一,Z = X + Y 的分布第七节机动 目录 上页 下页 返回 结束二,M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布两个随机变量的函数的分布第 三 章
1、离散型一,Z=X+Y的分布证明随机变量 Z=X+Y的分布律为证,因为 X 和 Y 相互独立,故所以
i
k
ikiqkp
0
,1,0,)()(?
费马 目录 上页 下页 返回 结束例 1,设 X,Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为例 2,设 X,Y是相互独立的随机变量，
证明,
证,?
i
k
kiqkpiZP
0
)()(}{
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2、连续型,设 (X,Y)的概率密度为 f(x,y),Z=X+Y的分布函数为这里积分区域 G,x + y ≤z 是直线 x + y = z 及其左下方的半平面固定 z 和 y 对积分
duyyufdxyxf zyz ),(),(
于是作变量代换，令 x = u – y,得机动 目录 上页 下页 返回 结束特别，当 X与 Y相互独立时,设 ( X,Y )关于 X,Y
)(zfZ
dyyfyzf YX )()(
这两个公式称为卷积公式,
机动 目录 上页 下页 返回 结束的边缘概率密度分别为 fX (x),fY ( y ),则有例 3,设 X和 Y是两个相互独立的随机变量。它们服从 N(0,1)
分布，其概率密度为
yeyf
xexf
y
Y
x
X
2/
2/
2
2
2
1
)(
2
1
)(
解,
dxxzfxfzf YXZ )()()(
。的概率密度求 YXZ
即 Z 服从 N (0,2) 分布。
一般，设 X,Y相互独立且则 ),(~ 222121 NYXZ
若且它们相互独立，则
),(~ 222212121 nnn NXXX
更一般地,有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。
例 4,在一简单电路中,两电阻 R1和 R2串联联接,设 R1,R2相互独立,它们的概率密度均为
.)()()( dxxzfxfzf R
100 z
求总电阻 R= R1+R2的概率密度,
解,R的概率密度为易知仅当
100
100
xz
x即时上述被积函数不等于零,当,0)(0 zfz R，时当 时,
z dxxzx0 50105010
机动 目录 上页 下页 返回 结束当 10≤z≤20 时，
z
z
xxzzxx
10
3
2
32
101 0 0
2 5 0 0
1
当 z>20
故
0)(?zf R
100,)606 0 0(1 5 0 0 01 32 zzzz
其它,0
2010,)20(1 5 0 0 01 3 zz
拉氏 目录 上页 下页 返回 结束
3)20(
1 50 00
1 z
二,M= max (X,Y)及 N = min (X,Y)的分布又由于 X 和 Y 相互独立即有类似地，可得 N =min(X,Y )的分布函数为
},{}{ zYzXPzMP
设 X,Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为由于 M=max( X,Y ) 不大于 z 等价于 X 和 Y 都不大于 z，故有机动 目录 上页 下页 返回 结束推广：设 X1,X2,…,Xn 是 n 个相互独立的随机变量
)](1[)](1)][(1[1)( 21m i n zFzFzFzF nXXX
特别，当 X1,X2,…,Xn 相互独立且具有相同分布函数 F(x)时有例 5,设随机变量（ X,Y）的分布律
（ 1）求 V=max{X,Y}的分布律；（ 2）求 U=min {X,Y}
的分布律。
X
Y
解：
P{V=0}=P{X=0,Y=0}=0.10
P{V=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=0,Y=1}=0.09
(2)
34.0}1,{},1{}1{
4
2
3
1
YkXPkYXPUP
kk
14.0}2,{},2{}2{
5
3
3
2
YkXPkYXPUP
kk
08.0}3,4{}3,3{}3{ YXPYXPUP
机动 目录 上页 下页 返回 结束类似地,P{V=2}=0.25,P{V=3}=0.40,P{V=4}=0.10
例 6,设系统 L由两个相互独立的子系统 L1,L2联接组成，联接的方式分别为（ 1）串联，（ 2）并联，（ 3）备用（当系统 L1损坏时，系统 L2开始工作）。设 L1,L2的寿命分别为 X，
Y，已知它们的概率密度分别为其中 。且 0,0 试分别就以上三种联接方式
L就停止工作，所以 L的寿命为 Z=min(X,Y)
00
0)(
00
0)(
y
yeyf
x
xexf y
Y
x
X
写出 L的寿命 Z的概率密度。
机动 目录 上页 下页 返回 结束解,（ 1）串联的情况 — 由于当 L1,L2中有一个损坏，系统而 X,Y的分布函数分别为故 Z=min(X,Y)的分布函数为
00
0)()( )(
m a x z
zeeezf zzz
于是 Z=min(X,Y)的概率密度为
（ 2）并联情况 — 由于当且仅当 L1,L2都损坏，系统 L
故 Z=max(X,Y) 的分布函数为
00
0)1)(1()()()(
m a x z
zeezFzFzF zz
YX
于是 Z=max(X,Y) 的概率密度为柯西 目录 上页 下页 返回 结束才停止工作，所以这时 L的寿命 Z为 Z=max(X,Y)
(3)备用的情况 — 由于这时当系统 L1损坏时系统 L2才开始
dyyfyzfzf YX )()()(
当 z > 0 时,Z = X + Y 的概率密度为
zzzz eeee 1( ）
当 z≤0 时,f(z)=0,于是 Z = X + Y 的概率密度为
00
0
)(
z
zee
zf
zz
机动 目录 上页 下页 返回 结束工作,因此整个系统 L的寿命 Z是 L1,L2两者寿命之和,即
Z = X + Y
