第一章随机事件及其概率第一章二、事件的关系与运算一、随机事件第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束随机试验之前无法肯定抛掷的结果是什么； 在同一条件下生产的一批一,随机事件
1,随机现象：
定义 1,在同一条件有不确定的结果的现象叫随机现象。
例如,在相同条件下抛同一枚硬币，其结果可能是正面
(图案面 )朝上，也可能是反面 (币额面 )朝上，并且在每次抛掷针剂中，有的是合格品，有的是次品；
有的无效。
机动 目录 上页 下页 返回 结束某种疾病的患者，服用相同剂量的同种药物后，有的痊愈，有的有效而未痊愈，
2、随机试验：
定义 2,具有下列三个特性的试验 E 称为随机试验 (简称试验 )
(1)试验可以在相同的条件下重复地进行 ;
(2)每次试验的可能结果不止一个,并且事先可以明确试验的例如,E1,抛一枚硬币，观察正面 H﹑ 反面 T出现的情况。
E2,将一枚硬币抛掷两次，观察正面 H﹑ 反面 T出现的情况
E3,将一枚硬币抛掷两次，观察出现正面的次数。
E4,记录武汉市 120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。
E5,在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
我们是通过随机试验来研究随机现象的。
机动 目录 上页 下页 返回 结束所有可能结果 ;
(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
定义 3,随机试验 E的所有可能结果组成的集合称为 E的 样本如上例：
3、样本空间,对于随机试验尽管在每次试验之前不能预知注意：样本空间的元素是由试验的目的所确定的。如 E2与 E3 。
机动 目录 上页 下页 返回 结束试验的结果，但试验的所有可能结果组成的集合是已知的。
空间,记为 S。样本空间的元素，称为 样本点。
4.随机事件 在实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合。例如，若规定某种灯泡的寿命
(小时 )小于 500为次品，则在 E5 中我们关心灯泡的寿命是否有
t ≥ 500? 满足这一条件的样本点组成 S5 的一个子集：
.}5 0 0{ ttA
我们称 A为试验 E5 的一个随机事件。
显然，当且仅当子集 A中的一个样本点出现时，有 t≥ 500 。
随机事件,随机试验 E的样本空间 S的子集称为 E的随机事件,
简称事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现，称这一事件发生。
基本事件,随机试验 E的每一个基本结果称为一个“基本事件”
或称为“样本点”。
例如，试验 E1 有两个基本事件 { H } 和 { T } 。
必然事件,样本空间 S包含所有的样本点，它是 S自身的子集，
在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。
不可能事件,空集 Φ 不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。
例 1,在 E2 中,事件 A1,― 第一次出现的是 H ‖，即
.},{1 HTHHA?
事件 A2,― 两次出现同一面,，即则称 事件 B 包含事件 A,
二、事件之间的关系及运算定义 1.
.BA?
若 且 则称 A 与 B 相等,.BA?
例如：掷两颗均匀骰子。
则有,A={(5,6),(6,5),(6,6)},
设 A={掷出点数之和大于 10},
B={至少有一颗骰子掷出 6点 }。
B={(1,6),(2,6),(3,6),(4,6)(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),
(6,4),(6,5),(6,6)}。
若 A发生必然导致 B的发生，设有事件,,BA
记作记作机动 目录 上页 下页 返回 结束定义 2,给定两个事件 A,B,
并 (和 ) xBA
交 (积 ) xBA且差 xBA Bx?且定义下列运算,
A
BA\
B
BA?
BA?
机动 目录 上页 下页 返回 结束或当且仅当 A,B 中至少有一个发生时，事件 A + B 发生。
当且仅当 A,B 同时发生时，事件 AB 发生。
当且仅当 A 发生,B 不发生时，事件 A－ B 发生。
例如,掷一颗骰子。 设 A={掷出偶数点 }={2,4,6},
B={掷出 3的倍数点 }={3,6},则 C=A+B={2,3,4,6} 。
如上例,AB = { 6 } 。
如上例 D = A – B = { 2,4 } 。
互不相容事件,若 AB= Φ,则称事件 A与 B是互不相容的，
或互斥的。这指的是事件 A与事件 B不能同时发生。
例如 掷一颗骰子,A= {掷出偶数点 } = {2,4,6}，
B = {掷出奇数点 } = {1,3,5},则 AB= Φ AB= Φ
对立事件,若 A+B=S且 AB= Φ,则称事件 A与事件 B互为对立事件。又称事件 A与事件 B互为逆事件。
机动 目录 上页 下页 返回 结束如果 n个事件两两互不相容，则称这 n个事件互不相容。
显然,基本事件是两两互不相容的。
这指的是事件 A与 B能且只能发生其中之一。
cABA
B
事件的运算性质机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,试用事件 A,B,C表示下列事件 (1)A出现,B和 C
不出现； (2) 3个事件都出现； (3) 3个事件都不出现；
（ 4） 3个事件至少有一个出现。
解,由事件的关系及运算性质易得：
)()1( CBACBA
CBAAB C)2(
CBACBA)3(
CBA)4(
机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束第二节频率与概率一、频率二、概率对于一个事件（除必然事件和不可能事件）来说，它一次试验中可能发生，也可能不发生。而且当我们观察一个可能性大些，有些事件出现的可能性小些，有些事件出现的可能性彼此大致相同。因此，研究随机现象不仅要知道它可能出现那些事件，更重要的是要研究各种事件出现可能性大小，
揭示出现这些事件的内在的统计规律，只有这样才有利于我们认识世界和改造世界。
为此，首先引入 频率,它描述了事件发生的 频繁程度,
进而引出表征事件 在一次试验中发生的可能性大小 的数 —概率 。
随机试验的各种事件，一般来说，总会发现有些事件出现的机动 目录 上页 下页 返回 结束一、频率定义,在相同的条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中，
事件 A发生的次数 nA 称为事件 A发生的频数。 比值称为事件 A发生的频率,并记成由定义，易见频率具有下述基本性质：
)()()()( 2121 knnnkn AfAfAfAAAf
(3) 若
kAAA,,,21?
是两两互不相容的事件,则机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束由于事件 A发生的频率是它发生的次数与试验次数之比，
其大小表示 A发生的频繁程度。 频率大，事件 A发生就频繁，
这意味着 A在一次试验中发生的可能性就大。反之亦然。
因而，直观的想法是用频率来表示 A在一次试验中发生的可能性的大小。
但是否可行呢？先看下面的例题。
例 1:
从表中数字看出,抽到次品数 n较小时，次品率 (频率 )在 0与 1之检查某药厂产品，其结果如下：
间随机波动，其幅度较大,但随着 n增大，次品率呈现出稳定性。
机动 目录 上页 下页 返回 结束即当 n 逐渐增大时次品率总是在 0.1 附近摆动，
而逐渐稳定于 0.1。
抽出产品件数（ n）
5 10 60 150 600 900 1200 1800 2400
次品数
（ m）
0 3 7 19 52 100 109 169 248
次品率
（ m/n）
0 0.3 0.117 0.127 0.087 0.111 0.091 0.094 0.103
例 2,考虑某药材种子的发芽率。
从一大批种子中抽取 10批种子做发芽试验，
其结果如下：
从表看出，发芽率在 0.9附近摆动。
机动 目录 上页 下页 返回 结束种子粒数 2 10 70 130 310 700 1500 2000 3000
发芽粒数 2 4 60 116 282 639 1339 1806 2715
发芽率 1 0.8 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905
从上面的例子可看出，它们有如下的特点：当我们考虑事件在处理实际问题时，通常是用试验次数足够大时的频率来重复试验，事件 A发生的频率呈现某种稳定现象。一般说来，
当试验的次数增加时，事件 A发生的频率总是稳定于某一数附近，
而偏离的可能性很小。频率具有稳定性这一事实，说明了刻画事件 A发生的可能性大小的数 —概率的客观存在性,
A发生的可能性大小时，只要我们在同一条件组下作大量的度量概率的。 但是，在有的问题中，我们不可能（也不需要）
对每一事件都做大量的试验，然后求得频率，用以表征事件发生的可能性大小。同时，为了理论研究的需要，我们从频率的稳定性和频率的性质得到启发，给出如下表征事件发生可能性大小的概率的定义。
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、概率
1,定义 设 E是随机试验,S是它的样本空间。对于 E的每如果集合函数 P(·)满足下列条件：;0)(,:)1(?APA 有对于每一个事件非负性;1)()2(?SPS,有规范性：对于必然事件
，是两两互不相容的事件，，可列可加性：设?21)3( AA
，则有，，，，，即对于?21 jiAAji ji
)()()( 2121 APAPAAP
一事件 A赋于一个实数，记为 P(A)，称为事件 A的概率，
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,性质性质 1,0)(P
证,令 ),2,1(, nA
n?
，则
,21AA 且,2,1,,, jijiAA ji?
)()( 21 AAPP )()( 21 APAP
)()( PP
由概率的非负性知 0)(P
由概率的可列可加性得
，故又上式知
0)(P
机动 目录 上页 下页 返回 结束性质 2（有限可加性）,若 nAAA,,,21?
是两两互不相容的事件，则有
)()()()( 2121 nn APAPAPAAAP
证,令 即有由可列可加性得
)( 21 nAAAP
)()()( 21 nAPAPAP
)( 21 nAAAP
0)()()( 21 nAPAPAP?
)()()( 21 nAPAPAP
机动 目录 上页 下页 返回 结束性质 3 设 A,B是两随机事件，若 BA?
则有
,)( ABABBA 知
,)( ABA且
.)()(,)()()( APBPAPBPABP
证,由再由概率的有限可加性，得
,)()()( ABPAPBP
又由概率的非负性得
.)()( APBP?
0)( ABP
故机动 目录 上页 下页 返回 结束
A AB?
S
性质 4 对于任一事件 A,.1)(?AP
证,因,SA?
性质 5 对于任一事件 A，有由性质 3得证,因,, AASAA 且由有限可加性得：
)( AAP,)()( APAP
机动 目录 上页 下页 返回 结束性质６ （加法公式） 对于任意两事件Ａ，Ｂ有
P( A+B )=P( A )+P( B )—P( AB )
证,因且
)()( ABBPAP
.)()()( ABPBPAP
故 )( BAP?
机动 目录 上页 下页 返回 结束对于任意 n个事件有
P(A1+A2+A3 )= P(A1)+P(A2)+P(A3) –P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)
推广,设 A1,A2,A3 为任意三个事件，则有
A
ABB?
S
第三节古典概型一、古典概率二、几何概率一、古典概率定义 1,具有下列特点的随机试验称为古典概型 (等可能概型 )：
１）实验的样本空间只包含有限个元素；
２）试验中每个基本事件发生的可能性相同。
古典概率的计算公式又由于基本事件是两两互不相容的。于是机动 目录 上页 下页 返回 结束设试验的样本空间为 S={e1,e2,…,en},由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同，即有于是,,,2,1,1})({ ni
neP i
若事件Ａ包含ｍ个基本事件，即
miii iiieeeA m,,,}{}{}{ 2121 这里
中基本事件的总数包含的基本事件数
S
A
n
m
上式就是等可能概型中事件Ａ的概率的计算公式。
是 1,2,…,n 中某ｍ个不同的数。则有机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,将一枚硬币抛掷三次。（ 1）设事件 A1为“恰有一次出现正面”，求 P(A1)； (2)设事件 A2 为“至少有一次出现正面”
解,样本空间为 S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}
8
7
8
11
于是由于,}{)2( 2 T T TA?
求 P(A2),
（ 1） A1 ={HTT,THT,TTH,}
S 中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同，故当样本空间的元素较多时，我们一般不再将 S中的元素一一列出，
而只需分别求出 S中与 A中包含的元素的个数（即基本事件的个数），再由古典概型的概率计算公式即可求出事件 A的概率 。
例 2,瓶中装有 50片药,若其中有 3片次品。质检员自瓶中任取 5片，求取得的 5片中有 2片次品的概率。
解,自 50片药中任取 5片，总共有 C505 种机会均等的取法，每次能且只能是其中的一种取法,
设事件 A={取得的 5片药中有 2片次品 }，取出的 5片中
.0 2 3.0)( 5
50
3
47
2
3
C
CCAP
34723 CC?有 2片次品和 3片正品的情况为上述取法中的种，所以，所求的概率为机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,一口袋装有 6只球，其中 4只白球 ﹑ 2只红球。从袋中取球两次，每次随机地取一只。考虑两种取球方式,(a)第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球。 这种取球方式叫做 放回抽样 。（ b）第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。这种取球方式叫做 不放回抽样 。
试分别就上面两种情况求（ 1）取到的两只球都是白球的概率；
（ 2）取到的两只球颜色相同的概率；（ 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
解,（ a）放回抽样的情况。
设 A={取到的两只球都是白球 },B={取到的两只球都是红球 }，
C={取到的两只球中至少有一只是白球 }。易知,A+B= {取到两只颜色相同的球 }.而在袋中依次取两只球,每一种取法为一个基本事件,显然此时样本空间中仅包含有限个元素。且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同，因而满足古典概型的条件。
机动 目录 上页 下页 返回 结束第一次从袋中取球有 6只球可供抽取，第二次也有 6只球可供抽取。由乘法原理知，共有 6× 6种取法，即样本空间中元素总数为 n=6× 6。对于事件 A而言，由于第一次有 4只白球可供抽取,第二次也有 4只白球可供抽取，由乘法原理共有 4× 4
9
4
66
44)(?
AP
种取法，即 A中包含有 4× 4个元素。同理,B中包含 2× 2个元素。
由于,AB 9/5)()()( BPAPBAP得,
（ b）类似地可得不放回抽样的情况的概率。
,5256 34)(AP
15
1
56
12)(?
BP
9
1
66
22)(?
BP
9/8)(1)()( BPBPCP
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,某地是肝炎病高发区，有 25%的人曾患甲型肝炎，有解,A={有甲型阳性史 },B={有乙型阳性史 }，则阳性史 }。 依题设数据，有 P(A)=0.25,P(B)=0.15,P(AB)=0.12。
由加法公式得 P(A+B)=P(A)+P(B) –P(AB)=0.28
15%的人是乙型肝炎病毒携带者，有 12%的人既有甲型又有第二节 目录 上页 下页 返回 结束乙型阳性史。普查时，从该地人群中任选一人询问，他至少有一种肝炎阳性史的可能性有多大？
AB={既有甲型又有乙型阳性史 },A+B={至少有一种肝炎即该地区 28%的人至少有一种肝炎阳性史。
例 5,胃癌病人接受过手术 (A)﹑ 放疗 (B)﹑ 中药治疗 (C)
解,先求至少得到一种治疗的概率
)( CBAP )()()( CPBPAP
)()()( BCPACPABP
8
1
4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2
1
8
7?
于是得所求的概率为各有 1/2，同时接受过两种治疗方法的各有 1/4，接受过三种治疗的 1/8，另有部分病人因误诊等原因而未得到治疗，这样的可能性有多大？
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,袋中有 a 只白球,b 只红球,k 个人依次在袋中取一只球
(1)作放回抽样 ;(2)作不放回抽样,求第 i ( i =1,2,…,k )人取到白球 (记为事件 B)的概率 ( k ≤ a + b ),
解,(1) 放回抽样的情况,显然有 P(B)= a/(a+b),
(2)不放回抽样的情况。每人取一只球，每种取法是一个基本事件。共有 (a + b)(a + b –1) …( a + b –k+1)=Pa+bk 个基本事件，且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同。当事件 B发生时，
第 i人取的应是白球，它可以是 a只白球中任意一只，有 a种取法。
其余被取的 k-1只球可以是其余的 a+b-1只球中任意 k-1只，共有
(a+b-1)(a+b-2) …[( a+b-1)-(k-1)+1]=Pa+b-1k-1种取法，于是 B中包含
a· Pa+b-1k-1个基本事件，故
)(BP
k
ba
k
ba
A
Aa
1
1,
ba
a
说明,（ 1） P(B) 与 i 无关，即 k 个人取球的先后次序不同，
各人取到白球的概率是一样的，大家机会相同（例如在购买福利彩票时，各人得奖的机会是一样的）。
(2) 放回抽样的情况与不放回抽样的情况下 P(B)是一样的例 7,将 15名新生随机地平均分配到三个班级中去,这 15名新生中有 3名是优秀生,求,(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率 ;
(2) 3名优秀生分配在同一班级的概率,
解,15名新生平均分配到三个班级中的分法总数为
!5!5!5
!155
5
5
10
5
15 CCC
每一种分法为一基本事件,且由对称性易知每个基本事件发生的可能性相同,
(1) 将三名优秀生分配到三个班级使每个班级都有一名优秀生的分法共 3!种,对于这每一种分法,其余 12名新生平均分配到三个班级中的分法共有 12!/(4!4!4!)种,因此,每一个各分配到一名优秀生的分法共有 ( 3! × 12!)/(4!4!4!)种,于是所求概率为,
!4!4!4
!12!3?
!5!5!5
!15/
91
25?
(2) 将 3名优秀生分配在同一班级的分法共有 3种,对于这每一种分法,其余 12名新生的分法 (一个班级 2名,令两个班级各
5名 )有 12!/(2!5!5!)种,因此 3 名优秀生分配在同一班级的分法共有 ( 3× 12! ) / ( 2!5!5! ) 种,于是,所求的概率为,
2p
!5!5!5
!15
91
6?
古典概型概率问题,有两个基本前提,一是样本试验的可能结果有无穷多种的情形，古典概率定义并不适用,然而，实际问题中经常出现试验的结果有无穷多种的情形。如果，对于这无穷多种试验结果，
直观上的等可能性仍旧成立，那么，可以仿照可以空间是有限空间,二是基本事件是等可能的。对于仿照古典概率定义来进行讨论。
二,几何概率例 6,在一个形状为旋转体的均匀陀螺的圆周上均匀地刻上区间 [0,3）上的诸数字。旋转这个陀螺。当它停下时，
它的圆周与桌面接触处的刻度总是区间 [0,3）上的一个数。
求当陀螺停下时，它的圆周接触桌面处的刻度在区间 [1/2,2]
解,由于这个陀螺构造上的对称性 ﹑ 均匀性，当它停下时，
它的圆周上各点与桌面接触的可能性相等。又由于刻度的应该规定所要求概率为的长度区间的长度区间
)3,0[
]2,2/1[)(?AP
机动 目录 上页 下页 返回 结束均匀性，刻度取区间 [0,3）上诸值的可能性相等。因此上的概率。
例 7,设一个微生物位于容积为 V的容器内各点处的可能性相等。求这个微生物位于这容器内体积为 v 的一个指定的部分区域 D内的概率。
解,按条件“这个微生物位于这容器内各点处的可能性相等”，
应该规定所求的概率为定义,设样本空间 S为一维直线 (或二维平面，或三维空间 )
上的有界区间（或有界平面区域，或有界空间区域），则对任一事件 A，可定义其概率如下：
),(
),()(
体积面积的长度体积面积的长度
S
AAP?
例 8,将长度为 L的线段折成三段,求此三段能构成一个三角形的概率,
解,设第一段长度为 x,第二段长度为 y,第三段长度为 L-(x+y).
根据三角形三边的关系：
由 x+y>L-(x+y),有 x+y>L/2
由 x+L-(x+y)>y,有 y<L/2
由 y+L-(x+y)>x,有 x<L/2
即，所求概率：
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)(
2
L
LL
AP
L
2
L
x
y
1,随机现象：
定义 1,在同一条件有不确定的结果的现象叫随机现象。
例如,在相同条件下抛同一枚硬币，其结果可能是正面
(图案面 )朝上，也可能是反面 (币额面 )朝上，并且在每次抛掷针剂中，有的是合格品，有的是次品；
有的无效。
机动 目录 上页 下页 返回 结束某种疾病的患者，服用相同剂量的同种药物后，有的痊愈，有的有效而未痊愈，
2、随机试验：
定义 2,具有下列三个特性的试验 E 称为随机试验 (简称试验 )
(1)试验可以在相同的条件下重复地进行 ;
(2)每次试验的可能结果不止一个,并且事先可以明确试验的例如,E1,抛一枚硬币，观察正面 H﹑ 反面 T出现的情况。
E2,将一枚硬币抛掷两次，观察正面 H﹑ 反面 T出现的情况
E3,将一枚硬币抛掷两次，观察出现正面的次数。
E4,记录武汉市 120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。
E5,在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
我们是通过随机试验来研究随机现象的。
机动 目录 上页 下页 返回 结束所有可能结果 ;
(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
定义 3,随机试验 E的所有可能结果组成的集合称为 E的 样本如上例：
3、样本空间,对于随机试验尽管在每次试验之前不能预知注意：样本空间的元素是由试验的目的所确定的。如 E2与 E3 。
机动 目录 上页 下页 返回 结束试验的结果，但试验的所有可能结果组成的集合是已知的。
空间,记为 S。样本空间的元素，称为 样本点。
4.随机事件 在实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合。例如，若规定某种灯泡的寿命
(小时 )小于 500为次品，则在 E5 中我们关心灯泡的寿命是否有
t ≥ 500? 满足这一条件的样本点组成 S5 的一个子集：
.}5 0 0{ ttA
我们称 A为试验 E5 的一个随机事件。
显然，当且仅当子集 A中的一个样本点出现时，有 t≥ 500 。
随机事件,随机试验 E的样本空间 S的子集称为 E的随机事件,
简称事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现，称这一事件发生。
基本事件,随机试验 E的每一个基本结果称为一个“基本事件”
或称为“样本点”。
例如，试验 E1 有两个基本事件 { H } 和 { T } 。
必然事件,样本空间 S包含所有的样本点，它是 S自身的子集，
在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。
不可能事件,空集 Φ 不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。
例 1,在 E2 中,事件 A1,― 第一次出现的是 H ‖，即
.},{1 HTHHA?
事件 A2,― 两次出现同一面,，即则称 事件 B 包含事件 A,
二、事件之间的关系及运算定义 1.
.BA?
若 且 则称 A 与 B 相等,.BA?
例如：掷两颗均匀骰子。
则有,A={(5,6),(6,5),(6,6)},
设 A={掷出点数之和大于 10},
B={至少有一颗骰子掷出 6点 }。
B={(1,6),(2,6),(3,6),(4,6)(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),
(6,4),(6,5),(6,6)}。
若 A发生必然导致 B的发生，设有事件,,BA
记作记作机动 目录 上页 下页 返回 结束定义 2,给定两个事件 A,B,
并 (和 ) xBA
交 (积 ) xBA且差 xBA Bx?且定义下列运算,
A
BA\
B
BA?
BA?
机动 目录 上页 下页 返回 结束或当且仅当 A,B 中至少有一个发生时，事件 A + B 发生。
当且仅当 A,B 同时发生时，事件 AB 发生。
当且仅当 A 发生,B 不发生时，事件 A－ B 发生。
例如,掷一颗骰子。 设 A={掷出偶数点 }={2,4,6},
B={掷出 3的倍数点 }={3,6},则 C=A+B={2,3,4,6} 。
如上例,AB = { 6 } 。
如上例 D = A – B = { 2,4 } 。
互不相容事件,若 AB= Φ,则称事件 A与 B是互不相容的，
或互斥的。这指的是事件 A与事件 B不能同时发生。
例如 掷一颗骰子,A= {掷出偶数点 } = {2,4,6}，
B = {掷出奇数点 } = {1,3,5},则 AB= Φ AB= Φ
对立事件,若 A+B=S且 AB= Φ,则称事件 A与事件 B互为对立事件。又称事件 A与事件 B互为逆事件。
机动 目录 上页 下页 返回 结束如果 n个事件两两互不相容，则称这 n个事件互不相容。
显然,基本事件是两两互不相容的。
这指的是事件 A与 B能且只能发生其中之一。
cABA
B
事件的运算性质机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,试用事件 A,B,C表示下列事件 (1)A出现,B和 C
不出现； (2) 3个事件都出现； (3) 3个事件都不出现；
（ 4） 3个事件至少有一个出现。
解,由事件的关系及运算性质易得：
)()1( CBACBA
CBAAB C)2(
CBACBA)3(
CBA)4(
机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束第二节频率与概率一、频率二、概率对于一个事件（除必然事件和不可能事件）来说，它一次试验中可能发生，也可能不发生。而且当我们观察一个可能性大些，有些事件出现的可能性小些，有些事件出现的可能性彼此大致相同。因此，研究随机现象不仅要知道它可能出现那些事件，更重要的是要研究各种事件出现可能性大小，
揭示出现这些事件的内在的统计规律，只有这样才有利于我们认识世界和改造世界。
为此，首先引入 频率,它描述了事件发生的 频繁程度,
进而引出表征事件 在一次试验中发生的可能性大小 的数 —概率 。
随机试验的各种事件，一般来说，总会发现有些事件出现的机动 目录 上页 下页 返回 结束一、频率定义,在相同的条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中，
事件 A发生的次数 nA 称为事件 A发生的频数。 比值称为事件 A发生的频率,并记成由定义，易见频率具有下述基本性质：
)()()()( 2121 knnnkn AfAfAfAAAf
(3) 若
kAAA,,,21?
是两两互不相容的事件,则机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束由于事件 A发生的频率是它发生的次数与试验次数之比，
其大小表示 A发生的频繁程度。 频率大，事件 A发生就频繁，
这意味着 A在一次试验中发生的可能性就大。反之亦然。
因而，直观的想法是用频率来表示 A在一次试验中发生的可能性的大小。
但是否可行呢？先看下面的例题。
例 1:
从表中数字看出,抽到次品数 n较小时，次品率 (频率 )在 0与 1之检查某药厂产品，其结果如下：
间随机波动，其幅度较大,但随着 n增大，次品率呈现出稳定性。
机动 目录 上页 下页 返回 结束即当 n 逐渐增大时次品率总是在 0.1 附近摆动，
而逐渐稳定于 0.1。
抽出产品件数（ n）
5 10 60 150 600 900 1200 1800 2400
次品数
（ m）
0 3 7 19 52 100 109 169 248
次品率
（ m/n）
0 0.3 0.117 0.127 0.087 0.111 0.091 0.094 0.103
例 2,考虑某药材种子的发芽率。
从一大批种子中抽取 10批种子做发芽试验，
其结果如下：
从表看出，发芽率在 0.9附近摆动。
机动 目录 上页 下页 返回 结束种子粒数 2 10 70 130 310 700 1500 2000 3000
发芽粒数 2 4 60 116 282 639 1339 1806 2715
发芽率 1 0.8 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905
从上面的例子可看出，它们有如下的特点：当我们考虑事件在处理实际问题时，通常是用试验次数足够大时的频率来重复试验，事件 A发生的频率呈现某种稳定现象。一般说来，
当试验的次数增加时，事件 A发生的频率总是稳定于某一数附近，
而偏离的可能性很小。频率具有稳定性这一事实，说明了刻画事件 A发生的可能性大小的数 —概率的客观存在性,
A发生的可能性大小时，只要我们在同一条件组下作大量的度量概率的。 但是，在有的问题中，我们不可能（也不需要）
对每一事件都做大量的试验，然后求得频率，用以表征事件发生的可能性大小。同时，为了理论研究的需要，我们从频率的稳定性和频率的性质得到启发，给出如下表征事件发生可能性大小的概率的定义。
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、概率
1,定义 设 E是随机试验,S是它的样本空间。对于 E的每如果集合函数 P(·)满足下列条件：;0)(,:)1(?APA 有对于每一个事件非负性;1)()2(?SPS,有规范性：对于必然事件
，是两两互不相容的事件，，可列可加性：设?21)3( AA
，则有，，，，，即对于?21 jiAAji ji
)()()( 2121 APAPAAP
一事件 A赋于一个实数，记为 P(A)，称为事件 A的概率，
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,性质性质 1,0)(P
证,令 ),2,1(, nA
n?
，则
,21AA 且,2,1,,, jijiAA ji?
)()( 21 AAPP )()( 21 APAP
)()( PP
由概率的非负性知 0)(P
由概率的可列可加性得
，故又上式知
0)(P
机动 目录 上页 下页 返回 结束性质 2（有限可加性）,若 nAAA,,,21?
是两两互不相容的事件，则有
)()()()( 2121 nn APAPAPAAAP
证,令 即有由可列可加性得
)( 21 nAAAP
)()()( 21 nAPAPAP
)( 21 nAAAP
0)()()( 21 nAPAPAP?
)()()( 21 nAPAPAP
机动 目录 上页 下页 返回 结束性质 3 设 A,B是两随机事件，若 BA?
则有
,)( ABABBA 知
,)( ABA且
.)()(,)()()( APBPAPBPABP
证,由再由概率的有限可加性，得
,)()()( ABPAPBP
又由概率的非负性得
.)()( APBP?
0)( ABP
故机动 目录 上页 下页 返回 结束
A AB?
S
性质 4 对于任一事件 A,.1)(?AP
证,因,SA?
性质 5 对于任一事件 A，有由性质 3得证,因,, AASAA 且由有限可加性得：
)( AAP,)()( APAP
机动 目录 上页 下页 返回 结束性质６ （加法公式） 对于任意两事件Ａ，Ｂ有
P( A+B )=P( A )+P( B )—P( AB )
证,因且
)()( ABBPAP
.)()()( ABPBPAP
故 )( BAP?
机动 目录 上页 下页 返回 结束对于任意 n个事件有
P(A1+A2+A3 )= P(A1)+P(A2)+P(A3) –P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)
推广,设 A1,A2,A3 为任意三个事件，则有
A
ABB?
S
第三节古典概型一、古典概率二、几何概率一、古典概率定义 1,具有下列特点的随机试验称为古典概型 (等可能概型 )：
１）实验的样本空间只包含有限个元素；
２）试验中每个基本事件发生的可能性相同。
古典概率的计算公式又由于基本事件是两两互不相容的。于是机动 目录 上页 下页 返回 结束设试验的样本空间为 S={e1,e2,…,en},由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同，即有于是,,,2,1,1})({ ni
neP i
若事件Ａ包含ｍ个基本事件，即
miii iiieeeA m,,,}{}{}{ 2121 这里
中基本事件的总数包含的基本事件数
S
A
n
m
上式就是等可能概型中事件Ａ的概率的计算公式。
是 1,2,…,n 中某ｍ个不同的数。则有机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,将一枚硬币抛掷三次。（ 1）设事件 A1为“恰有一次出现正面”，求 P(A1)； (2)设事件 A2 为“至少有一次出现正面”
解,样本空间为 S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}
8
7
8
11
于是由于,}{)2( 2 T T TA?
求 P(A2),
（ 1） A1 ={HTT,THT,TTH,}
S 中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同，故当样本空间的元素较多时，我们一般不再将 S中的元素一一列出，
而只需分别求出 S中与 A中包含的元素的个数（即基本事件的个数），再由古典概型的概率计算公式即可求出事件 A的概率 。
例 2,瓶中装有 50片药,若其中有 3片次品。质检员自瓶中任取 5片，求取得的 5片中有 2片次品的概率。
解,自 50片药中任取 5片，总共有 C505 种机会均等的取法，每次能且只能是其中的一种取法,
设事件 A={取得的 5片药中有 2片次品 }，取出的 5片中
.0 2 3.0)( 5
50
3
47
2
3
C
CCAP
34723 CC?有 2片次品和 3片正品的情况为上述取法中的种，所以，所求的概率为机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,一口袋装有 6只球，其中 4只白球 ﹑ 2只红球。从袋中取球两次，每次随机地取一只。考虑两种取球方式,(a)第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球。 这种取球方式叫做 放回抽样 。（ b）第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。这种取球方式叫做 不放回抽样 。
试分别就上面两种情况求（ 1）取到的两只球都是白球的概率；
（ 2）取到的两只球颜色相同的概率；（ 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
解,（ a）放回抽样的情况。
设 A={取到的两只球都是白球 },B={取到的两只球都是红球 }，
C={取到的两只球中至少有一只是白球 }。易知,A+B= {取到两只颜色相同的球 }.而在袋中依次取两只球,每一种取法为一个基本事件,显然此时样本空间中仅包含有限个元素。且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同，因而满足古典概型的条件。
机动 目录 上页 下页 返回 结束第一次从袋中取球有 6只球可供抽取，第二次也有 6只球可供抽取。由乘法原理知，共有 6× 6种取法，即样本空间中元素总数为 n=6× 6。对于事件 A而言，由于第一次有 4只白球可供抽取,第二次也有 4只白球可供抽取，由乘法原理共有 4× 4
9
4
66
44)(?
AP
种取法，即 A中包含有 4× 4个元素。同理,B中包含 2× 2个元素。
由于,AB 9/5)()()( BPAPBAP得,
（ b）类似地可得不放回抽样的情况的概率。
,5256 34)(AP
15
1
56
12)(?
BP
9
1
66
22)(?
BP
9/8)(1)()( BPBPCP
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,某地是肝炎病高发区，有 25%的人曾患甲型肝炎，有解,A={有甲型阳性史 },B={有乙型阳性史 }，则阳性史 }。 依题设数据，有 P(A)=0.25,P(B)=0.15,P(AB)=0.12。
由加法公式得 P(A+B)=P(A)+P(B) –P(AB)=0.28
15%的人是乙型肝炎病毒携带者，有 12%的人既有甲型又有第二节 目录 上页 下页 返回 结束乙型阳性史。普查时，从该地人群中任选一人询问，他至少有一种肝炎阳性史的可能性有多大？
AB={既有甲型又有乙型阳性史 },A+B={至少有一种肝炎即该地区 28%的人至少有一种肝炎阳性史。
例 5,胃癌病人接受过手术 (A)﹑ 放疗 (B)﹑ 中药治疗 (C)
解,先求至少得到一种治疗的概率
)( CBAP )()()( CPBPAP
)()()( BCPACPABP
8
1
4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2
1
8
7?
于是得所求的概率为各有 1/2，同时接受过两种治疗方法的各有 1/4，接受过三种治疗的 1/8，另有部分病人因误诊等原因而未得到治疗，这样的可能性有多大？
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,袋中有 a 只白球,b 只红球,k 个人依次在袋中取一只球
(1)作放回抽样 ;(2)作不放回抽样,求第 i ( i =1,2,…,k )人取到白球 (记为事件 B)的概率 ( k ≤ a + b ),
解,(1) 放回抽样的情况,显然有 P(B)= a/(a+b),
(2)不放回抽样的情况。每人取一只球，每种取法是一个基本事件。共有 (a + b)(a + b –1) …( a + b –k+1)=Pa+bk 个基本事件，且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同。当事件 B发生时，
第 i人取的应是白球，它可以是 a只白球中任意一只，有 a种取法。
其余被取的 k-1只球可以是其余的 a+b-1只球中任意 k-1只，共有
(a+b-1)(a+b-2) …[( a+b-1)-(k-1)+1]=Pa+b-1k-1种取法，于是 B中包含
a· Pa+b-1k-1个基本事件，故
)(BP
k
ba
k
ba
A
Aa
1
1,
ba
a
说明,（ 1） P(B) 与 i 无关，即 k 个人取球的先后次序不同，
各人取到白球的概率是一样的，大家机会相同（例如在购买福利彩票时，各人得奖的机会是一样的）。
(2) 放回抽样的情况与不放回抽样的情况下 P(B)是一样的例 7,将 15名新生随机地平均分配到三个班级中去,这 15名新生中有 3名是优秀生,求,(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率 ;
(2) 3名优秀生分配在同一班级的概率,
解,15名新生平均分配到三个班级中的分法总数为
!5!5!5
!155
5
5
10
5
15 CCC
每一种分法为一基本事件,且由对称性易知每个基本事件发生的可能性相同,
(1) 将三名优秀生分配到三个班级使每个班级都有一名优秀生的分法共 3!种,对于这每一种分法,其余 12名新生平均分配到三个班级中的分法共有 12!/(4!4!4!)种,因此,每一个各分配到一名优秀生的分法共有 ( 3! × 12!)/(4!4!4!)种,于是所求概率为,
!4!4!4
!12!3?
!5!5!5
!15/
91
25?
(2) 将 3名优秀生分配在同一班级的分法共有 3种,对于这每一种分法,其余 12名新生的分法 (一个班级 2名,令两个班级各
5名 )有 12!/(2!5!5!)种,因此 3 名优秀生分配在同一班级的分法共有 ( 3× 12! ) / ( 2!5!5! ) 种,于是,所求的概率为,
2p
!5!5!5
!15
91
6?
古典概型概率问题,有两个基本前提,一是样本试验的可能结果有无穷多种的情形，古典概率定义并不适用,然而，实际问题中经常出现试验的结果有无穷多种的情形。如果，对于这无穷多种试验结果，
直观上的等可能性仍旧成立，那么，可以仿照可以空间是有限空间,二是基本事件是等可能的。对于仿照古典概率定义来进行讨论。
二,几何概率例 6,在一个形状为旋转体的均匀陀螺的圆周上均匀地刻上区间 [0,3）上的诸数字。旋转这个陀螺。当它停下时，
它的圆周与桌面接触处的刻度总是区间 [0,3）上的一个数。
求当陀螺停下时，它的圆周接触桌面处的刻度在区间 [1/2,2]
解,由于这个陀螺构造上的对称性 ﹑ 均匀性，当它停下时，
它的圆周上各点与桌面接触的可能性相等。又由于刻度的应该规定所要求概率为的长度区间的长度区间
)3,0[
]2,2/1[)(?AP
机动 目录 上页 下页 返回 结束均匀性，刻度取区间 [0,3）上诸值的可能性相等。因此上的概率。
例 7,设一个微生物位于容积为 V的容器内各点处的可能性相等。求这个微生物位于这容器内体积为 v 的一个指定的部分区域 D内的概率。
解,按条件“这个微生物位于这容器内各点处的可能性相等”，
应该规定所求的概率为定义,设样本空间 S为一维直线 (或二维平面，或三维空间 )
上的有界区间（或有界平面区域，或有界空间区域），则对任一事件 A，可定义其概率如下：
),(
),()(
体积面积的长度体积面积的长度
S
AAP?
例 8,将长度为 L的线段折成三段,求此三段能构成一个三角形的概率,
解,设第一段长度为 x,第二段长度为 y,第三段长度为 L-(x+y).
根据三角形三边的关系：
由 x+y>L-(x+y),有 x+y>L/2
由 x+L-(x+y)>y,有 y<L/2
由 y+L-(x+y)>x,有 x<L/2
即，所求概率：
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)(
2
L
LL
AP
L
2
L
x
y
