第三节连续型随机变量的分布第二章连续型随机变量,
一,指数分布二,连续型均匀分布三,正态分布 (标准正态分布 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束一、分布函数对于非离散型随机变量 X，由于其可能取的值不能一个一个地列举出来，因而就不能像离散型随机变量那样可以用分布律来描述它。另外，我们通常所遇到的非离散型随机变量取任一指定的实数值的概率都等于 0。再者，在实际中，对于这样的随机变量，例如误差 ε，元件的寿命 T 等，我们并不会对误差
ε = 0.05 (mm),寿命 T=1251（ h）的概率感兴趣，而是考虑误差落在某个区间内的概率，寿命 T大于某个数的概率。因而我们转而去研究随机变量所取的值落在一个区间的概率：
但由于
}{ 21 xXxP }{ 2xXP }{ 1xXP
所以我们只需知道,}{ xXP?
1.定义,设 X是一个随机变量,x是任意实数,则函数 F(x) = P(X≤x)
称为 X的分布函数。
因此，若已知 X的分布函数，我们就知道 X落在任一区间 (x1,x2 ]
)()(}{}{}{ 121221 xFxFxXPxXPxXxP
对于任意实数 x1,x2 ( x1 < x2 ),有机动 目录 上页 下页 返回 结束上的概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律。
分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们将能用数学分析的方法来研究随机变量。
如果将 X看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数
F(x)在 x处的函数值就表示 X落在区间 (-∞,x]上的概率。
2,性质
（ 1） 分布函数是一个不减函数：当 x1 < x2 时，有 F(x1) ≤ F(x2)
对于任意实数 x1,x2 ( x1 < x2 ),有我们只从几何意义上加以说明。在下图中，将区间端点 x
,)()0()3( xFxF,)( 是右连续的即 xF
F ( x2 ) -F ( x1 ) = P ( x1 < X≤ x2 )
1)(lim)( xFF x
机动 目录 上页 下页 返回 结束沿数轴无限向左移动（即 x→ － ∞）,则“随机点 X落在点 x的左边”
这一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于 0，即有 F(–∞)=0;
又若将点 x无限右移（即 x→∞),则“随机点 X落在点 x左边”这一事件趋于必然事件，从而其概率趋于 1，即有 F(∞)=1。
解,X仅在 0,1,2三点处其概率不等于 0，而 F(x)的值是 X≤x
例 1,设离散型随机变量 X的概率函数为求 X的分布函数，并求的累积概率值，由概率的有限可加性，知它即为小于或等于 x 的那些 xk 处的概率 pk 之和，有机动 目录 上页 下页 返回 结束
)( xF 00?x
10}0{ xXP
X 0 1 2
P 0.16 0.48 0.36
即
F(x)的图形是一条阶梯形的曲线，在 x =0,1,2处有
}2/1{?XP 16.0)2/1( F
}2/32/1{ XP )2/1()2/3( FF 16.064.0 48.0?
}21{ XP }1{)1()2( XPFF
跳跃点，跳跃值分别为 0.16,0.48,0.36。又机动 目录 上页 下页 返回 结束
1 2 3
16.0
64.0
1
0
x
)(xF
一般，设离散型随机变量 X的概率函数为
,2,1,}{ kpxXP kk
由概率的可列可加性得 X的分布函数为
}{)( xXPxF
xx
k
k
xXP }{
即机动 目录 上页 下页 返回 结束
xx
k
k
pxF )(
例 2,一个靶子是半径为 2的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上
0}{)( xXPxF
若 0≤x≤2,由题意,是为了确定 k的值，取 x = 2，有 P {0≤X≤2}=4k,但已知于是 }{)( xXPxF }0{ XP }0{ xXP,
4
2x
若 x > 2,由题意 { X≤x } 是必然事件，于是 F(x)=P{X≤x}=1
21
204/
00
)( 2
x
xx
x
xF
.线它的图形是一条连续曲解,若 x < 0,则 { X≤x }是不可能事件，于是
P { 0≤X ≤2 }=1,故得 k =?,即 P { 0≤X ≤x }= x2/4,
某一常数，
机动 目录 上页 下页 返回 结束的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击能中靶,以 X表示弹着点与圆心的距离,试求随机变量 X的分布函数,
综合上述，即得 X的分布函数为说明,对于任意实数 x,F(x)可以写成形式其中这就是说,F(x) 恰是非负函数 f(t) 在区间 (-∞,x]
其它0
202/
)(
tt
tf
机动 目录 上页 下页 返回 结束的积分，在这种情况我们称 X为连续型随机变量。
二、连续型随机变量及其概率密度函数定义,如果相应于随机变量 X的分布 F(x)存在着非负的
x dttfxF )()(
性质 0)()1(?xf
1)()2( dxxf
,)(,,)3( 2121 xxxx?对于任意实数
}{ 21 xXxP )()( 12 xFxF 2
1
)(x
x
dxxf
).()()()4( xfxFxxf处连续，则有在点若则称 X为连续型随机变量,f(x)称为 X的概率密度函数。
机动 目录 上页 下页 返回 结束函数 f(x)，对于任意的实数 x都有注意,概率函数反映离散型随机变量的分布规律，
概率密度函数 f(x)则反映连续型随机变量的分布规律。
但是,f(x)却不是概率。在连续型随机变量中，只有
xxf?)( 才能与离散型随机变量中的 P{X=x}相当，
可统一用分布函数 F(x)=P{ X ≤x }来反映其分布机动 目录 上页 下页 返回 结束它表示 x附近的概率。同时，两种类型的随机变量规律。
例 3.设随机变量 X的概率密度为试确定常数 c,并求其分布函数 F(x)和 P(0< X ≤1) 。
解,由概率密度的性质有
0 2 dxce x
0 2 )2(2 xdec x 022 xec
而,847.01)0()1(}10{ 2eFFXP
1?
x dttfxF )()(
xte 02
=0 x ≤0
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、指数分布指数分布常用来作为各种,寿命,分布的近似。如随机服务定义,如果随机变量 X的概率密度为其中 λ>0,则称 X服从参数为 λ的指数分布。记作 X~e( λ )。
易知 f(x) ≥0,且,1)(
dxxf
的分布函数为容易推出 X
其它0
01)( xexF x?
机动 目录 上页 下页 返回 结束系统中的服务时间,某些消耗性产品 (电子元件 )的寿命等等,
都常被假定服从指数分布。
例 4,某种晶体管寿命服从参数为 0.001的指数分布 (小时 ),
电子仪器装有此种晶体管 5个，并且每个晶体管损坏与否相互解,设 Xi=―第 i只晶体管的寿命”（ i=1,2,3,4,5）由题设知
10000 001.0 )001.0( xde x
设 Y=―5只晶体管中寿命小于 1000(小时 )的只数”，则 Y~B(5,1-e -
1 )
312125 )()1(}2{ eeCYP,)1( 21325 eeC
独立。试求此仪器在 1000小时内恰好有两个晶体管损害的概率。
Xi 的概率密度函数是
1 0 0 000 0 1.0 xe 11 e
所以 1000内恰好有两只晶体管损害的概率是服从指数分布的随机变量 X 具有以下有趣的性质：
对于任意 有事实上以上性质称为 无记忆性 。如果 X 是某一元件的寿命，那么，
概率相等。这就是说，元件对它已使用了 s小时没有记忆。
机动 目录 上页 下页 返回 结束上式表明：已知元件已使用了 s小时，它总共能使用至少 s + t
小时的条件概率，与从开始使用时算起它至少能使用 t 小时的具有这一性质是指数分布有广泛应用的重要原因。
40?x
四、连续型均匀分布例 5,在区间 [4,10]上任意抛掷一个质点,用 X表示这个质点与解,X可取 [4,10]上的一切实数，即 4≤X≤10 是一个必然有 P{c≤X≤ d}=k(d-c),k为比例常数。特别地，取 c=4,d=10,
P{4≤X≤10}=k(10 -4)=6k=1,因此 k=1/6。故分布函数为
}{)( xXPxF 1046/)4( xx
事件,P{4≤X≤10}=1 。若机动 目录 上页 下页 返回 结束原点的距离,则 X是一个随机变量。如果这个质点落在 [4,10]上任一子区间内的概率与这个区间长度成正比,求 X的分布函数 F(x)。
可以推出 X的概率密度函数为定义,设连续型随机变量 X具有概率密度则称 X在区间 (a,b)上服从均匀分布。记为 X~U(a,b)。
等可能性,即它落在区间 (a,b)中任意等长度的子区间内的可能性容易推出均匀分布的分布函数为其密度函数与分布函数的图像为在区间 (a,b)上服从均匀分布的随机变量 X,具有下述意义的机动 目录 上页 下页 返回 结束是相同的。或者说它落在 (a,b)的子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。
a b x
ab?
1
1
a b
oo
例 6,某公共汽车站从上午 7时起每 15分钟发一班车，即 7:00,7:15,
7:30,… 有汽车发出,如果乘客到达汽车站的时间 X是在 7:00
~7:30的均匀分布，试求乘客在车站等候
（ 1）不到 5分钟的概率； （ 2） 超过 10分钟的概率。
解 若将 7:00作为时间起点。则乘客到达时间 X服从 [0,30]区间上的均匀分布，即 X~U[0,30]。为使等候时间不到 5分钟，乘客要
7:10到 7:15之间或 7:25到 7:30之间到汽车站。故 (1)所求的概率为类似地，当乘客在 7:00到 7:05之间或 7:15到 7:20之间到达汽车站时，将等候 10分钟以上。故（ 2）所求的概率为五,正态分布正态分布是最重要的连续型分布，它在实践中有着最广泛的似服从正态分布。一般地说，如果影响某一数量指标有许多那么，这数量指标服从正态分布。
1 定义 若随机变量 X的概率密度函数为其中 μ,σ（ σ>0)为常数，则称 X服从参数为 μ和 σ的正态分布或高斯分布，记作显然,可以证明,
机动 目录 上页 下页 返回 结束应用，例如测量的误差，炮弹落点的分布，农作物产量，同龄人的身高、体重、红细胞数、血清胆固醇含量、血脂等，都近随机因素，而每个随机因素都不起主要的作用（作用微小）时，
2,性质
3).在 x = μ± σ处有拐点,x轴为水平渐近线 ;
4).如果固定 σ,随 μ值的不同,曲线沿 X轴平移,且形状不变 ;
5).如果固定 μ,当 σ值增大时曲线变得矮而胖；
6).正态曲线下的总面积等于 1。
2).当 x = μ时,f (x)取最大值 ;1).曲线 f(x)关于 x = μ 对称 ;
机动 目录 上页 下页 返回 结束
dtedttu
u tu
2
2
2
1)()(
由概率密度函数对称性,有 )( x )(1 x
标准正态分布在应用上特别重要，其分布函数 Φ(x)
分布函数为,
定义,μ=0,σ=1的正态分布 N(0,1)称作标准正态分布。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3 标准正态分布及其概率计算其概率密度函数为,
的函数值可查附表。
例 7,设随机变量 X~N(0,1),查表计算：
（ 1） P(U≤2.5) ; (2) P(U>2.5) ; (3) P(∣ U∣ <2.5) 。
解,（ 1） 查附表，得
（ 2） 利用对立事件，得
（ 3）
4 正态分布的的分布函数及其概率的计算若则其分布函数为引理 若,则于是对于任意区间 ( x1,x 2 ]，有
){ XP
(2) (3)
解,（ 1）
类似地（ 2）
（ 3）
尽管正态变量的取值范围是（ –∞,+∞），但它的值落在内几乎是肯定的事。这就是人们所说的,3σ‖法则。
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 8,设,求 (1)
例 9,某人乘车到火车站，有两条路可走。第一条 路较短，但交拥挤，所需时间服从正态分布 N(40,102)，第二条路较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布 N(50,42) 。
（ 1） 若动身时离发车时间有 1小时，应走那条路？
（ 2） 若动身时离发车时间只有 55分钟，应走那条路？
解,(1)离发车时间有 1小时，第一条路在 1小时内到达的概率为
9772.0)2(10 4060}60{XP
第二条路在 1小时内到达的概率为
9938.0)5.2(4 5060}60{XP
故当还有 1小时走第二条路更可靠。
（ 2） 离发车有 55分钟，第一条路在 55分钟内到达的概率为第二条路在 55分钟内到达的概率为故当还有 55分钟，走第一条路更加保险。
六、混合型随机变量分布函数具有三个基本性质,(1)单调不减,(2)右连续,(3)F(-∞)=0,F(+∞)=1。一个实值函数 F(x),x∈ R
若满足上面三个性质，则必存在一个概率空间上的随机变量 X,以 F(x)为其分布函数。因此 (1)—(3)完全刻划了一个随机变量的分布函数。 （证明略）
例 10,设
1021 xx 当
11?x当
显然 F(x)满足 (1)—(3)，故是分布函数，但既非离散型 (F(x)不是阶梯形跳跃 )，也非连续型 (F(x)不连续，故不可能表为非负函数的变上限积分。
例 11,设有一个均匀的陀螺，在其圆周的半圈上都标明刻度 1，
另外半圈上均匀地刻上区间 [0,1]上诸数字，旋转这陀螺，求它停下时其圆周上触及桌面的刻度 X 的分布函数。
解,由于陀螺及刻度的均匀性，由题意对于 [0,1]内任一区间
( a,b ]有把 [0,1]看作数轴上的一个区间，建立 X的分布函数 F(x) 。
0}{)(0 xXPxFx 时，当
2/}{)(,10 xxXPxFx 时当即
11
102/
00
)(
x
xx
x
xF?
一,指数分布二,连续型均匀分布三,正态分布 (标准正态分布 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束一、分布函数对于非离散型随机变量 X，由于其可能取的值不能一个一个地列举出来，因而就不能像离散型随机变量那样可以用分布律来描述它。另外，我们通常所遇到的非离散型随机变量取任一指定的实数值的概率都等于 0。再者，在实际中，对于这样的随机变量，例如误差 ε，元件的寿命 T 等，我们并不会对误差
ε = 0.05 (mm),寿命 T=1251（ h）的概率感兴趣，而是考虑误差落在某个区间内的概率，寿命 T大于某个数的概率。因而我们转而去研究随机变量所取的值落在一个区间的概率：
但由于
}{ 21 xXxP }{ 2xXP }{ 1xXP
所以我们只需知道,}{ xXP?
1.定义,设 X是一个随机变量,x是任意实数,则函数 F(x) = P(X≤x)
称为 X的分布函数。
因此，若已知 X的分布函数，我们就知道 X落在任一区间 (x1,x2 ]
)()(}{}{}{ 121221 xFxFxXPxXPxXxP
对于任意实数 x1,x2 ( x1 < x2 ),有机动 目录 上页 下页 返回 结束上的概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律。
分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们将能用数学分析的方法来研究随机变量。
如果将 X看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数
F(x)在 x处的函数值就表示 X落在区间 (-∞,x]上的概率。
2,性质
（ 1） 分布函数是一个不减函数：当 x1 < x2 时，有 F(x1) ≤ F(x2)
对于任意实数 x1,x2 ( x1 < x2 ),有我们只从几何意义上加以说明。在下图中，将区间端点 x
,)()0()3( xFxF,)( 是右连续的即 xF
F ( x2 ) -F ( x1 ) = P ( x1 < X≤ x2 )
1)(lim)( xFF x
机动 目录 上页 下页 返回 结束沿数轴无限向左移动（即 x→ － ∞）,则“随机点 X落在点 x的左边”
这一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于 0，即有 F(–∞)=0;
又若将点 x无限右移（即 x→∞),则“随机点 X落在点 x左边”这一事件趋于必然事件，从而其概率趋于 1，即有 F(∞)=1。
解,X仅在 0,1,2三点处其概率不等于 0，而 F(x)的值是 X≤x
例 1,设离散型随机变量 X的概率函数为求 X的分布函数，并求的累积概率值，由概率的有限可加性，知它即为小于或等于 x 的那些 xk 处的概率 pk 之和，有机动 目录 上页 下页 返回 结束
)( xF 00?x
10}0{ xXP
X 0 1 2
P 0.16 0.48 0.36
即
F(x)的图形是一条阶梯形的曲线，在 x =0,1,2处有
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}2/32/1{ XP )2/1()2/3( FF 16.064.0 48.0?
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一般，设离散型随机变量 X的概率函数为
,2,1,}{ kpxXP kk
由概率的可列可加性得 X的分布函数为
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即机动 目录 上页 下页 返回 结束
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例 2,一个靶子是半径为 2的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上
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若 0≤x≤2,由题意,是为了确定 k的值，取 x = 2，有 P {0≤X≤2}=4k,但已知于是 }{)( xXPxF }0{ XP }0{ xXP,
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若 x > 2,由题意 { X≤x } 是必然事件，于是 F(x)=P{X≤x}=1
21
204/
00
)( 2
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.线它的图形是一条连续曲解,若 x < 0,则 { X≤x }是不可能事件，于是
P { 0≤X ≤2 }=1,故得 k =?,即 P { 0≤X ≤x }= x2/4,
某一常数，
机动 目录 上页 下页 返回 结束的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击能中靶,以 X表示弹着点与圆心的距离,试求随机变量 X的分布函数,
综合上述，即得 X的分布函数为说明,对于任意实数 x,F(x)可以写成形式其中这就是说,F(x) 恰是非负函数 f(t) 在区间 (-∞,x]
其它0
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机动 目录 上页 下页 返回 结束的积分，在这种情况我们称 X为连续型随机变量。
二、连续型随机变量及其概率密度函数定义,如果相应于随机变量 X的分布 F(x)存在着非负的
x dttfxF )()(
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).()()()4( xfxFxxf处连续，则有在点若则称 X为连续型随机变量,f(x)称为 X的概率密度函数。
机动 目录 上页 下页 返回 结束函数 f(x)，对于任意的实数 x都有注意,概率函数反映离散型随机变量的分布规律，
概率密度函数 f(x)则反映连续型随机变量的分布规律。
但是,f(x)却不是概率。在连续型随机变量中，只有
xxf?)( 才能与离散型随机变量中的 P{X=x}相当，
可统一用分布函数 F(x)=P{ X ≤x }来反映其分布机动 目录 上页 下页 返回 结束它表示 x附近的概率。同时，两种类型的随机变量规律。
例 3.设随机变量 X的概率密度为试确定常数 c,并求其分布函数 F(x)和 P(0< X ≤1) 。
解,由概率密度的性质有
0 2 dxce x
0 2 )2(2 xdec x 022 xec
而,847.01)0()1(}10{ 2eFFXP
1?
x dttfxF )()(
xte 02
=0 x ≤0
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、指数分布指数分布常用来作为各种,寿命,分布的近似。如随机服务定义,如果随机变量 X的概率密度为其中 λ>0,则称 X服从参数为 λ的指数分布。记作 X~e( λ )。
易知 f(x) ≥0,且,1)(
dxxf
的分布函数为容易推出 X
其它0
01)( xexF x?
机动 目录 上页 下页 返回 结束系统中的服务时间,某些消耗性产品 (电子元件 )的寿命等等,
都常被假定服从指数分布。
例 4,某种晶体管寿命服从参数为 0.001的指数分布 (小时 ),
电子仪器装有此种晶体管 5个，并且每个晶体管损坏与否相互解,设 Xi=―第 i只晶体管的寿命”（ i=1,2,3,4,5）由题设知
10000 001.0 )001.0( xde x
设 Y=―5只晶体管中寿命小于 1000(小时 )的只数”，则 Y~B(5,1-e -
1 )
312125 )()1(}2{ eeCYP,)1( 21325 eeC
独立。试求此仪器在 1000小时内恰好有两个晶体管损害的概率。
Xi 的概率密度函数是
1 0 0 000 0 1.0 xe 11 e
所以 1000内恰好有两只晶体管损害的概率是服从指数分布的随机变量 X 具有以下有趣的性质：
对于任意 有事实上以上性质称为 无记忆性 。如果 X 是某一元件的寿命，那么，
概率相等。这就是说，元件对它已使用了 s小时没有记忆。
机动 目录 上页 下页 返回 结束上式表明：已知元件已使用了 s小时，它总共能使用至少 s + t
小时的条件概率，与从开始使用时算起它至少能使用 t 小时的具有这一性质是指数分布有广泛应用的重要原因。
40?x
四、连续型均匀分布例 5,在区间 [4,10]上任意抛掷一个质点,用 X表示这个质点与解,X可取 [4,10]上的一切实数，即 4≤X≤10 是一个必然有 P{c≤X≤ d}=k(d-c),k为比例常数。特别地，取 c=4,d=10,
P{4≤X≤10}=k(10 -4)=6k=1,因此 k=1/6。故分布函数为
}{)( xXPxF 1046/)4( xx
事件,P{4≤X≤10}=1 。若机动 目录 上页 下页 返回 结束原点的距离,则 X是一个随机变量。如果这个质点落在 [4,10]上任一子区间内的概率与这个区间长度成正比,求 X的分布函数 F(x)。
可以推出 X的概率密度函数为定义,设连续型随机变量 X具有概率密度则称 X在区间 (a,b)上服从均匀分布。记为 X~U(a,b)。
等可能性,即它落在区间 (a,b)中任意等长度的子区间内的可能性容易推出均匀分布的分布函数为其密度函数与分布函数的图像为在区间 (a,b)上服从均匀分布的随机变量 X,具有下述意义的机动 目录 上页 下页 返回 结束是相同的。或者说它落在 (a,b)的子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。
a b x
ab?
1
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例 6,某公共汽车站从上午 7时起每 15分钟发一班车，即 7:00,7:15,
7:30,… 有汽车发出,如果乘客到达汽车站的时间 X是在 7:00
~7:30的均匀分布，试求乘客在车站等候
（ 1）不到 5分钟的概率； （ 2） 超过 10分钟的概率。
解 若将 7:00作为时间起点。则乘客到达时间 X服从 [0,30]区间上的均匀分布，即 X~U[0,30]。为使等候时间不到 5分钟，乘客要
7:10到 7:15之间或 7:25到 7:30之间到汽车站。故 (1)所求的概率为类似地，当乘客在 7:00到 7:05之间或 7:15到 7:20之间到达汽车站时，将等候 10分钟以上。故（ 2）所求的概率为五,正态分布正态分布是最重要的连续型分布，它在实践中有着最广泛的似服从正态分布。一般地说，如果影响某一数量指标有许多那么，这数量指标服从正态分布。
1 定义 若随机变量 X的概率密度函数为其中 μ,σ（ σ>0)为常数，则称 X服从参数为 μ和 σ的正态分布或高斯分布，记作显然,可以证明,
机动 目录 上页 下页 返回 结束应用，例如测量的误差，炮弹落点的分布，农作物产量，同龄人的身高、体重、红细胞数、血清胆固醇含量、血脂等，都近随机因素，而每个随机因素都不起主要的作用（作用微小）时，
2,性质
3).在 x = μ± σ处有拐点,x轴为水平渐近线 ;
4).如果固定 σ,随 μ值的不同,曲线沿 X轴平移,且形状不变 ;
5).如果固定 μ,当 σ值增大时曲线变得矮而胖；
6).正态曲线下的总面积等于 1。
2).当 x = μ时,f (x)取最大值 ;1).曲线 f(x)关于 x = μ 对称 ;
机动 目录 上页 下页 返回 结束
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2
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1)()(
由概率密度函数对称性,有 )( x )(1 x
标准正态分布在应用上特别重要，其分布函数 Φ(x)
分布函数为,
定义,μ=0,σ=1的正态分布 N(0,1)称作标准正态分布。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3 标准正态分布及其概率计算其概率密度函数为,
的函数值可查附表。
例 7,设随机变量 X~N(0,1),查表计算：
（ 1） P(U≤2.5) ; (2) P(U>2.5) ; (3) P(∣ U∣ <2.5) 。
解,（ 1） 查附表，得
（ 2） 利用对立事件，得
（ 3）
4 正态分布的的分布函数及其概率的计算若则其分布函数为引理 若,则于是对于任意区间 ( x1,x 2 ]，有
){ XP
(2) (3)
解,（ 1）
类似地（ 2）
（ 3）
尽管正态变量的取值范围是（ –∞,+∞），但它的值落在内几乎是肯定的事。这就是人们所说的,3σ‖法则。
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 8,设,求 (1)
例 9,某人乘车到火车站，有两条路可走。第一条 路较短，但交拥挤，所需时间服从正态分布 N(40,102)，第二条路较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布 N(50,42) 。
（ 1） 若动身时离发车时间有 1小时，应走那条路？
（ 2） 若动身时离发车时间只有 55分钟，应走那条路？
解,(1)离发车时间有 1小时，第一条路在 1小时内到达的概率为
9772.0)2(10 4060}60{XP
第二条路在 1小时内到达的概率为
9938.0)5.2(4 5060}60{XP
故当还有 1小时走第二条路更可靠。
（ 2） 离发车有 55分钟，第一条路在 55分钟内到达的概率为第二条路在 55分钟内到达的概率为故当还有 55分钟，走第一条路更加保险。
六、混合型随机变量分布函数具有三个基本性质,(1)单调不减,(2)右连续,(3)F(-∞)=0,F(+∞)=1。一个实值函数 F(x),x∈ R
若满足上面三个性质，则必存在一个概率空间上的随机变量 X,以 F(x)为其分布函数。因此 (1)—(3)完全刻划了一个随机变量的分布函数。 （证明略）
例 10,设
1021 xx 当
11?x当
显然 F(x)满足 (1)—(3)，故是分布函数，但既非离散型 (F(x)不是阶梯形跳跃 )，也非连续型 (F(x)不连续，故不可能表为非负函数的变上限积分。
例 11,设有一个均匀的陀螺，在其圆周的半圈上都标明刻度 1，
另外半圈上均匀地刻上区间 [0,1]上诸数字，旋转这陀螺，求它停下时其圆周上触及桌面的刻度 X 的分布函数。
解,由于陀螺及刻度的均匀性，由题意对于 [0,1]内任一区间
( a,b ]有把 [0,1]看作数轴上的一个区间，建立 X的分布函数 F(x) 。
0}{)(0 xXPxFx 时，当
2/}{)(,10 xxXPxFx 时当即
11
102/
00
)(
x
xx
x
xF?
