第四章数学期望方差协方差与相关系数矩推广随机变量的数字特征一、定义第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束二、性质三、常见的随机变量的数学期望数学期望第 四 章四、应用变量概率性质最完整的刻划,然而在许多实际问题中,一方面分布函数虽然能全面地刻划随机变量的统计规律,是随机这就有必要研究描述随机变量某种特征的数量,即随机变量的数字特征,这些数字特征在理论和实际上都具有重要意义。
例如,考察某种大批生产的元件的寿命,如果知道了它的费马 目录 上页 下页 返回 结束由于寻求随机变量的分布函数比较困难,另一方面由于有时只须知道随机变量的一个或几个分布特征即能解决实际问题,
概率分布,就可以 知道寿命在任一指定界限内的元件百分率有多少,这对这种元件寿命提供了一副完整的图景。如后面将指出,根据这一分布就可以算出元件的平均寿命 m,m这个数虽则不能对寿命状况提供一个完整的刻划,但却在一个重要方面,且往往是人们最关心的一个方面刻划了元件寿命的状况,
因而在应用上有极重要的意义。类似的情况很多,比如我们在了解某种行业的人的经济状况时,首先关心的恐怕会是其平均收入,这给了我们一个总的印象,至于收入的分布状况,除了特殊的研究目的,倒反而不一定是最重要的。
那么，随机变量的 平均值 应怎样定义呢？
设随机变量 X的所有可能的取值为 x1,x2,…,xn,但预期
X的取值的平均数一般并不等于通常的算术平均数,即对参加平均的每个值不能一视同仁。这是因为 X取每个值的概率一般的权重系数。
机动 目录 上页 下页 返回 结束不同,必须相应考虑到各取值对平均数的贡献大小。为此,在求平均数时,每个取值乘上一个代表该值贡献大小的系数,即所谓例如,甲乙两人赌技相同,各出赌金 100元,约定先胜三局者为胜,取得全部 200元,现在甲胜 2局乙胜 1局的情况下中止,问赌本该如何分?
设想继续赌两局,则结果无非以下四种情况之一,
把已赌过的三局与以上四种结合 (即甲,乙赌完五局 ),我们看出,
前三个结果都是甲先胜三局,只在最后一个结果乙才胜。因此在赌技相同的条件下,四个结果应有等可能性。因此甲取胜的甲甲,甲乙,乙甲,乙乙机动 目录 上页 下页 返回 结束
(概率 )为 3/4(这时甲得 200元 ),乙胜的机会为 1/4(这时甲得 0元 )。
所以,在甲胜 2局乙胜 1局的这个情况下,甲能“期望”得到的数目,
应当确定为,
概率分别为 3/4和 1/4.而甲的期望所得,即 X的“期望”值,等于而乙能“期望”得到的数目,则为,
如果引进一个随机变量 X,X等于在上述局面 (甲 2胜乙 1胜 ),
之下继续赌下去甲的最终所得,则 X有两个可能的值,200和 0,其
X的可能值与其概率之积的累加这就是“数学期望” (简称期望 )这个名词的由来。
机动 目录 上页 下页 返回 结束定义 1,设离散型随机变量 X的概率函数为若级数
i
i
i px?
1
是一个有限值,则称级数
.,2,1}{ ipxXP ii
为 X的 数学期望 或 总体均数,记作一、定义例 1,一批产品中有一 ﹑ 二 ﹑ 三等品 ﹑ 等外品及废品 5种,
相应的概率分别为 0.7﹑0.1﹑0.1﹑0.06﹑0.04,若其产值分别为 6元 ﹑5.4 元 ﹑5 元 ﹑4 元及 0元。求产品的平均产值。
解,产品产值 X是一个随机变量，它的分布律如下因此
E(X)=6× 0.7+5.4× 0.1+5× 0.1+4× 0.06+0× 0.04=5.48(元）
X
P
6
0.7
5.4
0.1
5
0.1
4
0.06
0
0.04
例 2,按规定，某车站每天 8:00— 9:00,9:00— 10:00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立。其规律为一旅客 8:20到车站，求他候车时间的数学期望。
解,设旅客的候车时间为 X（以分计）,X的分布律为在右表中，例如其中 A为事件“第一班车在 8:10到站”
，
B为“第二班车在 9:10到站”。候车时间的数学期望为
36
290
36
370
36
150
6
230
6
310)(XE )(22.27 分?
定义 2,设连续型随机变量 X的概率密度函数为 f(x),
若积分是一个有限值,则称积分
dxxxf )(
为 X的数学期望,记作 E(X),即
dxxxfXE )()(
例 3,设随机变量 X服从指数分布,其概率函数为
dxxxfXE )()(
求 E(X)。
解,
)(
0
xdex x xdex 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,计算在区间 [a,b]上服从均匀分布的解,依题意，
的随机变量 X的数学期望。
故 dxxxfXE
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2
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拉氏 目录 上页 下页 返回 结束
dxabxb
a
1
定义 3,随机变量函数的数学期望类似地,离散型随机变量的函数 Y=g(X)有设 Z是随机变量 X和 Y的函数,Z=g(X,Y),若二维随机变量
(X,Y)的概率密度函数为 f(x,y),则其中 pij为 X,Y的联合概率函数,
dxxfxgXgEYE )()()]([)(
若随机变量 X的密度函数是 f(x),Y是 X的函数,Y=g(X),如果积分存在,则机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,离散型随机变量 X的分布律为
X -1 0 1 2
P 0.1 0.3 0.5 0.1
求随机变量 Y=2X2+1的数学期望。
解法一 直接利用随机变量函数数学期望的定义。
解法二 先求出随机变量函数 Y的分布,再利用随机变量数学期望的定义。
Y 1 3 9
P 0.3 0.6 0.1
例 6.设风速 V在（ 0,a）上服从均匀分布，又设飞机机翼受到的正压力 W是 V的函数,W=kV2
(k>0,常数），求 W的数学期望。
解：
2
3
1 ka?
例 7.设随机变量 (X,Y)的概率密度求数学期望 E(Y),E(1/XY)。?
其它0
1,1
2
3
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xxy
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解：
机动 目录 上页 下页 返回 结束
d y d xyxfxyXYE ),(11
1 /1 342 3x x dyyxdx
二、性质证,
含义 (作为变量平均取值之刻划 )外,还有一个原因,即它具有一些良好的性质,这些性质使得它在数学上很方便。
1 设 C为常数，则 E( C )=C ；
2 E( CX ) = CE(X),C是常数；
3 对任意两个随机变量 X,Y，有 E(X+Y)=E(X)+E(Y) ；
数学期望之所以在理论和应用上都极重要,除了它本身的
d x d yyxfyxYXE ),()()(
dydxyxfydyyxfx ]),([]),([
dyyyfdxxxf YX )()( )()( YEXE
柯西 目录 上页 下页 返回 结束一般地，对任意 n个随机变量 X1,X 2,┄,Xn 有
4 两个相互独立的随机变量的积的数学期望等于它们各自证,就连续型随机变量的情形证明。
dyyyfdxxxf YX )()( )()( YEXE?
们各自的数学期望之积。即设 X1,X2,┅,Xn是 n个相互独立的机动 目录 上页 下页 返回 结束一般地,n个相互独立随机变量之积的数学期望等于它
E( X1+X2+┄ +Xn ) = E(X1)+E(X2)+┄ +E(Xn )
的数学期望之积，即 E(XY)=E(X)E(Y)
随机变量，则 E(X1X2┅ Xn)=E(X1)E(X2)┅ E(Xn)
例 8,已知 E(X)=2,E(Y)=1.5,随机变量 Z=3X-Y+2.5的数学期望。
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11
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n
i
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例 9,设有 N个人，每个人将自己的帽子扔进屋子中央，把帽子充分混合后，每个人再随机地从中选取一顶，试求选中自己帽子的人数的数学期望。
解,E(Z)=E(3X-Y+2.5)
即平均来说，他们当中仅有一人能选中自己的帽子。
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= 3E(X)-E(Y)+2.5= 3× 2-1.5+2.5=7
解,设 X表示配对的人数，将 X写成 X=X1+X2+… + Xn
其中,{Xi=1}={第 i人选中他自己的帽子 }
{Xi=0}={第 i人没选中他自己的帽子 }
显然 P {Xi=1}=1/N,P {Xi=0}=1-1/N,所以三,常见的随机变量的数学期望证,因 X的概率函数为 P{X=0}=1-p,P{X=1}=p,
所以 E(X)= 0× (1-p)+1 × p= p
证,因 X = X1+X2+┄ +Xn，其中 X1,X2,┅,Xn 相互独立且 Xi ~ B(1,p) i = 1,2,…,n
故 E(X)= E(X1+X2+ ┄ +Xn)
= E(X1)+E(X2)+ ┄ +E(Xn )
= p + p + … + p = n p
机动 目录 上页 下页 返回 结束
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0 !
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机动 目录 上页 下页 返回 结束四,数学期望在实际生活中的运用例 10,在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验解,各人的血呈阴性反应的概率为 q=1-p。因而 k个人的混合的概率为 1-qk 。
血液呈阴性反应的概率为 qk,k个人的混合血呈阳性反应的机动 目录 上页 下页 返回 结束
N个人的血，可以用两种方法进行。（ 1）将每个人的血分别去验，这需要验 N次。（ 2）按 k个人一组进行分组，把从 k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，
就说明 k个人的血都呈阴性反应，这样，这 k个人的血就只需验一次。若呈阳性，则再对这 k个人的血液分别进行化验。这样，
k个人的血总共要化验 k+1次。假设每个人化验呈阳性的概率为 p，且这些人的试验反应是相互独立的。试说明当 p较小时，
选取适当的 k，按第二种方法可以减少化验的次数，并说明
k取什么值时最适宜。
设以 k个人为一组时，组内每人化验的次数为 X，则 X是一个随机变量，其分布律为
X的数学期望为
N个人平均需化验的次数为由此可知，只要选择 k使则 N个人平均需化验的次数 <N。当 p固定时，我们选取 k使得
kqL k /11
小于 1且取到最小值，这时就能得到最好的分组方法。
例如,p = 0.1,则 q = 0.9,当 k = 4 时，
kqL k /11
取到最小值。此时 得到最好的分组方法。
若 N=1000,此时以 k=4分组，则按第二方案平均只需化验机动 目录 上页 下页 返回 结束
次）(5 9 44/19.011 0 0 0 4
这样平均来说，可以减少 40%的工作量。
例 8,据统计,一位 40岁的健康者,在 5年之内活着或自杀从中获益多少?
解 设 Xi表示公司从第 i个参加者身上所得的收益，则 Xi是公司期望获益为 E(Xi)>0,而 E(Xi)=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p)
对于 m个人，获益 X元，
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1
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1
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机动 目录 上页 下页 返回 结束因此,a<b<a(1-p)-1
死亡的概率为 p(0<p<1,p为已知 ),在 5年内非自杀死亡的概率为 1-p。保险公司开办 5年人寿保险,参加者需交保险费 a元
(a已知 ),若 5年之内非自杀死亡,公司赔偿 b元 (b>a)。 b应如何定才能使公司可期望获益 ;若有 m人参加保险,公司可期望一个随机变量，其分布如下：
例如,考察某种大批生产的元件的寿命,如果知道了它的费马 目录 上页 下页 返回 结束由于寻求随机变量的分布函数比较困难,另一方面由于有时只须知道随机变量的一个或几个分布特征即能解决实际问题,
概率分布,就可以 知道寿命在任一指定界限内的元件百分率有多少,这对这种元件寿命提供了一副完整的图景。如后面将指出,根据这一分布就可以算出元件的平均寿命 m,m这个数虽则不能对寿命状况提供一个完整的刻划,但却在一个重要方面,且往往是人们最关心的一个方面刻划了元件寿命的状况,
因而在应用上有极重要的意义。类似的情况很多,比如我们在了解某种行业的人的经济状况时,首先关心的恐怕会是其平均收入,这给了我们一个总的印象,至于收入的分布状况,除了特殊的研究目的,倒反而不一定是最重要的。
那么，随机变量的 平均值 应怎样定义呢？
设随机变量 X的所有可能的取值为 x1,x2,…,xn,但预期
X的取值的平均数一般并不等于通常的算术平均数,即对参加平均的每个值不能一视同仁。这是因为 X取每个值的概率一般的权重系数。
机动 目录 上页 下页 返回 结束不同,必须相应考虑到各取值对平均数的贡献大小。为此,在求平均数时,每个取值乘上一个代表该值贡献大小的系数,即所谓例如,甲乙两人赌技相同,各出赌金 100元,约定先胜三局者为胜,取得全部 200元,现在甲胜 2局乙胜 1局的情况下中止,问赌本该如何分?
设想继续赌两局,则结果无非以下四种情况之一,
把已赌过的三局与以上四种结合 (即甲,乙赌完五局 ),我们看出,
前三个结果都是甲先胜三局,只在最后一个结果乙才胜。因此在赌技相同的条件下,四个结果应有等可能性。因此甲取胜的甲甲,甲乙,乙甲,乙乙机动 目录 上页 下页 返回 结束
(概率 )为 3/4(这时甲得 200元 ),乙胜的机会为 1/4(这时甲得 0元 )。
所以,在甲胜 2局乙胜 1局的这个情况下,甲能“期望”得到的数目,
应当确定为,
概率分别为 3/4和 1/4.而甲的期望所得,即 X的“期望”值,等于而乙能“期望”得到的数目,则为,
如果引进一个随机变量 X,X等于在上述局面 (甲 2胜乙 1胜 ),
之下继续赌下去甲的最终所得,则 X有两个可能的值,200和 0,其
X的可能值与其概率之积的累加这就是“数学期望” (简称期望 )这个名词的由来。
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为 X的 数学期望 或 总体均数,记作一、定义例 1,一批产品中有一 ﹑ 二 ﹑ 三等品 ﹑ 等外品及废品 5种,
相应的概率分别为 0.7﹑0.1﹑0.1﹑0.06﹑0.04,若其产值分别为 6元 ﹑5.4 元 ﹑5 元 ﹑4 元及 0元。求产品的平均产值。
解,产品产值 X是一个随机变量，它的分布律如下因此
E(X)=6× 0.7+5.4× 0.1+5× 0.1+4× 0.06+0× 0.04=5.48(元）
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例 2,按规定，某车站每天 8:00— 9:00,9:00— 10:00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立。其规律为一旅客 8:20到车站，求他候车时间的数学期望。
解,设旅客的候车时间为 X（以分计）,X的分布律为在右表中，例如其中 A为事件“第一班车在 8:10到站”
，
B为“第二班车在 9:10到站”。候车时间的数学期望为
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定义 2,设连续型随机变量 X的概率密度函数为 f(x),
若积分是一个有限值,则称积分
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例 3,设随机变量 X服从指数分布,其概率函数为
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定义 3,随机变量函数的数学期望类似地,离散型随机变量的函数 Y=g(X)有设 Z是随机变量 X和 Y的函数,Z=g(X,Y),若二维随机变量
(X,Y)的概率密度函数为 f(x,y),则其中 pij为 X,Y的联合概率函数,
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若随机变量 X的密度函数是 f(x),Y是 X的函数,Y=g(X),如果积分存在,则机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,离散型随机变量 X的分布律为
X -1 0 1 2
P 0.1 0.3 0.5 0.1
求随机变量 Y=2X2+1的数学期望。
解法一 直接利用随机变量函数数学期望的定义。
解法二 先求出随机变量函数 Y的分布,再利用随机变量数学期望的定义。
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例 6.设风速 V在（ 0,a）上服从均匀分布，又设飞机机翼受到的正压力 W是 V的函数,W=kV2
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例 7.设随机变量 (X,Y)的概率密度求数学期望 E(Y),E(1/XY)。?
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二、性质证,
含义 (作为变量平均取值之刻划 )外,还有一个原因,即它具有一些良好的性质,这些性质使得它在数学上很方便。
1 设 C为常数，则 E( C )=C ；
2 E( CX ) = CE(X),C是常数；
3 对任意两个随机变量 X,Y，有 E(X+Y)=E(X)+E(Y) ；
数学期望之所以在理论和应用上都极重要,除了它本身的
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们各自的数学期望之积。即设 X1,X2,┅,Xn是 n个相互独立的机动 目录 上页 下页 返回 结束一般地,n个相互独立随机变量之积的数学期望等于它
E( X1+X2+┄ +Xn ) = E(X1)+E(X2)+┄ +E(Xn )
的数学期望之积，即 E(XY)=E(X)E(Y)
随机变量，则 E(X1X2┅ Xn)=E(X1)E(X2)┅ E(Xn)
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解,E(Z)=E(3X-Y+2.5)
即平均来说，他们当中仅有一人能选中自己的帽子。
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= 3E(X)-E(Y)+2.5= 3× 2-1.5+2.5=7
解,设 X表示配对的人数，将 X写成 X=X1+X2+… + Xn
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显然 P {Xi=1}=1/N,P {Xi=0}=1-1/N,所以三,常见的随机变量的数学期望证,因 X的概率函数为 P{X=0}=1-p,P{X=1}=p,
所以 E(X)= 0× (1-p)+1 × p= p
证,因 X = X1+X2+┄ +Xn，其中 X1,X2,┅,Xn 相互独立且 Xi ~ B(1,p) i = 1,2,…,n
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血液呈阴性反应的概率为 qk,k个人的混合血呈阳性反应的机动 目录 上页 下页 返回 结束
N个人的血，可以用两种方法进行。（ 1）将每个人的血分别去验，这需要验 N次。（ 2）按 k个人一组进行分组，把从 k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，
就说明 k个人的血都呈阴性反应，这样，这 k个人的血就只需验一次。若呈阳性，则再对这 k个人的血液分别进行化验。这样，
k个人的血总共要化验 k+1次。假设每个人化验呈阳性的概率为 p，且这些人的试验反应是相互独立的。试说明当 p较小时，
选取适当的 k，按第二种方法可以减少化验的次数，并说明
k取什么值时最适宜。
设以 k个人为一组时，组内每人化验的次数为 X，则 X是一个随机变量，其分布律为
X的数学期望为
N个人平均需化验的次数为由此可知，只要选择 k使则 N个人平均需化验的次数 <N。当 p固定时，我们选取 k使得
kqL k /11
小于 1且取到最小值，这时就能得到最好的分组方法。
例如,p = 0.1,则 q = 0.9,当 k = 4 时，
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取到最小值。此时 得到最好的分组方法。
若 N=1000,此时以 k=4分组，则按第二方案平均只需化验机动 目录 上页 下页 返回 结束
次）(5 9 44/19.011 0 0 0 4
这样平均来说，可以减少 40%的工作量。
例 8,据统计,一位 40岁的健康者,在 5年之内活着或自杀从中获益多少?
解 设 Xi表示公司从第 i个参加者身上所得的收益，则 Xi是公司期望获益为 E(Xi)>0,而 E(Xi)=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p)
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死亡的概率为 p(0<p<1,p为已知 ),在 5年内非自杀死亡的概率为 1-p。保险公司开办 5年人寿保险,参加者需交保险费 a元
(a已知 ),若 5年之内非自杀死亡,公司赔偿 b元 (b>a)。 b应如何定才能使公司可期望获益 ;若有 m人参加保险,公司可期望一个随机变量，其分布如下：
