以实现简化计算的目的。
FP
+=
§ 7-5 对称结构的计算原结构 正对称 反对称
FP/2 FP/2 FP/2FP/2
（ b）正对称
+
=
§ 7-5 对称结构的计算
qF
P
（ a）原结构
L L
EI EI
L L
EI EI
FP/2 FP/2q/2
L L
FP/2
FP/2q/2
q/2
（ b）反对称例：利用对称性计算图示结构。
所有杆长均为 L,EI也均相同。
F P / 2
F P / 4 F P / 4F
P / 2
F P / 4 F
P / 4
F P
原结构解,1、由于该结构的反力是静定的，
求出后用反力代替约束。
2、该结构有两根对称轴，因此把力变换成对称与反对称的。
F P / 2 F P / 2
F P
= =
F P / 2
F P / 4 F P / 4F
P / 2
F P / 4F P / 4
+
原结构 =对称 +反对称
§ 7-5 对称结构的计算对称情况，只是三根柱受轴力，
由于忽略向变形，不会产生弯矩，
因此不用计算。
反对称情况，在荷载作用下，
梁会发生相对错动，因此会产生弯矩。
该结构有两根对称轴，对于竖向对称轴，荷载是对称的，对于水平对称轴荷载是反对称的。
F P / 2
F P / 4 F P / 4F
P / 2
F P / 4 F
P / 4
F P / 2
F P / 4 F P / 4F
P / 2
F P / 4F P / 4
+
原结构
§ 7-5 对称结构的计算
§ 7-5 对称结构的计算
F P / 2
F P / 4 F P / 4F
P / 2
F P / 4F P / 4
X1 X1
基本体系反对称情况的基本体系如图所示。
该结构应是 6次超静定的，
但由于荷载相对水平轴是反对称的，因此切开的截面处只有反对称的内力存在，即只有剪力。
又由于荷载对于竖向对称轴是对称的，因此两个多余未知力应该大小相等，方向相反。
综上所述，该结构在所示荷载作用下是 1次超静定的。
§ 7-5 对称结构的计算
F P / 2
F P / 4 F P / 4
F P / 2
F P / 4F P / 4
MP图
X1=1 X1=1
M1图力法方程：
1 1 1 1 0PX
后续计算省略。
两铰拱为一次超静定结构，取简支曲梁为基本体系。
（ 2）建立力法典型方程
§ 7-6 超静定拱
1,无拉杆两铰拱计算如图所示两铰拱 。
1 1 1 1 0pX
原结构
x1
基本体系（曲梁）
（ 1）确定超静定次数
L
f
FP2FP1 FP2FP1
§ 7-6 超静定拱原结构
o
y
x
X1=1y
φ
L
f
FP2FP1
基本体系（曲梁）
x
（ 3）计算系数及自由项在 X1=1的作用下，曲梁的受力性能与拱相同，因此计算系数 δ11时，应考虑弯矩和轴力的影响，计算公式：
22
1 1
11
NFM d s d s
E I E A
22
11
c o sy d s d s
E I E A
X1=1
φ
§ 7-6 超静定拱原结构
L
f
FP2FP1
（ 3）计算系数及自由项 X1=1
φ
o
y
x
y
φ
基本体系（曲梁）
x
FP2FP1
在 FP的作用下，曲梁的受力性能与简支梁相同，因此计算自由项 △ P时，只需考虑弯矩的影响，计算公式：
1
1
p
p
MM ds
EI
1 1M y y
1
1
pP
p
yMMM d s d s
E I E I
（ 4） 由力法典型方程求多余未知力 （ 水平推力 ）
1
1 22
11 c o s
p
p
yM
ds
EIX
y
d s d s
E I E A
1
1
1
c os si n
si n c os
QQ
NQ
M M X y
F F X
F F X
式中,,—— 分别表示相应简支梁的弯矩和剪力。M
QF
（ 5）求内力水平推力 X1求得后，各截面内力计算与三铰拱内力计算相同。
§ 7-6 超静定拱
2、有拉杆两铰拱计算如图示有拉杆两铰拱 。
22 2
1 1
11
11
1NFM d s d s L
E I E A E A
1
1
p
p
MM ds
EI
1）特点：可避免支座受推力；
2）解法：与无拉杆两铰拱相似，只是在计算 δ11时，要计入拉杆轴向变形的影响，即,
§ 7-6 超静定拱原结构
FP2FP1
L
f
基本体系
FP2FP1
X1
EI EA
E1A1
§ 7-6 超静定拱原结构
FP2FP1
L
f
基本体系
FP2FP1
X1
EI EA
E1A1
由力法方程可得多余力计算公式：
1 22
11
c os
p
YM
ds
EIX
YL
ds ds
EI EA E A
1
1
1
c os si n
si n c os
QQ
NQ
M M X Y
F F X
F F X
任意点的内力计算公式：
§ 7-6 超静定拱有拉杆两铰拱
FP2FP1
L
fEI EA
E1A1
结论：
● 有拉杆两铰拱的推力要比相应无拉杆两铰拱的推力小。当拉杆的 E1A1→∞ 时，则有杆两铰拱的内力与无拉杆两铰拱趋于相同；而当 E1A1→ 0时，则
X1→ 0，拉杆拱将成为简支曲梁而丧失拱的作用与特征。
● 设计时应加大抗杆抗拉度，
以减小拱的弯矩。 L
f
FP2FP1
无拉杆两铰拱
§ 7-7 支座移动、温度变化的计算
A
h
B
原结构
L
b
a φ
超静定结构有一个重要特点，就是在仅支座移动、温度改变等所有使结构发生变形的因素，都能使结构产生内力。
用力法求解支座移动、温度改变时的问题，其方法与荷载荷作用时相同，唯一的区别在于典型方程中自由项的计算不同。
1、支座移动时的计算图示刚架，设支座 A发生了图示位移。
（ 1）判定超静定次数，取基本体系。
为二次超静定问题基本体系如图所示 。
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
C
C
X X a
XX
（ 2）由位移条件，建立力法典型方程。
§ 7-7 支座移动、温度变化的计算
A
h
B
原结构
L
b
a φ
基本体系
B
h
L
b
X2
X1
（ 3）计算系数与自由项系数 —— 计算同前由图乘求得。
自由项 —— 基本结构由支座移动引起的沿 Xi方向的位移，即：
i C R iFC
X1＝ 1
B
A
b
h
A
B
b
X2＝ 1
1
M1图 M2图
§ 7-7 支座移动、温度变化的计算
h/L 1/L
1 1
2 2
()
11
()
C R
C R
hh
F c b b
LL
F c b b
LL
X1＝ 1
B
A
b
h
A
B
b
X2＝ 1
1
M1图 M2图
§ 7-7 支座移动、温度变化的计算
h/L 1/L
（ 4）将,代入力法方程，求得 X1,X2。
ij? iC?
（ 5）求弯矩
1212M M X M X
2、温度变化时计算图示刚架各杆内侧温度升高
10℃,外侧温度不变,各杆线膨胀系数为 α。 EI和截面高度 h均为常数 。
1 1 1 1 0tX
＋ 10°
（ 2）列力法方程：
§ 7-7 支座移动、温度变化的计算原结构
B
A
L
L
C
＋ 10°
基本体系
X1
B
A
L
L
C
＋ 10°
＋ 10°
（ 1）确定超静定次数一次超静定,取基本体系如图所示。
（ 3）求系数与自由项
23
2
11
1 2 4
2 3 3
LLL L L
E I E I?
10
22
10 1 10
1
22
3
5 1
t MN
t
t
h
L L L
h
L
L
h
X1=1
B
A
C
§ 7-7 支座移动、温度变化的计算
C
B
A
X1=1
L
M1图
1
N1图
（ 4） 解方程求 X1
1
1 2
11
1 5 31
4
t E I LX
Lh
1 1
1 5 3 1
4
E I LM M X
Lh
（ 5）求最后弯矩和轴力
§ 7-7 支座移动、温度变化的计算
B
C
A
M
M图
1 1 2
1 5 3 1
4
E I LN N X
Lh
B
C
A
N
N图图示梁具有弹性支座,弹簧系数为 k（ 单位伸长所需的力 ） 。
1
1
X
k
1
11 1 1 p
XX
k
（ 1）取基本结构一次超静定，取基本体系如图所示。
（ 2）弹簧处的位移负号表示△ 1的方向与 X1相反。
（ 3）建立力法方程
Δ1
§ 7-8 具有弹性支座的计算
k
FP
A
B
C
L/2 L/2
原结构基本体系
L/2 L/2
FP
A
B
C
X1
（ 4）求系数与自由项作 图与 图，由图乘求得：
1M pM
3
11 3
L
EI
3
1
1 1 5 5
2 2 2 6 4 8p
L p L L p l
E I E I
1
1
11
1
pX
k
（ 5）回代，由力法方程求得 X1：
§ 7-8 具有弹性支座的计算
L
A B
L/2 L/2
FP
A
B
C
X1=1L
M1图
FP/2
MP图
§ 7-9 超静定结构的位移计算先回顾一下静定结构位移计算的步骤（荷载作用下）：
▲ 画出荷载作用下的弯矩图；
▲ 虚设一个单位力，并画出它的弯矩图；
▲ 对两个弯矩图进行图乘，就可得到的所要的位移。
对超静定结构完全可以按照上述步骤及方法进行，
但这样做要多次解超静定结构。
如：求图示结构 B点的水平位移。
FP
B
A
C
§ 7-9 超静定结构的位移计算如：求图示结构 B点的水平移。
第一步：
画出 MP图要用力法解一次超静定。
若结构是多次超静的，工作量将更大。
第二步：
画出 M图又要用力法解一次超静定。
B
A
C
FP
MP
3
8P
FL
5
8P
FL
3
8P
FL
FP
M
3
8
L
5
8
L
3
8
L
FP=1
§ 7-9 超静定结构的位移计算为了减少工作量，我们可以进行如下分析：
=
由于基本体系与原结构完全等价，因此求超静定结构上某点的位移，可以到静定的基本体系上去求，步骤如下：
1、画出基本体系在 FP,X1作用下的 MP图,由于 X1是未知的，要画出 MP图还需用力法求解；
2、虚设一个力的状态，这时可以在静定的基本体系上进行，并画出 M图（ 是个静定结构弯矩图 ） ；
3、对 MP,M两图进到图乘，其结果即为所求位移。
原结构
FP
A
B C
基本体系
X1
A
B C
FP
§ 7-9 超静定结构的位移计算例：求图示结构 B点的转角,所有杆长为 L，杆件 EI
为常数。
B?
解,▲ 画出 FP作用下的 MP图，用力法求解 ；
▲ 对两图进行图乘，即可求得 B点的转角,
23 5 3 5
[ 2 1 2 1 1 1 ]6 8 8 8 8 8p p p p pB F L F L F L F L L FLE I E I
基本体系上虚设单位力
▲ 取一个基本体系，在要求位移的点上虚设一个单位力矩，画出 M图；
FP
A
B C
M
M=1
1M
P
3
8P
FL
3
8P
FL
5
8P
FL
FP
§ 7-9 超静定结构的位移计算由于同一结构 可取多个不同 的基本体系，因此上述题也可以取其它的基本体系进行求解，如：
基本体系上虚设单位力
231 1 2
[ 1 ]8 2 3 8 E IppB F L F LLEI
同样若一道题需求两个点的位移，也可以根据情况取两个不同的基本体系。
M
M=1
1
MP
3
8P
FL
3
8P
FL
5
8P
FL
FP
MP
3
4
i?
3
4
i?
§ 7-9 超静定结构的位移计算例：求图示超静定结构由于支座位移，引起的 B点水平位移
△ BH，所有杆长为 L,EI为常数。
用力法求解；
解,1、画出原结构由于Ａ点发生转角 而引起的 MP图，
2、取一个基本体系，画出 M图；
3、图乘求得 △ BH,
1 3 1 2 3 5[]
4 2 3 4 2 8BH
L L Li L i L
EI
L
M
FP=1 L
A
B C
§ 7-9 超静定结构的位移计算上题若取悬臂的基本体系，则计算如下：
1 3 5[ ] ( )
4 2 8BH
LLi L L
EI
MP
3
4
i?
3
4
i? A
B C
FP=1
L
§ 7-9 超静定结构的位移计算
C?
例：图示超静定结构温度改变时，求 C点的转角,
杆长均为 L,h=L/10,EI为常数，膨胀系数为 。
解,1,画出原结构由于温度改变而引起的 MP图；
2、取一个基本体系,虚设一个单位力,画出 M图；
3、利用公式：图乘 +
C?0MN
t t
h
计算
1 4 0 5 4 0 5 1 0 1 0 3 8 5[ 1 1 ] 1 1
4 2 4 8C
Li i L L L
E I h h
+20°
+10°
+10°+20° MP
405
4
i?
405
4
i?
+20°
+10°
+10°+20°
1 M=1
M
§ 7-9 超静定结构的位移计算解释一下前面的问题。
原结构
=
基本体系基本体系上有两个因素引起内力和位移
① 多余力 X1
② 温度变化
MP图是 X1作用下的弯矩图，因此 MP与 M的图乘，只考虑了 X1的作用。 对基本体系，温度的改变不会产生内力，
但是会产生位移，因此还需要加上温度引起的位移。
+20°
+10°
+10°+20°
+20°
+10°
+10°+20°
X1
§ 7-9 超静定结构的位移计算
p p pM M Q Q N Nd s k d s d s
E I G A E A
0MN
t t
h
由温度变化引起的超静定结构位移的计算公式：
由支座移动引起的超静定结构位移的计算公式：
p p pM M Q Q N Nd s k d s d s R c
E I G A E A
§ 7-10 超静定结构计算的校核
0Y
超静定结构计算的校核有以下几个方面：
● 取节点：检查是否满足 0M
0X● 取截面：检查剪力是否满足或
● 最有效的方法：对某点已知为零的 位移,再求一下，
看是否等于零。
例：下面是图 a结构的解题过程。
图 a
原结构 基本体系
M1 M
把 M与 M1图相乘即为 C点的竖向位移，而该点的位移已知为零。
33
312
[]
8 2 3
3 5 5 3
[ 2 2 ] 0
6 8 8 8 8 8 8
p
cv
p p p p p p
FL L
L
EI
s F L F L F L F L F L F LL
L L L L
E I E I E I
FP
A
B C
FP
A
B C
X1
X1
L
L
38PFL
58PFL
38PFL
MP
FP
L
§ 7-10 超静定结构计算的校核
§ 7-11 静定、超静定结构特征比较静定结构 超静定结构几何不变，无多余约束，
安全储备差。
几何不变，有多余约束，
安全储备好。
由平衡条件可以唯一确定解，内力与 EI,EA无关。
平衡条件加变形条件才能确定解，内力与 EI,EA有关：
荷载作用时，与相对值关；温度改变、支座移动时，与绝对值有关（结果中含 EI,EA）。
温度改变、支座移动、
制造误差不引起内力。
温度改变、支座移动、制造误差引起内力。
3
48
PC Fl
EI
3
192
P
C
Fl
EI
内力分布不均匀，变形较大，刚度小。
内力分布均匀，变形较小，
刚度大。
静定结构 超静定结构
FPL/4A B
FP FP
A B
FPL/8
§ 7-11 静定、超静定结构特征比较
§ 7-1 概述
§ 7-2 力法的基本概念
§ 7-3 超静定刚架和排架
§ 7-4 超静定桁架,组合结构
§ 7-5 对称结构的计算
§ 7-6 超静定拱
§ 7-7 支座移动,温度变化的计算
§ 7-8 具有弹性支座的计算
§ 7-9 超静定结构位移的计算
§ 7-10 超静定结构计算的校核
§ 7-11 静定,超静定结构特征比较主要内容
1） 超静定结构拱组合结构
§ 7-1 概述
—— 由于有多余约束，其反力、内力不能由静力平衡条件全部确定的结构。
—— 几何不变，有多余约束。2）特征
3）超静定结构的类型桁架超静定梁刚架
（ 1） 超静定次数 —— 结构多余约束或多余未知力的数目,即为超静定次数 。
（ 2） 确定超静定次数的方法 —— 通过去掉多余约束来确定 。 （ 去掉 n个多余约束,即为 n次 超静定 ） 。
（ 3） 去掉 （ 解除 ） 多余约束的方式
4）超静定次数确定
a、去掉或切断一根链杆 —— 去掉 1个约束（联系）；
X1
§ 7-1 概述
b、去掉一个单铰 —— 去掉 2个约束；
c,切断刚性联系或去掉一个固定端 —— 去掉 3个约束；
X1
X2
§ 7-1 概述
X1
X2
X3
X1
X2
d、将刚性连结改为单铰 —— 去掉 1个约束。
注意事项
（ 1）对于同一超静定结构，可以采取不同方式去掉多余约束，而得到不同形式的静定结构，但去掉多余约束的总个数应相同。
（ 2） 去掉多余约束后的体系,必须是几何不变的体系,因此,某些约束是不能去掉的 。
§ 7-1 概述
（ 4）对于复杂结构，可用计算自由度的方法确定超静定次数
① 组合结构,23n h r m
23
2 5 3 3 4
1
n h r m
n — 超静定次数； m — 刚片数；
h — 单铰数； r — 支座链杆数。
例：确定图示结构超静定次数。
此链杆不能去掉此两链杆任一根都不能去掉
§ 7-1 概述该结构为一次超静定结构
② 桁架结构：
n — 超静定次数； j — 结点数；
b — 杆件数； r — 支座链杆数 。
例：确定图示桁架超静定次数 。
2
(1 3 3 ) 2 7
2
n b r j
2n b r j
该结构为二次超静定结构。
§ 7-1 概述
③ 框架结构：
n — 超静定次数；
f — 封闭框格数；
h — 单铰个数 。
例：确定图示结构的超静定次数 。
3n f h
3 3 1 0 3n f h
3 3 6 7 1 1n f h
该结构为 3次超静定结构该结构为 11次超静定结构
§ 7-1 概述
21
1111
q
q
§ 7-2 力法的基本概念
1） 解题思路 —— 将超静定问题转化为静定问题求解
（ 1）确定超静定次数
—— 具有一个多余约束，原结构为一次超静定结构。
（ 2）取基本体系
—— 去掉多余约束（链杆 B），代之以多余未知力 X1。
A B
l
原结构基本体系 X1
例：图示单跨超静定梁
X1 — 称为力法的基本未知量。
2）解题步骤
A B
（ 3）求基本未知量 X1
=
A B
X1=
+
① 建立变形协调方程
Δ 11：由多余未知力 X1单独作用时，基本结构 B点沿 X1方向产生的位移
Δ 1P：由荷载 q单独作用时，基本结构 B点沿 X1方向产生的位移由迭加原理，上式写成：
Δ1 ＝ Δ11＋ Δ1P＝ 0
—— 变形协调方程。
基本体系与原结构在去掉多余约束处沿多余未知力方向上的位移应一致，即,Δ1 ＝ 0
§ 7-2 力法的基本概念
q
A B
l
q
q
A
B 11?
1 P?A
B X
1
=
B
B
X1
=
+
§ 7-2 力法的基本概念由于 X1是未知的，△ 11无法求出，
为此令,△ 11= δ11× X1
δ 11—— 表示 X1为单位力时，
在 B处沿 X1方向产生的位移。
式,Δ1 ＝ Δ11＋ Δ1P＝ 0
可改写成：
δ11X1＋ Δ1P＝ 0
式中 δ11,Δ1P被称为系数和自由项，可用求解静定结构位移的方法求出。
一次超静定结构的力法方程
1× X1
A
A 1 P?
q
B
l
q
q
X1
A B
A
11?δ
11X1
② 求系数 δ 11,自由项 Δ 1P
由图乘法,得：
11
11
MM ds
EI
2312
2 3 3
lll
E I E I
1
1
2
1 1 3
3 2 4
p
P
MM
ds
EI
qL L
L
EI
4
8
ql
EI
δ 11 Δ 1P—— 均为静定结构在已知力作用下的位移，故可由积分法或图乘法求得。
A B
l M
1 图作,图,M MP
2
2
ql
MP图
l
A B
§ 7-2 力法的基本概念
③ 将 δ11,Δ1P代入力法方程，求得 X1
由上式,得：
1 1 pM M X M
④ 按静定结构求解其余反力、内力、绘制内力图其中：
（ 与所设方向一致 ）
δ11X1＋ Δ1P＝ 0
3
8
ql
43
1
1
11
/
83
p q l lX
E I E I?
—— 迭加原理绘制 A Bl
q
M图
2
8
ql
§ 7-2 力法的基本概念
3）力法概念小结解题过程
（ 1） 判定超静定次数,确定基本未知量；
（ 2） 取基本体系；
（ 3） 建立变形协调方程 （ 力法方程 ） ；
（ 4）求力法方程系数、自由项（作 Mp,M图）；
（ 5）解力法方程，求基本未知量（ X）；
（ 6） 由静定的基本结构求其余反力、内力、位移。
§ 7-2 力法的基本概念力法的特点
（ 1） 以多余未知力作为基本未知量,并根据基本结构与原结构变形协调的位移条件,求解基本未知量；
（ 2） 力法的整个计算过程自始至终都是在基本体系上进行的 。 因此,就是把超静定结构的计算问题,转化成了前面已学习过的静定问题；
（ 3） 基本体系与原结构在受力,变形和位移方面完全相同,
二者是等价的 。
（ 4） 基本体系的选取不是唯一的 。
§ 7-2 力法的基本概念
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
0
0
p
p
XX
XX
（ 3）根据变形条件，建立力法方程
—— 二次超静定结构的力法方程
B
A
q
C
基本体系
X2 X1
L
L
q
A
BC
原结构
4） 力法的典型方程
—— 多次超静定结构讨论解：（ 1）超静定次数,2次
（ 2）选择支座 B的约束为多余约束，取基本体系如图所示。
例：图示一超静定结构 。
§ 7-2 力法的基本概念
δ11,δ12,Δ1P——,和荷载分别单独作用于基本体系时,B点沿 X1方向产生的位移；
X1＝ 1 X2＝ 1
δ11
δ21
δ12
δ21
Δ1P
Δ2P
δ21,δ22,Δ2P——,和荷载分别单独作用于基本结构时,B点沿 X2方向产生的位移；
X1＝ 1 X2＝ 1
荷载作用
X2＝ 1作用
X2＝ 1
X1＝ 1作用
X1＝ 1
A
C
B
q
C
B
A
C
B
A
§ 7-2 力法的基本概念
（ 4）求系数、自由项
11
11
cyMM ds
E I E I
12
1 2 2 1
cyMM ds
E I E I
22
22
cyM M d s
E I E I
1
1
p c
p
MM yds
E I E I
2
2
p c
p
MM yds
E I E I
—— 上述各系数和自由项均可由上式积分或通过,,图的图乘求得 。MPM2M1
（ 5）解力法方程，求基本未知量,X1,X2。
§ 7-2 力法的基本概念推广至 n次超静定结构
（ 1） 力法方程 —— 力法典型方程
11 1 12 2 1 1 1
21 1 22 2 2 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
0
0
0
0
i i n n p
i i n n p
i i ii i in n ip
n n ni i nn n np
X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
注：对于有支座沉降的情况，右边相应的项就等于已知位移（沉降量），而不等于零。
§ 7-2 力法的基本概念
（ 2）系数（柔度系数）、自由项主系数 δii(i ＝ 1,2,…n) —— 单位多余未知力单独作用于基本结构时，所引起的沿其本身方向上的位移，恒为正；
Xi＝ 1
副系数 δij(i ≠j)—— 单位多余未知力单独作用于基本结构时，所引起的沿 Xi方向的位移，
可为正、负或零，且由位移互等定理,δij =δji
Xj＝ 1
§ 7-2 力法的基本概念自由项 Δ i P —— 荷载 FP单独作用于基本体系时,所引起 Xi方向的位移,可正,可负或为零 。
（ 3） 典型方程的矩阵表示
111 1 1
1
0
pn
n nn n np
Δδ δ X
δ δ X Δ
（ 4）最后弯矩
1212 nnM X M X M X M
§ 7-2 力法的基本概念
§ 7-3 超静定刚架和排架
1） 刚架以图示刚架为例解,● 判定超静定次数，
选择基本体系
X2
X1
原结构为：二次超静定拆去 A端的固定支座，以多余未知力 X1,X2代之，
其基本体系如图所示。
原结构
C B
A
D
2I
I
a
a/2
a/2
FP
BF
P
C
A
D
2I
I
基本体系
● 根据基本体系与原结构变形协调条件,建立力法方程 。
由水平位移 Δ 1 ＝ 0
垂直位移 Δ 2 ＝ 0
—— 力法典型方程
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
0
0
p
p
XX
XX
得：
原结构
C B
A
D
2I
I
a
a/2
a/2
FP
BF
P
C
A
D
2I
I
基本体系
X1
X2
§ 7-3 超静定刚架和排架注：计算系数和自由项时,对于刚架通常可略去轴力和剪力的影响,而只考虑弯矩一项,为此,只需绘出弯矩图 。
X1＝ 1
M1图
2P
Fa
Mp图
X2＝ 1
M2图
● 作基本体系的 图，求系数及 自由项12
PM M M
2I
C B
A
I
FP
C B
A
2I
I
a
C BI
2I
A
a
§ 7-3 超静定刚架和排架
32211 1 1 2 1 7 2 2 3 6 aa a a aE I E I E I
3
2
22
1 1 2
2 3 3
aaa
E I E I?
3
2
1 2 2 1
11
22
aaa
E I E I
利用图乘法，可求得：
2P
Fa
Mp图
FP
C BI
2I
A
X1＝ 1
M1图
2I
C B
A
I
a
X2＝ 1
M2图
C B
A
2I
I
a
§ 7-3 超静定刚架和排架
● 将系数,自由项代入方程中,求得多余未知力
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
0
0p
p
XX
XX
§ 7-3 超静定刚架和排架解得,1
2
17
40
9
80
P
P
XF
XF
12
12
7 1 5 3
0
6 2 9 6
1 1 1
0
2 3 4
P
P
X X F
X X F
● 求内力图
（ 1） M图 — 由
31 7 9
4 0 8 0 2 8 0
PP
B C P P
F a F aM F a F a
31 7 9 0
4 0 8 0 2 4 0
PP
C B P P
F a F aM F a F
1717 00
4 0 2 8 0
P
DP
FaaMF
0ACM?
317
4 0 2 4 0
PP
C A P
F a F aM F a
§ 7-3 超静定刚架和排架
1212 pM M X M X M
迭加原理绘制
a
a/2
a/2
FP
340
PF
1780
PF
380
PF
M图
（ 2） FQ图 — 可由基本体系逐杆,分段定点绘制,也可利用 M图绘制 。
§ 7-3 超静定刚架和排架
98PF
FQ图A
BF
P
C
D
2I
I
基本体系X
1 X
2
2340PF
1740PF
○
○ +
B
C
A
D
○ +
340
PF
1780
PF
380
PF
M图A
D
C
B
（ 3） FN图 — 可由 FQ图中取出结点，由平衡方程求得各杆 FN，同杆也可以由基本体系逐杆，分段求得。
FQCB
FNCB
FNCD
取 C结点：
FQCA
2340PF
FN图98PF
B
C
A
D
98PF
FQ图
2340PF
1740PF
○ +
B
C
A
D
○ +
○
○
○
00
N C B Q C A N C A Q C B
XY
F F F F
§ 7-3 超静定刚架和排架说明：
1） 超静定结构在载荷作用下,其内力与各杆件 EI的具体数值无关,只与各杆 EI的比值 （ 相对刚度 ） 有关；
2） 对于同一超静定结构,其基本结构的选取可有多种,
只要不为几何可变或瞬变体系均可 。 然而不论采用哪一种基本体系,所得的最后内力图是一样的 。
A
BF
P
C
D
2I
I
基本体系 1X
1 X
2
X1X
2
A 基本体系 2
C B
D
2I
I
FP FP
基本体系 3
X2 X1
如前面的刚架：
§ 7-3 超静定刚架和排架
2）排架 —— 单层工业厂房
（ 1） 排架结构与计算简图结构形式 计算简图基础柱子桁架
EA=∞
§ 7-3 超静定刚架和排架
2）排架 —— 单层工业厂房
（ 1） 排架结构与计算简图结构形式 计算简图基础柱子桁架
EA=∞
§ 7-3 超静定刚架和排架
（ 2）计算假定计算横向排架（受侧向力作用的排架），就是对柱子进行内力分析。通常作如下假设：
认为联系两个柱顶的屋架（或屋面大梁）两端之间的距离不变，而将它看作是一根轴向刚度为无限大（即
EA=∞ ）的链杆。
计算简图
EA=∞
§ 7-3 超静定刚架和排架
（ 3）计算方法及步骤
● 将横梁作为多余约束,并将其切断,代之以多余反力,得到基本结构；
● 作 Mp,图，求系数及自由项；M
● 解力法方程，求出多余未知力；
● 按静定问题求作最后内力图。
● 利用切口处相对位移为零的条件，建立力法方程；
§ 7-3 超静定刚架和排架
（ 4）举例计算图示两跨排架，作出弯矩图。
E＝ C,I2＝ 5I,h1＝ 3m,h2＝ 10m,ME=20KN·m，
MH＝ 60KN·m,CD杆,HG杆的 EA=∞。
DC
原结构
I1
I1I1
I2 I2
h1
h2
A B
E H
ME M
H
F
G
X1
X2
DC
基本体系
I1
I1I1
I2 I2
h1
h2
A B
E H
ME M
H
F
G
§ 7-3 超静定刚架和排架
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
0
0
p
p
XX
XX
解：（ 1）此排架为二次超静定，选取基本结构如图。
（ 2）建立力法方程。
（ 3）作,,图，
求系数及自由项。
1M 2M pM
X1
X2
DC
基本体系
I1
I1I1
I2 I2
h1
h2
A B
E H
ME M
H
F
G
§ 7-3 超静定刚架和排架
X2=1
M1图
Mp图
X1=1 DC
A B
E H
F
G
20 60
DC
A B
E H
F
G
DC
A B
E H
F
G
10 10
3 7 7
M2图
20 60
§ 7-3 超静定刚架和排架
M1图
X1=1 DC
A B
E H
F
G
10 10
3
X2=1
DC
A B
E H
F
G
7 7
M2图
Mp图
20 60
DC
A B
E H
F
G
20 60
§ 7-3 超静定刚架和排架由图乘法，得：
2 2 2
11
21
2
1 1 2 1 2 1 1 2
1 0 1 0 3 3 3 3 2
2 3 2 3 2 3
7 3 8 7
E I E I
.
EI
M1图
X1=1 DC
A B
E H
F
G
10 10
3
§ 7-3 超静定刚架和排架
2
22
2 1 2
1 1 2 1 1 2 6 8 67 7 7 7 7
2 3 2 3E I E I E I?
2
1 2 2 1
22
1 1 2 1 8 7,87 7 3
23E I E I
X2=1
DC
A B
E H
F
G
7 7
M2图M1图
X1=1 DC
A B
E H
F
G
10 10
3
§ 7-3 超静定刚架和排架
1
22
1 7 7 3 6 4 02 0 7 3 6 0 7 3
22p E I E I
2
2
22
1 1 1 4 7 07 6 0
2p E I E I
Mp图
20 60
DC
A B
E H
F
G
20 60
X2=1
DC
A B
E H
F
G
7 7
M2图
M1图
X1=1 DC
A B
E H
F
G
10 10
3
§ 7-3 超静定刚架和排架
（ 4）解力法方程，求多余未知力解得：
12
12
7 3 8,7 1 8 7,8 3 6 4 0 0
1 8 7,8 6 8 6 1 4 7 0 0
XX
XX
1
2
4,6 3 7 k N
0,8 6 6 k N
X
X
1212 pM M X M X M
（ 5）由迭加法绘制弯矩图
§ 7-3 超静定刚架和排架
M图
26.37
13.91
6.06 7.50
6.09 46.09
E H
DC
A B F
G
§ 7-4 超静定桁架、组合结构
（ 1） 解题步骤及相关公式
a,判定超静定次数,选取基本体系
—— 切断多余桁架杆 。
b,根据切口处变形协调条件,建立力法方程 。
—— 切口两侧截面相对轴向线位移应为零 。
c,求力法典型方程中的系数 和自由项 。
—— 分别求出基本结构在单位多余未知力和载荷作用下各杆的内力 和 NP，然后利用静定桁架位移计算公式求 解 。
Xi＝ 1
N
1）桁架
d,解力法方程,求出多余未知力 Xi
e,求出各杆最后轴力 —— 按迭加法求得即：
NN ijNN ii
ii ij
N N pi
ip
FFFF
ll
EA EA
FF
l
EA
即：
1212N N N N n N pnF F X F X F X F
1
n
N i N pi
i
F X F
§ 7-4 超静定桁架、组合结构
（ 2）例题求图示超静定桁架的内力,EA为常数 。
解,a、确定超静定次数，取基本体系。
a
a
C
A D
B
原结构
FP
一次超静定，切断 BC杆
b、建立力法典型方程
1 0
由：
1 1 1 1 0pX
得：
X1
§ 7-4 超静定桁架、组合结构
FP
基本体系
c、求各杆的,及,
11? 1p?1NF NpF
其系数、自由项为：
2211 14 4 1 2 2 2 1 2NN iiFF al a aE A E A E A
§ 7-4 超静定桁架、组合结构
X1
-1
-1 -1
-1
2 2
1F 图
2 PF?
FP
FP
NPF
图
11 21 2 1 2 2 2 1 2N N p Pp P PFF Fal F a F aE A E A E A
FP
d、解方程，求 X1
e,求各杆最后的轴力
1
1
11
/2p pXF
1 1NN N pF F X F
§ 7-4 超静定桁架、组合结构
FP
2
2 PF
2
2 PF?
FN 图
1
2 PF
1
2 PF?
1
2 PF?
1
2 PF
其中：
11 1 022
PP
N B C N p
FFF X F
2）组合结构
（ 1） 解题要点及公式其解题步骤与桁架基本相同,
但对于系数和自由项的计算略有不同 。 对于梁式杆计弯矩的影响,
对于链杆计轴力的影响 。
、,
的计算公式：
ii? ij? ip?
iiNN
ii
ii
ijNNij
ij
i
N N p pi
ip
FF MM
l d s
E A E I
FF M M d s
l
E A E I
F F M M
l d s
E A E I
组合结构梁式杆杆链
§ 7-4 超静定桁架、组合结构
A
C
D
B
2）例题求所示组合结构的内力 。
1 0
1 1 1 1 0pX
解,a、取基本体系
b、列力法方程原结构基本体系该结构为一次超静定，切断 CD杆，代之以 X1 。
§ 7-4 超静定桁架、组合结构
A
由：
得：
L/2 L/2
aa
A
C
D
B
EI1
A2
A1
A3
q kN/m
C
D
B
EI1
A2
A1
A3
q kN/m
X1
（ 3）计算 δ 11,Δ 1P
11( ) Na F M,图
§ 7-4 超静定桁架、组合结构
a/2h a/2h
11
2
2
2 3 1
33
2 2 3
1
-1 2 1 22
2
2 2 4 3 4
2 48
ii
NN ii
FF MM
l ds
E A E I
a
h l l lh
a
E A E A E I
h a l
E A h E A E I
L/4
A
C
B
EI1 A1
D
A2 A3X1=1-1
L/4
（ 3）计算 δ 11,Δ 1P
11( ) Na F M,图
( ) F N P PbM,图
§ 7-4 超静定桁架、组合结构
A
C
D
B
EI1
A2
A1
A3
X1=1a/2h a/2h-1
0 0 0
qL2/8
1
4
1
4
1
5
0
384
5
384
N N p i pi
p
F F M M
l d s
E A E I
ql
-
EI
ql
EI
（ 4）解力法方程，求 X1
（ 5） 求最后的内力 N,M
由迭加法求得
1
1
11
pX
11N N N pF F X F
1 1 pM M X M
§ 7-4 超静定桁架、组合结构
FN,M图
aX1/2h aX1/2hX1
LX1/4× qL2/8
§ 7-5 对称结构的计算
1,对称结构
3EI3EI
EI EI2EI
3EI
EIEI
1）定义 —— 结构的几何形状、支承状况和各杆的刚度
（ EI,EA）均对称于某一轴线，这种结构被称为对称结构。
2）两类问题 —— 正对称与反对称问题
（ 1） 正对称问题 —— 对称结构在正对称载荷作用下的情况
（ 2） 反对称问题 —— 对称结构在反对称载荷作用下的情况
§ 7-5 对称结构的计算
（ a）正对称
FPFP FP FP
（ b）反对称
2、正对称问题
（ a）原结构 （ b）基本体系
§ 7-5 对称结构的计算
FPFP
3
3
L
FPFP
3
3
L
X1
X2
X3
1 1 1 1 2 2 1 3 3 1
2 1 1 2 2 2 2 3 3 2
3 1 1 3 2 2 3 3 3 3
0
0
0
p
p
p
X X X
X X X
X X X
力法方程：
6 6
L/2
L/2L/2
11
1
3FP 3FP
作 图，求系数与自由项：M
pM
§ 7-5 对称结构的计算
FPFP
MP图
X1=1
M1图
X2=1 X3=1
M2图 M3图
§ 7-5 对称结构的计算
3FP 3FP
FPFP
MP图
6 6
X1=1
M1图
L/2
L/2L/2
X2=1
M2图
1
11
X3=1
M3图
1 2 2 1 2 3 3 2
2
00
0P
由上可见,MP,M1,M3图是正对称的,M2图是反对称的，由图乘可知：
由 ② 式得,X2=0
§ 7-5 对称结构的计算力法方程变成：
1 1 1 1 3 3 1 0 pXX
2 2 2 0 X
3 1 1 3 3 3 3 0 pXX
①
②
③
结论：
结构对称，荷载对称，在结构的对称点处，只有对称的内力存在，反对称的内力等于零。
因此上述结构在对称荷载作用下，是 2次超静定的。
3、反对称问题
§ 7-5 对称结构的计算
（ a）原结构
FPFP
3
3
L
1 1 1 1 2 2 1 3 3 1
2 1 1 2 2 2 2 3 3 2
3 1 1 3 2 2 3 3 3 3
0
0
0
p
p
p
X X X
X X X
X X X
力法方程：
（ b）基本体系
FPFP
3
3
L
X1
X2
X3
3FP 6 6
L/2
L/2L/2
11
1
3FP
作 图，求系数与自由项：M
pM
§ 7-5 对称结构的计算
FPFP
MP图
X1=1
M1图
X2=1 X3=1
M2图 M3图
§ 7-5 对称结构的计算
3FP3FP
FPFP
MP图
6 6
X1=1
M1图
L/2
L/2L/2
X2=1
M2图 1 1
1 X3=1
M3图由上可见,M1,M3图是正对称的,M2,MP图是反对称的，由图乘可知：
1 2 2 1 2 3 3 2
13
00
0PP
由 ①,③ 式得,X1=X2=0
§ 7-5 对称结构的计算力法方程变成：
1 1 1 1 3 3 0 XX
2 2 2 2 0 PX
3 1 1 3 3 3 0 XX
①
②
③
结论：
结构对称，荷载反对称，在结构的对称点处，只有反对称的内力存在，对称的内力等于零。
因此上述结构在反对称荷载作用下，是 1次超静定的。
4、未知力分解与载荷分解
1）未知力分解对于对称的超静定结构，虽然选取了对称的基本结构，
但若载荷是非对称的，那么，多余未知力对结构的对称轴来说却不是正对称或反对称的，因此，有关副系数不可能为零，因而，达不到简化计算的目的。
对于这种情况，为使副系数尽可能多的等于零，
采用将未知力分解（分组）以实现这一目的。
§ 7-5 对称结构的计算
§ 7-5 对称结构的计算
FP
Y1
X2
FP
原结构 基本体系
=
Y1
X1
Y2 Y2
基本体系
=
FP
X1=Y1+Y2
X2=Y1－ Y2
§ 7-5 对称结构的计算
Y1=1
Y2=1 Y2=1
FP
MP图
Y1=1
M1图
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
P
P
X
X
力法方程：
两个独立方程
M2图
2）载荷分解当对称结构承受一般非对称载荷时，除了可将未知力分解外，还可将载荷分解为正，反对称的两组，以实现简化计算的目的。
FP
+=
§ 7-5 对称结构的计算原结构 正对称 反对称
FP/2 FP/2 FP/2FP/2
（ b）正对称
+
=
§ 7-5 对称结构的计算
qF
P
（ a）原结构
L L
EI EI
L L
EI EI
FP/2 FP/2q/2
L L
FP/2
FP/2q/2
q/2
（ b）反对称例：利用对称性计算图示结构。
所有杆长均为 L,EI也均相同。
F P / 2
F P / 4 F P / 4F
P / 2
F P / 4 F
P / 4
F P
原结构解,1、由于该结构的反力是静定的，
求出后用反力代替约束。
2、该结构有两根对称轴，因此把力变换成对称与反对称的。
F P / 2 F P / 2
F P
= =
F P / 2
F P / 4 F P / 4F
P / 2
F P / 4F P / 4
+
原结构 =对称 +反对称
§ 7-5 对称结构的计算对称情况，只是三根柱受轴力，
由于忽略向变形，不会产生弯矩，
因此不用计算。
反对称情况，在荷载作用下，
梁会发生相对错动，因此会产生弯矩。
该结构有两根对称轴，对于竖向对称轴，荷载是对称的，对于水平对称轴荷载是反对称的。
F P / 2
F P / 4 F P / 4F
P / 2
F P / 4 F
P / 4
F P / 2
F P / 4 F P / 4F
P / 2
F P / 4F P / 4
+
原结构
§ 7-5 对称结构的计算
§ 7-5 对称结构的计算
F P / 2
F P / 4 F P / 4F
P / 2
F P / 4F P / 4
X1 X1
基本体系反对称情况的基本体系如图所示。
该结构应是 6次超静定的，
但由于荷载相对水平轴是反对称的，因此切开的截面处只有反对称的内力存在，即只有剪力。
又由于荷载对于竖向对称轴是对称的，因此两个多余未知力应该大小相等，方向相反。
综上所述，该结构在所示荷载作用下是 1次超静定的。
§ 7-5 对称结构的计算
F P / 2
F P / 4 F P / 4
F P / 2
F P / 4F P / 4
MP图
X1=1 X1=1
M1图力法方程：
1 1 1 1 0PX
后续计算省略。
两铰拱为一次超静定结构，取简支曲梁为基本体系。
（ 2）建立力法典型方程
§ 7-6 超静定拱
1,无拉杆两铰拱计算如图所示两铰拱 。
1 1 1 1 0pX
原结构
x1
基本体系（曲梁）
（ 1）确定超静定次数
L
f
FP2FP1 FP2FP1
§ 7-6 超静定拱原结构
o
y
x
X1=1y
φ
L
f
FP2FP1
基本体系（曲梁）
x
（ 3）计算系数及自由项在 X1=1的作用下，曲梁的受力性能与拱相同，因此计算系数 δ11时，应考虑弯矩和轴力的影响，计算公式：
22
1 1
11
NFM d s d s
E I E A
22
11
c o sy d s d s
E I E A
X1=1
φ
§ 7-6 超静定拱原结构
L
f
FP2FP1
（ 3）计算系数及自由项 X1=1
φ
o
y
x
y
φ
基本体系（曲梁）
x
FP2FP1
在 FP的作用下，曲梁的受力性能与简支梁相同，因此计算自由项 △ P时，只需考虑弯矩的影响，计算公式：
1
1
p
p
MM ds
EI
1 1M y y
1
1
pP
p
yMMM d s d s
E I E I
（ 4） 由力法典型方程求多余未知力 （ 水平推力 ）
1
1 22
11 c o s
p
p
yM
ds
EIX
y
d s d s
E I E A
1
1
1
c os si n
si n c os
NQ
M M X y
F F X
F F X
式中,,—— 分别表示相应简支梁的弯矩和剪力。M
QF
（ 5）求内力水平推力 X1求得后，各截面内力计算与三铰拱内力计算相同。
§ 7-6 超静定拱
2、有拉杆两铰拱计算如图示有拉杆两铰拱 。
22 2
1 1
11
11
1NFM d s d s L
E I E A E A
1
1
p
p
MM ds
EI
1）特点：可避免支座受推力；
2）解法：与无拉杆两铰拱相似，只是在计算 δ11时，要计入拉杆轴向变形的影响，即,
§ 7-6 超静定拱原结构
FP2FP1
L
f
基本体系
FP2FP1
X1
EI EA
E1A1
§ 7-6 超静定拱原结构
FP2FP1
L
f
基本体系
FP2FP1
X1
EI EA
E1A1
由力法方程可得多余力计算公式：
1 22
11
c os
p
YM
ds
EIX
YL
ds ds
EI EA E A
1
1
1
c os si n
si n c os
NQ
M M X Y
F F X
F F X
任意点的内力计算公式：
§ 7-6 超静定拱有拉杆两铰拱
FP2FP1
L
fEI EA
E1A1
结论：
● 有拉杆两铰拱的推力要比相应无拉杆两铰拱的推力小。当拉杆的 E1A1→∞ 时，则有杆两铰拱的内力与无拉杆两铰拱趋于相同；而当 E1A1→ 0时，则
X1→ 0，拉杆拱将成为简支曲梁而丧失拱的作用与特征。
● 设计时应加大抗杆抗拉度，
以减小拱的弯矩。 L
f
FP2FP1
无拉杆两铰拱
§ 7-7 支座移动、温度变化的计算
A
h
B
原结构
L
b
a φ
超静定结构有一个重要特点，就是在仅支座移动、温度改变等所有使结构发生变形的因素，都能使结构产生内力。
用力法求解支座移动、温度改变时的问题，其方法与荷载荷作用时相同，唯一的区别在于典型方程中自由项的计算不同。
1、支座移动时的计算图示刚架，设支座 A发生了图示位移。
（ 1）判定超静定次数，取基本体系。
为二次超静定问题基本体系如图所示 。
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
C
C
X X a
XX
（ 2）由位移条件，建立力法典型方程。
§ 7-7 支座移动、温度变化的计算
A
h
B
原结构
L
b
a φ
基本体系
B
h
L
b
X2
X1
（ 3）计算系数与自由项系数 —— 计算同前由图乘求得。
自由项 —— 基本结构由支座移动引起的沿 Xi方向的位移，即：
i C R iFC
X1＝ 1
B
A
b
h
A
B
b
X2＝ 1
1
M1图 M2图
§ 7-7 支座移动、温度变化的计算
h/L 1/L
1 1
2 2
()
11
()
C R
C R
hh
F c b b
LL
F c b b
LL
X1＝ 1
B
A
b
h
A
B
b
X2＝ 1
1
M1图 M2图
§ 7-7 支座移动、温度变化的计算
h/L 1/L
（ 4）将,代入力法方程，求得 X1,X2。
ij? iC?
（ 5）求弯矩
1212M M X M X
2、温度变化时计算图示刚架各杆内侧温度升高
10℃,外侧温度不变,各杆线膨胀系数为 α。 EI和截面高度 h均为常数 。
1 1 1 1 0tX
＋ 10°
（ 2）列力法方程：
§ 7-7 支座移动、温度变化的计算原结构
B
A
L
L
C
＋ 10°
基本体系
X1
B
A
L
L
C
＋ 10°
＋ 10°
（ 1）确定超静定次数一次超静定,取基本体系如图所示。
（ 3）求系数与自由项
23
2
11
1 2 4
2 3 3
LLL L L
E I E I?
10
22
10 1 10
1
22
3
5 1
t MN
t
t
h
L L L
h
L
L
h
X1=1
B
A
C
§ 7-7 支座移动、温度变化的计算
C
B
A
X1=1
L
M1图
1
N1图
（ 4） 解方程求 X1
1
1 2
11
1 5 31
4
t E I LX
Lh
1 1
1 5 3 1
4
E I LM M X
Lh
（ 5）求最后弯矩和轴力
§ 7-7 支座移动、温度变化的计算
B
C
A
M
M图
1 1 2
1 5 3 1
4
E I LN N X
Lh
B
C
A
N
N图图示梁具有弹性支座,弹簧系数为 k（ 单位伸长所需的力 ） 。
1
1
X
k
1
11 1 1 p
XX
k
（ 1）取基本结构一次超静定，取基本体系如图所示。
（ 2）弹簧处的位移负号表示△ 1的方向与 X1相反。
（ 3）建立力法方程
Δ1
§ 7-8 具有弹性支座的计算
k
FP
A
B
C
L/2 L/2
原结构基本体系
L/2 L/2
FP
A
B
C
X1
（ 4）求系数与自由项作 图与 图，由图乘求得：
1M pM
3
11 3
L
EI
3
1
1 1 5 5
2 2 2 6 4 8p
L p L L p l
E I E I
1
1
11
1
pX
k
（ 5）回代，由力法方程求得 X1：
§ 7-8 具有弹性支座的计算
L
A B
L/2 L/2
FP
A
B
C
X1=1L
M1图
FP/2
MP图
§ 7-9 超静定结构的位移计算先回顾一下静定结构位移计算的步骤（荷载作用下）：
▲ 画出荷载作用下的弯矩图；
▲ 虚设一个单位力，并画出它的弯矩图；
▲ 对两个弯矩图进行图乘，就可得到的所要的位移。
对超静定结构完全可以按照上述步骤及方法进行，
但这样做要多次解超静定结构。
如：求图示结构 B点的水平位移。
FP
B
A
C
§ 7-9 超静定结构的位移计算如：求图示结构 B点的水平移。
第一步：
画出 MP图要用力法解一次超静定。
若结构是多次超静的，工作量将更大。
第二步：
画出 M图又要用力法解一次超静定。
B
A
C
FP
MP
3
8P
FL
5
8P
FL
3
8P
FL
FP
M
3
8
L
5
8
L
3
8
L
FP=1
§ 7-9 超静定结构的位移计算为了减少工作量，我们可以进行如下分析：
=
由于基本体系与原结构完全等价，因此求超静定结构上某点的位移，可以到静定的基本体系上去求，步骤如下：
1、画出基本体系在 FP,X1作用下的 MP图,由于 X1是未知的，要画出 MP图还需用力法求解；
2、虚设一个力的状态，这时可以在静定的基本体系上进行，并画出 M图（ 是个静定结构弯矩图 ） ；
3、对 MP,M两图进到图乘，其结果即为所求位移。
原结构
FP
A
B C
基本体系
X1
A
B C
FP
§ 7-9 超静定结构的位移计算例：求图示结构 B点的转角,所有杆长为 L，杆件 EI
为常数。
B?
解,▲ 画出 FP作用下的 MP图，用力法求解 ；
▲ 对两图进行图乘，即可求得 B点的转角,
23 5 3 5
[ 2 1 2 1 1 1 ]6 8 8 8 8 8p p p p pB F L F L F L F L L FLE I E I
基本体系上虚设单位力
▲ 取一个基本体系，在要求位移的点上虚设一个单位力矩，画出 M图；
FP
A
B C
M
M=1
1M
P
3
8P
FL
3
8P
FL
5
8P
FL
FP
§ 7-9 超静定结构的位移计算由于同一结构 可取多个不同 的基本体系，因此上述题也可以取其它的基本体系进行求解，如：
基本体系上虚设单位力
231 1 2
[ 1 ]8 2 3 8 E IppB F L F LLEI
同样若一道题需求两个点的位移，也可以根据情况取两个不同的基本体系。
M
M=1
1
MP
3
8P
FL
3
8P
FL
5
8P
FL
FP
MP
3
4
i?
3
4
i?
§ 7-9 超静定结构的位移计算例：求图示超静定结构由于支座位移，引起的 B点水平位移
△ BH，所有杆长为 L,EI为常数。
用力法求解；
解,1、画出原结构由于Ａ点发生转角 而引起的 MP图，
2、取一个基本体系，画出 M图；
3、图乘求得 △ BH,
1 3 1 2 3 5[]
4 2 3 4 2 8BH
L L Li L i L
EI
L
M
FP=1 L
A
B C
§ 7-9 超静定结构的位移计算上题若取悬臂的基本体系，则计算如下：
1 3 5[ ] ( )
4 2 8BH
LLi L L
EI
MP
3
4
i?
3
4
i? A
B C
FP=1
L
§ 7-9 超静定结构的位移计算
C?
例：图示超静定结构温度改变时，求 C点的转角,
杆长均为 L,h=L/10,EI为常数，膨胀系数为 。
解,1,画出原结构由于温度改变而引起的 MP图；
2、取一个基本体系,虚设一个单位力,画出 M图；
3、利用公式：图乘 +
C?0MN
t t
h
计算
1 4 0 5 4 0 5 1 0 1 0 3 8 5[ 1 1 ] 1 1
4 2 4 8C
Li i L L L
E I h h
+20°
+10°
+10°+20° MP
405
4
i?
405
4
i?
+20°
+10°
+10°+20°
1 M=1
M
§ 7-9 超静定结构的位移计算解释一下前面的问题。
原结构
=
基本体系基本体系上有两个因素引起内力和位移
① 多余力 X1
② 温度变化
MP图是 X1作用下的弯矩图，因此 MP与 M的图乘，只考虑了 X1的作用。 对基本体系，温度的改变不会产生内力，
但是会产生位移，因此还需要加上温度引起的位移。
+20°
+10°
+10°+20°
+20°
+10°
+10°+20°
X1
§ 7-9 超静定结构的位移计算
p p pM M Q Q N Nd s k d s d s
E I G A E A
0MN
t t
h
由温度变化引起的超静定结构位移的计算公式：
由支座移动引起的超静定结构位移的计算公式：
p p pM M Q Q N Nd s k d s d s R c
E I G A E A
§ 7-10 超静定结构计算的校核
0Y
超静定结构计算的校核有以下几个方面：
● 取节点：检查是否满足 0M
0X● 取截面：检查剪力是否满足或
● 最有效的方法：对某点已知为零的 位移,再求一下，
看是否等于零。
例：下面是图 a结构的解题过程。
图 a
原结构 基本体系
M1 M
把 M与 M1图相乘即为 C点的竖向位移，而该点的位移已知为零。
33
312
[]
8 2 3
3 5 5 3
[ 2 2 ] 0
6 8 8 8 8 8 8
p
cv
p p p p p p
FL L
L
EI
s F L F L F L F L F L F LL
L L L L
E I E I E I
FP
A
B C
FP
A
B C
X1
X1
L
L
38PFL
58PFL
38PFL
MP
FP
L
§ 7-10 超静定结构计算的校核
§ 7-11 静定、超静定结构特征比较静定结构 超静定结构几何不变，无多余约束，
安全储备差。
几何不变，有多余约束，
安全储备好。
由平衡条件可以唯一确定解，内力与 EI,EA无关。
平衡条件加变形条件才能确定解，内力与 EI,EA有关：
荷载作用时，与相对值关；温度改变、支座移动时，与绝对值有关（结果中含 EI,EA）。
温度改变、支座移动、
制造误差不引起内力。
温度改变、支座移动、制造误差引起内力。
3
48
PC Fl
EI
3
192
P
C
Fl
EI
内力分布不均匀，变形较大，刚度小。
内力分布均匀，变形较小，
刚度大。
静定结构 超静定结构
FPL/4A B
FP FP
A B
FPL/8
§ 7-11 静定、超静定结构特征比较
