第一章二,乘法公式三,独立性一、条件概率机动 目录 上页 下页 返回 结束第四节 乘法公式件 )的概率为 P(A)=3/6=1/2。现若附加上“已知事件 B发生”,
一,条件概率条件概率是概率论中的一个重要而实用的概念。所考虑的是在事件 B已发生的条件下事件 A发生的概率。先看下面的例子。
基础条件,骰子必须为均匀的正六面体,投掷要有足够的高度。
这些不作为附加条件。样本空间为 S={1,2,3,4,5,6}。考虑三个事件,A={掷出素数点 },B={掷出奇数点 },C={掷出偶数点 },
则有 A={2,3,5},B={1,3,5},C={2,4,6}。事件 A发生的 (无条有了这一信息，即知,2” ﹑,4”﹑,6”不可能发生，即试验例 1,考虑掷一颗骰子的试验。
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束结果所组成的集合就是 B。 B中共有 3个元素，其中只有
“3” ﹑,5”有利于事件 A发生。于是，在 B发生的条件下 A发生的概率为 同样可得：
定理 1,在事件 B发生的前提下,事件 A发生的条件概率等于事件
A与 B同时发生的概率与事件 B发生的概率之比（ P(B)>0),即证明,按古典概型证明如下：
事件。当事件 B发生时，样本空间由 n个缩减为 mB个等概基本事件组。此时，若事件 A要发生就只能是 mB个等概基本事件中定义 1,在事件 B发生的前提下事件 A发生的概率称为 条件概率,
B
A
S设试验的样本空间 S包含 n个等概基本事件，而事件 A,B,AB分别包含其中的 mA 个,mB个,mAB个基本属于 A的那一部分基本事件发生，即仅有 mAB个。
一般计算条件概率有两种方法,
1.直接用条件概率的定义,利用等概基本事件的个数来进行计算 (缩小（扩大）样本空间 )。
2.利用定理 1的公式进行计算。
于是得：
例 2,在美国某大学高血压研究中心就诊的 306名末端器解法一,设 A={无心绞痛史 },B={重型患者 }。由于事件
B已经发生，即他肯定属于 45个重型病人中的一个，在这
45个重型的病人中，无心绞痛史占 38人，所以
P(B)=45/306,P(AB)=38/306则
.4538?
)(
)()(
BP
ABPBAP?
306/45
306/38?
解法二,根据数据表易得机动 目录 上页 下页 返回 结束损害 的高血压病人，按严重程度和有无心绞痛分类，各组病人数如下表。求一名重型病人无心绞痛的概率？
轻型至中型 重型 合计有心绞痛史 18 7 25
无心绞痛史 243 38 281
合计 261 45 306
例 3,人活到不同年龄段的死亡率 (%)如下,
试求一个 60岁的人在 70岁前死亡的概率。
解,这个问题不能简单地以第七个年龄段的死亡率作为答案。
因为那是从出生起能活到该年龄段的概率。这里的基本前提是
60岁以后死亡，所以一个活到 60岁的人在 70岁前死亡的概率就是在 60岁以后死亡的前提条件下,70岁前死亡的概率。
设 B={60岁以后死亡 },A={70岁前死亡 }。则
P(B)=0.1821+0.2728+0.3358=0.7907,
而在 60岁至 70岁之间死亡 (AB)的概率为 P(AB)=0.1821。所以
)(
)()(
BP
ABPBAP? 2303.0
7907.0
1821.0
机动 目录 上页 下页 返回 结束年龄段 ~10 ~20 ~30 ~40 ~50 ~60 ~70 ~80 >80
死亡率 3.23 0.65 1.21 1.84 4.31 9.69 18.21 27.28 33.58
二,乘法公式由条件概率的定义，立即可以得到乘法公式：
)()()( ABPAPABP?
)()()( BAPBPABP? ）0)((?BP
乘法公式可以推广：
设
nAAA,,,21?
为 n 个事件，
且,0)(
21?nAAAP?
则有
)( 21 nAAAP? )( 12 AAP?
,2?n
)( 121?nn AAAAP
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,设袋中装有 r只红球,t只白球,每次自袋中任取一只球，观察其颜色后放回,并再放入 a只与所取出的解,以 Ai (i = 1,2,3,4)表示事件,第 i次取到红球,
则 43,AA
分别表示事件第三 ﹑ 四次取到白球。所求概率为
tr r atr ar atr atatr t 32
)()( 3214213 AAAAPAAAP?
那只球同色的球。若在袋中连续取球四次,试求第一机动 目录 上页 下页 返回 结束次,第二次取到红球且第三次,第四次取到白球的概率。
例 5,设甲盒中装有 m只黑球,乙盒中装有 m只白球,
地取出一球放入乙中,此过程称为一次交换,
解,令 A={经过 m 次交换后,甲中有 m 个白球 },
{在第 k 次交换中,从乙中取出一个白球放入甲中,
然后从甲中取出一个黑球放入乙中 },k =1,2,…,m,则
)1( mm
mm
)()( 21 mAAAPAP
从乙中随机地取出一球放入甲中,再从甲中随机地求 m 次交换后,甲中有 m只白球的概率,
)1(
11
)1(
)2)(2(
mmmm
mm?
mm mm
m
)1(
!2
机动 目录 上页 下页 返回 结束三,独立性设 A,B是试验 E的两事件，若 P(A)>0，可定义 P(B︱ A) 。
一般,A的发生对 B发生的概率是有影响的（ 如例 1），
这时,)()( BPABP?
只有在这种影响不存在时才会有 P (B︱ A)= P (B) 。
定义,如果事件 A 发生与否不影响事件 B 的发生,即 P ( B | A )
= P ( B )且 P ( A ) > 0,则称事件 B 独立于事件 A。
注意,两事件独立总是相互的。因为,)()( BPABP?
则
)(
)()(
BP
ABPBAP? )(
)(
)()( AP
BP
ABPAP
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,设试验 E为“抛甲 ﹑ 乙两枚硬币，观察正反面出现的情况”。设事件 A为“甲币出现 H”，事件 B为“乙币出现 H”。
E的样本空间为 S={HH,HT,TH,TT}。 A={HH,HT}，
B={HH,TH}。所以
,2142)(AP
在这里我们看到
,)()( BPABP?,)()( APBAP?
事实上，由题意，显然甲币是否出现正面与乙币是否出现正面是互不影响的。
,
2
1
4
2)(BP
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 1,两个事件 A,B 独立的充要条件是它们的积事件的概率等于其各自概率的积。即
.)()( BPAP?
证明,必要性,因为 A与 B独立，故 )()( BPABP?
.)()()()()( BPAPABPAPABP
充分性：因为 P(AB)=P(A)P(B),由乘法公式知
)()()( ABPAPABP?
所以,,)()( 独立与故 BABPABP?
定理 2 若事件 A与 B相互独立，则下列各对事件也相互独立。
证明,因为
)( BBA,BAAB
得因此 A 与 相互独立。
机动 目录 上页 下页 返回 结束下面我们将独立性的概念推广到三个事件的情况。
定义,设 A,B,C是三个事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B),
P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),
则称事件 A,B,C相互独立。
两事件相互独立的含义是它们中的一个已发生，不影响两事件之间没有关联或关联很微弱，那就认为它们是相互独立的。
另一个发生的概率。在实际应用中，对于事件的独立性常常是根据事件的实际意义去判断。一般，若由实际情况分析,A,B
例如 A,B分别表示甲 ﹑ 乙两人患感冒。如果甲 ﹑ 乙两人的活动范围相距甚远，就认为 A,B相互独立。若甲 ﹑ 乙两人是同住一个房间里的，那就不能认为 A,B相互独立了。
例 7,某系统由甲乙两个元件串联组成,在一次运行中每解法一,设 A={甲失效 },B={乙失效 },C={系统失效 }。
从实际意义看,A与 B应相互独立，所以
)()()()( BPAPBPAP
解法二：
)](1)][(1[1 BPAP
)2.01)(1.01(1,28.0?
.28.02.01.02.01.0
机动 目录 上页 下页 返回 结束元件失效的概率分别为 0.1 和 0.2 。试求在一次运行中该系统失效的概率。
例 8,将 4人的血清混合检验，如果每人的血清含某种解,设 Ai= {第 i人血清含该种病毒 }（ i=1,2,3,4），
则 混合血清含该种病毒的概率
)()( 4321 AAAAPAP
996.01
)()()()(1 4321 APAPAPAP
机动 目录 上页 下页 返回 结束病毒概率为 0.001，试求：混合血清含该种病毒的概率。
例 9,有人报告一种新药可治某种病毒导致的流感。
解,设 A={痊愈 },B={服药 }。因为全部参与试验的 400名就这 400名患者的数据而言，由于两个非常接近，
服药者的痊愈率为机动 目录 上页 下页 返回 结束
.8 1 3.01 6 0/1 3 0)(ABP
经临床试验,160名患者服用此药后在两周内有 130人痊愈，
对照组（未服药的患者） 240人中有 190人在两周内自愈。
试问这种新药是否确实有效？
患者有 320名在两周内痊愈，故痊愈率：
P(A)=320/400=0.8 （无条件概率）
可认为痊愈与否同服药与否这两者是相互独立的，
故认为新药未见成效。
例 10,甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为 p(≥1/2)
问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利。
设各局胜负相互独立。
解,采用三局二胜制，甲最终获胜的情况是：“甲甲”，
“乙甲甲”或“甲乙甲”。而这三种结局互不相容，于是由独立性得甲最终获胜的概率为 p1= p2 +2p2(1-p),
采用五局三胜制，甲最终获胜，至少需比赛 3局（可能赛
3局，也可能赛 4局或 5局），且最后一局必需甲胜，而前面甲需胜二局。例如共 赛 4局，则甲的胜局情况是：“乙甲甲甲”，“甲乙甲甲”，“甲甲乙甲”，且这三种结局互不相容,由独立性得在五局三胜制下甲最终获胜的概率为
232432332 )1()1( ppCppCpp
)12()1(3 2221 ppppp
当 p >? 时 p2>p1 ; 当 p=1/2 时 p2= p1 =1/2 。
故当,p >? 时，对甲来说采用五局三胜制为有利。
当 p=1/2 时，两种 赛制甲、乙最终获胜的概率是相同的，
都是 50%,
第五节 第一章一、全概率公式二,逆概率公式全概率公式与逆概率公式一,全概率公式定义,设Ｓ为试验Ｅ的样本空间,B1,B2,…,Bn为Ｅ的一组
,)2( 21 SBBB n
则称 B1,B2,…,Bn 为样本空间Ｓ的一个划分。
事件。若若 B1,B2,…,Bn 为样本空间Ｓ的一个划分。那么，对每次试验，事件 B1,B2,…,Bn中必有且仅有一个发生。
例如,设试验Ｅ为“掷一颗骰子观察其点数”。它的样本空间为 S={1,2,3,4,5,6}。 E的一组事件
B1={1,2,3},B2={4,5},B3={6}是 S的一个划分。
而事件组 B1={1,2,3},B2={3,4},B3={5,6}不是 S的一个划分。
定理 1,设试验Ｅ的样本空间为Ｓ，Ａ为Ｅ的事件，
)()()()()()()( 2211 nn BAPBPBAPBPBAPBPAP
机动 目录 上页 下页 返回 结束
B1,B2,…,Bn 为为Ｓ的一个划分，且 P(Bi)>0,(i=1,2,…,n)，则
5AB 1AB
1B
2AB
2B3B
3AB
4B
4AB
5B
6B
6AB
证,因为 A=AS=A(B1+B2+ … + Bn )
=AB1+AB2+ … + ABn
由假设。 P(Bi)>0,(i=1,2,…,n)
且 (ABi)(ABj)=?,i≠j,于是
)()()()()()P ( B 2211 nn BAPBPBAPBPBAP
)()()()( 21 nABPABPABPAP
注,在很多实际问题中 P(A)不易直接求得，但却容易找到Ｓ的一个划分,
且 P(Bi)和 P(A |Bi )容易求得，那么就可以全概率公式求出 P(A)。 ︱︱︱
例 1,设药房的某种药品是由３个不同的药厂生产的。其中解,设Ａ＝｛取得次品 },Bi＝ {取得第 i个工厂生产的药品 }，
100
4)(,
100
2)()(,
4
1)()(,
2
1)(
321321 BAPBAPBAPBPBPBP
个工厂之一生产的，能属于又取得的次品属于且只 3
之一同时发生，故，，能且只能与事件即事件 321 BBBA
)()()(
2
1
i
i
i BAPBPAP?
025.0? 1 0 04411 0 02411 0 0221
机动 目录 上页 下页 返回 结束一厂 ﹑ 二厂 ﹑ 三厂生产的药品分别占 1/2,1/4,1/4,且３个厂的次品率依次 2%,2%,4%。现从中任取一份药品，问取得次品的概率是多少？
（ i =1,2,3)。则事件 B1,B2,B3互不相容，则
.,,2,1,
)()(
)()(
)(
1
ni
BAPBP
BAPBP
ABP
n
j
jj
ii
i
证明,由条件概率的定义及全概率公式即得
)(
)()(
AP
ABPABP i
i
n
j
jj
ii
BAPBP
BAPBP
1
)()(
)()(
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 2,设 试验Ｅ的样本空间为Ｓ，Ａ为Ｅ的事件，
B1,B2,…,Bn 为Ｓ的一个划分，且 P ( A )> 0,P ( Bi ) > 0,
(i=1,2,…,n)，则
…,P( Bn ),称为 B1,B2,…,Bn 的先验概率,它是在没有进一发生 ),人们对 B1,B2,…,Bn 的 发生可能性大小有了新的估价,
)(,,)(,)( 21 ABABPABP n?
如果把事件 A看成,结果,,把诸事件 B1,B2,…,Bn 看成称为后验概率 。
原题 目录 上页 下页 返回 结束说明,上式称为逆概率公式或贝叶斯公式，式中 P(B1),P(B2 ),
步的信息 (不知事件 A是否发生 )的情况下,人们对诸事件 B1,B2,
…,Bn发生可能性大小的认识。现在有了新的信息 (知道事件 A
导致这结果的可能,原因,,则可以形象地把全概率公式看成
“由原因推结果,,而 Bayes 公式则恰好相反,其作用在于
“由结果推原因,,
例 2,对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为 98%，而当机器发生某种故障时，其合格率为
55%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 95%。
试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？
解,设 A为事件“产品合格”,B为事件“机器调整良好”。已知
,05.0)(,95.0)(,55.0)(,98.0)( BPBPBAPBAP
所需求的概率为,P(A |B)。由贝叶斯公式这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，此时机器得到的，叫做 先验概率 。而在得到信息（即生产出的第一件
97.055.005.098.095.0 98.095.0
)()()()(
)()()(?
BAPBPBAPBP
BAPBPABP
调整良好的概率为 0.97。这里，概率 0.95是由以往的数据分析产品是合格品）之后再重新修正的概率 (0.97)叫做 后验概率 。
例 3,用某种检验方法检查癌症,根据临床记录,患者施行此项检查,结果是阳性的概率为 0.95 ;无癌者施行此项检查,结果是阴性的概率为 0.90 。如果根据以往的统计,某地区癌症的发病率解,设 A={检查结果为阳性 },B={癌症患者 },据题意有
.9 9 9 5.0)(,0 0 0 5.0)(,10.0)( BPBPBAP
于是,由 Bayes公式知,检验结果为阳性者而实患癌症者的概率为
)()()()(
)()(
)(
BAPBPBAPBP
BAPBP
ABP
可见,虽然癌症患者检查为阳性和无癌者检查为阴性的概率分别高达 95%和
90%,但根据一次单项检查为阳性而诊断为癌症的正确性却只有 0.47% 。
P(A|B)=0.95,
柯西 目录 上页 下页 返回 结束为 0.0005 。试求用此法检查结果为阳性者而实患癌症的概率。
如果不注意到这点，将会得出错误的诊断,
一,条件概率条件概率是概率论中的一个重要而实用的概念。所考虑的是在事件 B已发生的条件下事件 A发生的概率。先看下面的例子。
基础条件,骰子必须为均匀的正六面体,投掷要有足够的高度。
这些不作为附加条件。样本空间为 S={1,2,3,4,5,6}。考虑三个事件,A={掷出素数点 },B={掷出奇数点 },C={掷出偶数点 },
则有 A={2,3,5},B={1,3,5},C={2,4,6}。事件 A发生的 (无条有了这一信息，即知,2” ﹑,4”﹑,6”不可能发生，即试验例 1,考虑掷一颗骰子的试验。
刘徽 目录 上页 下页 返回 结束结果所组成的集合就是 B。 B中共有 3个元素，其中只有
“3” ﹑,5”有利于事件 A发生。于是，在 B发生的条件下 A发生的概率为 同样可得：
定理 1,在事件 B发生的前提下,事件 A发生的条件概率等于事件
A与 B同时发生的概率与事件 B发生的概率之比（ P(B)>0),即证明,按古典概型证明如下：
事件。当事件 B发生时，样本空间由 n个缩减为 mB个等概基本事件组。此时，若事件 A要发生就只能是 mB个等概基本事件中定义 1,在事件 B发生的前提下事件 A发生的概率称为 条件概率,
B
A
S设试验的样本空间 S包含 n个等概基本事件，而事件 A,B,AB分别包含其中的 mA 个,mB个,mAB个基本属于 A的那一部分基本事件发生，即仅有 mAB个。
一般计算条件概率有两种方法,
1.直接用条件概率的定义,利用等概基本事件的个数来进行计算 (缩小（扩大）样本空间 )。
2.利用定理 1的公式进行计算。
于是得：
例 2,在美国某大学高血压研究中心就诊的 306名末端器解法一,设 A={无心绞痛史 },B={重型患者 }。由于事件
B已经发生，即他肯定属于 45个重型病人中的一个，在这
45个重型的病人中，无心绞痛史占 38人，所以
P(B)=45/306,P(AB)=38/306则
.4538?
)(
)()(
BP
ABPBAP?
306/45
306/38?
解法二,根据数据表易得机动 目录 上页 下页 返回 结束损害 的高血压病人，按严重程度和有无心绞痛分类，各组病人数如下表。求一名重型病人无心绞痛的概率？
轻型至中型 重型 合计有心绞痛史 18 7 25
无心绞痛史 243 38 281
合计 261 45 306
例 3,人活到不同年龄段的死亡率 (%)如下,
试求一个 60岁的人在 70岁前死亡的概率。
解,这个问题不能简单地以第七个年龄段的死亡率作为答案。
因为那是从出生起能活到该年龄段的概率。这里的基本前提是
60岁以后死亡，所以一个活到 60岁的人在 70岁前死亡的概率就是在 60岁以后死亡的前提条件下,70岁前死亡的概率。
设 B={60岁以后死亡 },A={70岁前死亡 }。则
P(B)=0.1821+0.2728+0.3358=0.7907,
而在 60岁至 70岁之间死亡 (AB)的概率为 P(AB)=0.1821。所以
)(
)()(
BP
ABPBAP? 2303.0
7907.0
1821.0
机动 目录 上页 下页 返回 结束年龄段 ~10 ~20 ~30 ~40 ~50 ~60 ~70 ~80 >80
死亡率 3.23 0.65 1.21 1.84 4.31 9.69 18.21 27.28 33.58
二,乘法公式由条件概率的定义，立即可以得到乘法公式：
)()()( ABPAPABP?
)()()( BAPBPABP? ）0)((?BP
乘法公式可以推广：
设
nAAA,,,21?
为 n 个事件，
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则有
)( 21 nAAAP? )( 12 AAP?
,2?n
)( 121?nn AAAAP
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,设袋中装有 r只红球,t只白球,每次自袋中任取一只球，观察其颜色后放回,并再放入 a只与所取出的解,以 Ai (i = 1,2,3,4)表示事件,第 i次取到红球,
则 43,AA
分别表示事件第三 ﹑ 四次取到白球。所求概率为
tr r atr ar atr atatr t 32
)()( 3214213 AAAAPAAAP?
那只球同色的球。若在袋中连续取球四次,试求第一机动 目录 上页 下页 返回 结束次,第二次取到红球且第三次,第四次取到白球的概率。
例 5,设甲盒中装有 m只黑球,乙盒中装有 m只白球,
地取出一球放入乙中,此过程称为一次交换,
解,令 A={经过 m 次交换后,甲中有 m 个白球 },
{在第 k 次交换中,从乙中取出一个白球放入甲中,
然后从甲中取出一个黑球放入乙中 },k =1,2,…,m,则
)1( mm
mm
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从乙中随机地取出一球放入甲中,再从甲中随机地求 m 次交换后,甲中有 m只白球的概率,
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机动 目录 上页 下页 返回 结束三,独立性设 A,B是试验 E的两事件，若 P(A)>0，可定义 P(B︱ A) 。
一般,A的发生对 B发生的概率是有影响的（ 如例 1），
这时,)()( BPABP?
只有在这种影响不存在时才会有 P (B︱ A)= P (B) 。
定义,如果事件 A 发生与否不影响事件 B 的发生,即 P ( B | A )
= P ( B )且 P ( A ) > 0,则称事件 B 独立于事件 A。
注意,两事件独立总是相互的。因为,)()( BPABP?
则
)(
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ABPAP
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,设试验 E为“抛甲 ﹑ 乙两枚硬币，观察正反面出现的情况”。设事件 A为“甲币出现 H”，事件 B为“乙币出现 H”。
E的样本空间为 S={HH,HT,TH,TT}。 A={HH,HT}，
B={HH,TH}。所以
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在这里我们看到
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事实上，由题意，显然甲币是否出现正面与乙币是否出现正面是互不影响的。
,
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机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 1,两个事件 A,B 独立的充要条件是它们的积事件的概率等于其各自概率的积。即
.)()( BPAP?
证明,必要性,因为 A与 B独立，故 )()( BPABP?
.)()()()()( BPAPABPAPABP
充分性：因为 P(AB)=P(A)P(B),由乘法公式知
)()()( ABPAPABP?
所以,,)()( 独立与故 BABPABP?
定理 2 若事件 A与 B相互独立，则下列各对事件也相互独立。
证明,因为
)( BBA,BAAB
得因此 A 与 相互独立。
机动 目录 上页 下页 返回 结束下面我们将独立性的概念推广到三个事件的情况。
定义,设 A,B,C是三个事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B),
P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),
则称事件 A,B,C相互独立。
两事件相互独立的含义是它们中的一个已发生，不影响两事件之间没有关联或关联很微弱，那就认为它们是相互独立的。
另一个发生的概率。在实际应用中，对于事件的独立性常常是根据事件的实际意义去判断。一般，若由实际情况分析,A,B
例如 A,B分别表示甲 ﹑ 乙两人患感冒。如果甲 ﹑ 乙两人的活动范围相距甚远，就认为 A,B相互独立。若甲 ﹑ 乙两人是同住一个房间里的，那就不能认为 A,B相互独立了。
例 7,某系统由甲乙两个元件串联组成,在一次运行中每解法一,设 A={甲失效 },B={乙失效 },C={系统失效 }。
从实际意义看,A与 B应相互独立，所以
)()()()( BPAPBPAP
解法二：
)](1)][(1[1 BPAP
)2.01)(1.01(1,28.0?
.28.02.01.02.01.0
机动 目录 上页 下页 返回 结束元件失效的概率分别为 0.1 和 0.2 。试求在一次运行中该系统失效的概率。
例 8,将 4人的血清混合检验，如果每人的血清含某种解,设 Ai= {第 i人血清含该种病毒 }（ i=1,2,3,4），
则 混合血清含该种病毒的概率
)()( 4321 AAAAPAP
996.01
)()()()(1 4321 APAPAPAP
机动 目录 上页 下页 返回 结束病毒概率为 0.001，试求：混合血清含该种病毒的概率。
例 9,有人报告一种新药可治某种病毒导致的流感。
解,设 A={痊愈 },B={服药 }。因为全部参与试验的 400名就这 400名患者的数据而言，由于两个非常接近，
服药者的痊愈率为机动 目录 上页 下页 返回 结束
.8 1 3.01 6 0/1 3 0)(ABP
经临床试验,160名患者服用此药后在两周内有 130人痊愈，
对照组（未服药的患者） 240人中有 190人在两周内自愈。
试问这种新药是否确实有效？
患者有 320名在两周内痊愈，故痊愈率：
P(A)=320/400=0.8 （无条件概率）
可认为痊愈与否同服药与否这两者是相互独立的，
故认为新药未见成效。
例 10,甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为 p(≥1/2)
问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利。
设各局胜负相互独立。
解,采用三局二胜制，甲最终获胜的情况是：“甲甲”，
“乙甲甲”或“甲乙甲”。而这三种结局互不相容，于是由独立性得甲最终获胜的概率为 p1= p2 +2p2(1-p),
采用五局三胜制，甲最终获胜，至少需比赛 3局（可能赛
3局，也可能赛 4局或 5局），且最后一局必需甲胜，而前面甲需胜二局。例如共 赛 4局，则甲的胜局情况是：“乙甲甲甲”，“甲乙甲甲”，“甲甲乙甲”，且这三种结局互不相容,由独立性得在五局三胜制下甲最终获胜的概率为
232432332 )1()1( ppCppCpp
)12()1(3 2221 ppppp
当 p >? 时 p2>p1 ; 当 p=1/2 时 p2= p1 =1/2 。
故当,p >? 时，对甲来说采用五局三胜制为有利。
当 p=1/2 时，两种 赛制甲、乙最终获胜的概率是相同的，
都是 50%,
第五节 第一章一、全概率公式二,逆概率公式全概率公式与逆概率公式一,全概率公式定义,设Ｓ为试验Ｅ的样本空间,B1,B2,…,Bn为Ｅ的一组
,)2( 21 SBBB n
则称 B1,B2,…,Bn 为样本空间Ｓ的一个划分。
事件。若若 B1,B2,…,Bn 为样本空间Ｓ的一个划分。那么，对每次试验，事件 B1,B2,…,Bn中必有且仅有一个发生。
例如,设试验Ｅ为“掷一颗骰子观察其点数”。它的样本空间为 S={1,2,3,4,5,6}。 E的一组事件
B1={1,2,3},B2={4,5},B3={6}是 S的一个划分。
而事件组 B1={1,2,3},B2={3,4},B3={5,6}不是 S的一个划分。
定理 1,设试验Ｅ的样本空间为Ｓ，Ａ为Ｅ的事件，
)()()()()()()( 2211 nn BAPBPBAPBPBAPBPAP
机动 目录 上页 下页 返回 结束
B1,B2,…,Bn 为为Ｓ的一个划分，且 P(Bi)>0,(i=1,2,…,n)，则
5AB 1AB
1B
2AB
2B3B
3AB
4B
4AB
5B
6B
6AB
证,因为 A=AS=A(B1+B2+ … + Bn )
=AB1+AB2+ … + ABn
由假设。 P(Bi)>0,(i=1,2,…,n)
且 (ABi)(ABj)=?,i≠j,于是
)()()()()()P ( B 2211 nn BAPBPBAPBPBAP
)()()()( 21 nABPABPABPAP
注,在很多实际问题中 P(A)不易直接求得，但却容易找到Ｓ的一个划分,
且 P(Bi)和 P(A |Bi )容易求得，那么就可以全概率公式求出 P(A)。 ︱︱︱
例 1,设药房的某种药品是由３个不同的药厂生产的。其中解,设Ａ＝｛取得次品 },Bi＝ {取得第 i个工厂生产的药品 }，
100
4)(,
100
2)()(,
4
1)()(,
2
1)(
321321 BAPBAPBAPBPBPBP
个工厂之一生产的，能属于又取得的次品属于且只 3
之一同时发生，故，，能且只能与事件即事件 321 BBBA
)()()(
2
1
i
i
i BAPBPAP?
025.0? 1 0 04411 0 02411 0 0221
机动 目录 上页 下页 返回 结束一厂 ﹑ 二厂 ﹑ 三厂生产的药品分别占 1/2,1/4,1/4,且３个厂的次品率依次 2%,2%,4%。现从中任取一份药品，问取得次品的概率是多少？
（ i =1,2,3)。则事件 B1,B2,B3互不相容，则
.,,2,1,
)()(
)()(
)(
1
ni
BAPBP
BAPBP
ABP
n
j
jj
ii
i
证明,由条件概率的定义及全概率公式即得
)(
)()(
AP
ABPABP i
i
n
j
jj
ii
BAPBP
BAPBP
1
)()(
)()(
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 2,设 试验Ｅ的样本空间为Ｓ，Ａ为Ｅ的事件，
B1,B2,…,Bn 为Ｓ的一个划分，且 P ( A )> 0,P ( Bi ) > 0,
(i=1,2,…,n)，则
…,P( Bn ),称为 B1,B2,…,Bn 的先验概率,它是在没有进一发生 ),人们对 B1,B2,…,Bn 的 发生可能性大小有了新的估价,
)(,,)(,)( 21 ABABPABP n?
如果把事件 A看成,结果,,把诸事件 B1,B2,…,Bn 看成称为后验概率 。
原题 目录 上页 下页 返回 结束说明,上式称为逆概率公式或贝叶斯公式，式中 P(B1),P(B2 ),
步的信息 (不知事件 A是否发生 )的情况下,人们对诸事件 B1,B2,
…,Bn发生可能性大小的认识。现在有了新的信息 (知道事件 A
导致这结果的可能,原因,,则可以形象地把全概率公式看成
“由原因推结果,,而 Bayes 公式则恰好相反,其作用在于
“由结果推原因,,
例 2,对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为 98%，而当机器发生某种故障时，其合格率为
55%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 95%。
试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？
解,设 A为事件“产品合格”,B为事件“机器调整良好”。已知
,05.0)(,95.0)(,55.0)(,98.0)( BPBPBAPBAP
所需求的概率为,P(A |B)。由贝叶斯公式这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，此时机器得到的，叫做 先验概率 。而在得到信息（即生产出的第一件
97.055.005.098.095.0 98.095.0
)()()()(
)()()(?
BAPBPBAPBP
BAPBPABP
调整良好的概率为 0.97。这里，概率 0.95是由以往的数据分析产品是合格品）之后再重新修正的概率 (0.97)叫做 后验概率 。
例 3,用某种检验方法检查癌症,根据临床记录,患者施行此项检查,结果是阳性的概率为 0.95 ;无癌者施行此项检查,结果是阴性的概率为 0.90 。如果根据以往的统计,某地区癌症的发病率解,设 A={检查结果为阳性 },B={癌症患者 },据题意有
.9 9 9 5.0)(,0 0 0 5.0)(,10.0)( BPBPBAP
于是,由 Bayes公式知,检验结果为阳性者而实患癌症者的概率为
)()()()(
)()(
)(
BAPBPBAPBP
BAPBP
ABP
可见,虽然癌症患者检查为阳性和无癌者检查为阴性的概率分别高达 95%和
90%,但根据一次单项检查为阳性而诊断为癌症的正确性却只有 0.47% 。
P(A|B)=0.95,
柯西 目录 上页 下页 返回 结束为 0.0005 。试求用此法检查结果为阳性者而实患癌症的概率。
如果不注意到这点，将会得出错误的诊断,
