第三章多维随机变量及其分布第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束二维随机变量第 三 章对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量前面我们只限于讨论一个随机变量的情况，但在实际问题中，
和体重 W。在这里，样本空间 S={e}={某地区的全部学龄前儿童 }，
一般地，设 E是一个随机试验，
费马 目录 上页 下页 返回 结束来描述。例如，为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况,对这一地区的儿童进行抽样。对于每个儿童都能观察到他的身高 H
而 H(e)和 W(e)是定义在 S上的两个随机变量。又如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定，而横坐标和纵坐标是定义在同一个样本空间的两个随机变量。
0 )(eX
)(eY
X
Y
e?
它的样本空间是 S={e}，设 X=X(e)
和 Y=Y(e)是定义在 S上的随机变量，
由它们构成的一个 随机向量 (X,Y)，
叫做 二维随机向量（变量）。
二维随机变量 (X,Y)的性质不仅与 X及 Y有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。 因此，逐个地来研究 X或 Y的性质是不够的，还需将 (X,Y)作为一个整体来进行研究。
定义,设 (X,Y)是二维随机变量，对于任意实数 x,y，
二元函数,F(x,y)=P{(X≤x) ∩(Y≤y)}=P{X≤x,Y≤y}
称为二维随机变量 (X,Y)的 分布函数,或称为随机变量 X和 Y
如果将二维随机变量 (X,Y)看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数 F(x,y)在 (x,y)处的函数值就是随机点 (X,Y)落在下图所示的，以点 (x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形内的概率。
机动 目录 上页 下页 返回 结束的 联合分布函数。
),( yx
x
y
o
依照上述解释，借助上图容易算出随机点 (X,Y)落在矩形域的概率为分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质：
（ 1） F(x,y)是变量 x和 y的 不减函数,即对于任意固定的 x,当 y2 > y1 时,F( x,y2 ) > F( x,y1 ) 。
对于任意固定的 y，当 x2 > x1 时,F( x2,y ) > F( x1,y ) ；
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
y
1x 2x
1y
2y
o
落在这个矩形内”这一事件趋于不可能事件，故其概率趋于 0，
（ 2） 0≤F(x,y)≤1,且 对于任意固定的 y,
上式四个式子可以从几何上加以说明。例如，在图中将即 F(-∞,y)=0,又当 x→∞,y→∞,图中的无穷矩形扩展到全平面
（ 3） F(x,y)关于 x右连续,关于 y也右连续，
机动 目录 上页 下页 返回 结束
F(-∞,y)=0 ; 对于任意固定的 x,F(x,-∞)=0,
F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1 。
无穷矩形的右面边界向左无限平移（即 x→ -∞),则“随机点 (X,Y)
随机点 (X,Y)落在其中这一事件趋于必然事件，故其概率趋于
F(∞,∞)=1。
即 F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y)
（ 4） 对于任意下述不等式成立：
这一性质由概率的非负性即可得。
0),(),(),(),( 21111222 yxFyxFyxFyxF
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体，具有联合分布函数 F(x,y)。
而 X与 Y都是随机变量，各自也有分布函数，它们分别为 FX(x),
FY(y)，依次称为二维随机变量 (X,Y)关于 X和关于 Y的 边缘分布函数,边缘分布函数可以由 (X,Y)的联合分布函数 F(x,y)所确定，
事实上 FX(x) =P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞)
即 FX(x) =F(x,∞)
同理 FY(y) =F( ∞,y)
第二节二维离散型随机变量第 三 章
1、联合分布律
2、边缘分布律定义,如果二元随机变量 (X,Y)所有可能取的数对为有限或可列个,并且以确定的概率取各个不同的数对,则称 (X,Y)
为二元离散型随机变量。
联合分布律 把 (X,Y)所有的可能取值及相应概率列成表格,称为（ X,Y) 的联合概率分布律。
y1 y2 … yj …
x1
x2
…
xi
…
p11 p12 … p1j …
p21 p22 … p2j …
… … … … …
pi1 pi2 … pij …
… … … … …
联合概率函数亦可用下式表示由定义不难看出，联合概率函数 pij 有如下性质
X的 边缘概率函数 （ X的分布律）为
1
,2,1,}{
j
ijii ippxXP?
Y的边缘概率函数（ Y的分布律）为
1
,2,1,}{
i
ijjj jppyYP?
将 (X,Y)看成一个随机点，离散型随机变量 X和 Y的
},{),( yYxXPyxF
联合分布函数为
xi jx yy
ijp
其中和式是对一切满足 yyxx
ji,
的 i,j 来求和的。
例 1,设两枚硬币，第一枚掷一次，第二枚掷两次，试求两枚硬币掷出的正面次数的联合概率函数与边缘概率函数以及联合分布函数与边缘分布函数。
机动 目录 上页 下页 返回 结束硬币掷出的正面数,X的所有可能取值为 0,1； Bj表示第二枚解,设 A表示第一枚硬币掷出正面的事件,X表示第一枚硬币第 j次掷出正面的事件,j=1,2,Y表示第二枚硬币掷出的正面数,Y的所有可能取值为 0,1,2。 故随机试验的样本空间共有 23=8 种不同的等可能基本事件，二维随机变量 (X,Y)的
8/2)(}1,0{ 2121 BBABBAPYXP
8/1)(}2,0{ 21 BBAPYXP
8/1)(}0,1{ 21 BBAPYXP
8/1)(}2,1{ 21 BABPYXP
拉氏 目录 上页 下页 返回 结束
8/1)(}0,0{ 21 BBAPYXP
所有可能取值共有 2× 3=6个。
0 1 2
0 1/8 2/8 1/8 1/2
1 1/8 2/8 1/8 1/2
1/4 1/2 1/4
}{ ixXP?
}{ jyYP?
YX
联合分布函数为类似地可以求出其它联合分布函数值（如下表）
边缘分布函数为类似地可以求出其它联合分布函数值（如下表）
8/38/28/1}1,0{}0,0{)1,0( YXPYXPF
8/4}2,0{}1,0{}0,0{)2,0( YXPYXPYXPF
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0 1 2
0 1/8 3/8 1/2 1/2
1 1/4 3/4 1 1
1/4 3/4 1
)(xFX
)(yFY
YX
例 2,设随机变量 X在 1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量 Y在 1~X中等可能地取一整数值。试求
(X,Y)的联合分布律和 X与 Y的边缘分布律。
解,由乘法公式容易求得（ X,Y)的分布律。易知 {X=i,Y=j}
的取值情况是,i = 1,2,3,4 ； j取不大于 i的的正整数。且
1 2 3 4
1
2
3
4
1/4 0 0 0 1/4
1/8 1/8 0 0 1/4
1/12 1/12 1/12 0 1/4
1/16 1/16 1/16 1/16 1/4
48
3
48
7
48
13
48
25
}{ ixXP?
}{ jyYP?
YX
第二节 第三节二维连续型随机变量第 三 章
1、联合概率密度函数
2、边缘概率密度函数一,联合概率密度函数定义,如果存在一个非负函数 f(x,y),使得二元随机则称 (X,Y)是二元连续型随机变量 。 f(x,y)称为 X
基本性质：
(1) 对一切实数 x,y,有 f(x,y) ≥0;
变量 (X,Y) 的分布函数 F(x,y),对于任意的实数 x,y都有与 Y的 联合概率密度函数 。
(2)
(3) 若 f(x,y)在 (x,y)处连续,则
(4) 点 (x,y)落在区域 D的概率为
D
d x d yyxfDYXP ),(}),{(
机动 目录 上页 下页 返回 结束二,边缘概率密度函数关于 X的边缘分布函数
xX dudvvufxFxF ),(),()(
关于 X的边缘概率密度关于 Y的边缘概率密度关于 Y的边缘分布函数机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,设随机变量 X和 Y具有联合概率密度
其它0
6),( 2 xyxyxf
求边缘概率密度,)(,)( yfxf YX
解：
y
2xy?
xy?
x
o
例 4,设随机向量（ X,Y)的联合概率密度函数为故 k=12。
求（ 1）常数 k；（ 2） (X,Y)的分布函数；
（ 3） P{0<X≤1,0<Y≤2}
解 （ 1）由概率密度函数的性质可得
.112 k
柯西 目录 上页 下页 返回 结束
（ 2） 当 x>0,y>0时有
d x d yeyxF x y yx 0 0 4312),(
yyxx ee 0403
dyedxe y yx x
0
4
0
3 43
故
其它0
0,0)1)(1(
),(
43 yxee
yxF
yx
（ 3）
)0,0()0,1()2,0()2,1(}20,10{ FFFFYXP
.9 4 9 9.01)1)1( 118383 eeeee （
机动 目录 上页 下页 返回 结束第四节 第 三 章条件分布
1、离散型随机变量的条件分布
2、连续型随机变量的条件分布条件概率条件分布
1) 设（ X,Y）是二维离散型随机变量，其分布律为
}{
},{}{
j
ji
ji yYP
yYxXPyyxXP
（ X,Y）关于 X和关于 Y的边缘分布律分别为设 我们来考虑在事件 {Y=yj} 已发生的
,2,1
i
p
p
j
ij
机动 目录 上页 下页 返回 结束条件下事件 {X=xi} 的概率为定义,设 (X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的 j，
若 P{Y=yj}>0，则称为在 Y=yj条件下随机变量 X的条件分布。
2,1
}{
},{}{
j
p
p
xXP
yYxXPxXyYP
i
ij
i
ji
ij
为在 X=xi条件下随机变量 Y的条件分布。
同样，对于固定的 i，若 P{X=xi}>0,则称机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,将两封信随机地往编号为 1,2,3,4的四个邮筒内投。
解,先求（ X,Y）的联合分布律和边缘分布律。
试验共有 42=16 种不同的等可能结果。
16/211?p 16/12002 pp
机动 目录 上页 下页 返回 结束
X,Y分别表示第一和第二个邮筒内信的数目。试求在
Y=1条件下关于 X的条件分布。
由条件分布的定义知
0/}12{ 121ppYXP
故所求的条件分布为
0 1 2
0
1
2
4/16 4/16 1/16
4/16 2/16 0
1/16 0 0
9/16
6/19
1/16
9/16 6/16 1/16
}{ ixXP?
}{ jyYP?
YX
X 0 1
2/3 1/3}1{?YXP
2）当（ X,Y）为二维连续型随机变量时，我们不加
)(
),()(
yf
yxfyxf
Y
YX?
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明地给出条件概率密度函数的定义。
定义,设二维随机变量（ X,Y）的概率密度函数为 f(x,y),
(X,Y)关于 Y的边缘概率密度为 fY(y) 。若对于固定的 y,fY(y)>0
则称 f(x,y)/ fY(y)为在 Y=y的条件下 X的条件概率密度，记为
dxyf yxfdxyxf x
Y
x
YX )(
),()(称为在 Y=y的条件下,X的条件分布函数，记为
.)(}{ yxFyYxXP YX或
类似地，可以定义
)(
),()(
xf
yxfxyf
X
XY? dyxf
yxfxyF y
X
XY )(
),()(
例 6,设 G是平面上的有界区域，其面积为 A。若二维则称 (X,Y)在 G上服从均匀分布。现设二维随机变量 (X,Y)在圆域 x2 + y2 ≤1 上服从均匀分布，求条件概率密度 。)( yxf
YX
解,由假设随机变量 (X,Y)具有概率密度机动 目录 上页 下页 返回 结束且有边缘密度随机变量（ X,Y）具有概率密度于是当 –1< y <1 时
22 12
1
1)/2(
/1
yy?
其它,0
当 y = 0 和 y =1/2 时 )( yxf
YX
的图形分别如下
22 11 yxy
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x1? 1
5.0
866.0? 866.0
577.0
x
例 7,设数 X在区间 (0,1)上随机取值，当观察 到 X=x (0<x<1)
时，数 Y在区间 (x,1)上随机取值。求 Y的概率密度 fY(y)。
解,按题意 X 具有概率密度
其它0
101)( xxf
X
对于任意给定的值 x (0 < x < 1),在 X = x 的条件下,Y 的条件概率密度为
其它0
1
1
1
)( yxxxyf XY
联合概率密度为
其它0
10,
1
1
)()(),( yxxxyfxfyxf XYX
于是得关于 Y的边缘概率密度为
dxyxfyf Y ),()(
其它0
10,)1ln (
1
1
0
y
yydx
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束第五节相互独立的随机变量第 三 章我们将利用两个事件相互独立的概念引入两个随机变量
}{}{},{ yYPxXPyYxXP 即 )()(),( yFxFyxF YX?
则称随机变量 X与 Y是相互独立的。
的概率密度和边缘概率密度，则 X和 Y相互独立的条件等价于：
)()(),( yfxfyxf YX? 几乎处处成立。
当 (X,Y) 是离散型随机变量时,X和 Y相互独立的条件设 (X,Y)是连续型随机变量,f(x,y),fX(x),fy(y) 分别为 (X,Y)
}{}{},{ jiji yYPxXPyYxXP
定义,设 F(x,y)及 FX(x),FY(y) 分别是二维随机变量 (X,Y)
相互独立的概念，这是一个十分重要的概念。
机动 目录 上页 下页 返回 结束的分布函数及边缘分布函数。若对于所有 x,y有等式等价于：对于 (X,Y)的所有可能取的值 (xi,yj) 有例 8,随机变量 (X,Y)在矩形区域 a ≤x ≤b,c ≤y ≤d
内服从均匀分布。其联合概率密度为
其它当
0
,
))((
1
),(
dycbxa
cdabyxf
试求 (1)求边缘分布密度； (2)检验随机变量 X与 Y是否独立。
解 (1)
dcX cdab dydyyxfxf ))((),()(
)(1))(( 1 bxaabxcdab dc
从而
其它0
1
)( bxaabxf X
同样
dxyxfyf Y ),()(
b
a cdab
dx
))((
b
axcdab ))((
1
)(1 dyccd
从而
其它0
1
)( dyccdyf Y
(2) 由上可知，对任何 (x,y)，总有
)()(),( yfxfyxf YX?
成立。故Ｘ与Ｙ是独立的。
第六节第 三 章
N 维随机变量定义,如果每次试验的结果对应着一组确定的实数
),,,( 21 nXXX? 它们是随试验结果不同而变化的 n 个随机变量,并且对任何一组实数 nxxx,,,21? 事件
nn xXxXxX,,,2211?“
有确定的概率,则称 n 个随机变量的整体 ),,,( 21 nXXX?
为一个 n 元随机变量 (或 n 元随机向量 )。
n维随机变量 (X1,X2,…,X n ) 的分布函数定义为
},,,{),,,( 221121 nnn xXxXxXPxxxF
其中
nxxx,,,21? 为任意实数。
若存在非负函有
，使对于任意实数
nxxx,,,21?
),,,( 21 nxxxf?
n
x x x
nn dxdxdxxxxfxxxf
n
212121
2 1 ),,,(),,,(
)()()(),,,( 2121 21 nXXXn xFxFxFxxxF n
为 (X1,X2,…,X n ) 的概率密度函数。则称 ),,,(
21 nxxxf?
对于连续型随机变量有则称 X1,X2,…,X n 是相互独立的。
机动 目录 上页 下页 返回 结束若对于所有 x1,x2,…,xn,有则称 X1,X2,…,X n 是相互独立的。
和体重 W。在这里，样本空间 S={e}={某地区的全部学龄前儿童 }，
一般地，设 E是一个随机试验，
费马 目录 上页 下页 返回 结束来描述。例如，为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况,对这一地区的儿童进行抽样。对于每个儿童都能观察到他的身高 H
而 H(e)和 W(e)是定义在 S上的两个随机变量。又如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定，而横坐标和纵坐标是定义在同一个样本空间的两个随机变量。
0 )(eX
)(eY
X
Y
e?
它的样本空间是 S={e}，设 X=X(e)
和 Y=Y(e)是定义在 S上的随机变量，
由它们构成的一个 随机向量 (X,Y)，
叫做 二维随机向量（变量）。
二维随机变量 (X,Y)的性质不仅与 X及 Y有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。 因此，逐个地来研究 X或 Y的性质是不够的，还需将 (X,Y)作为一个整体来进行研究。
定义,设 (X,Y)是二维随机变量，对于任意实数 x,y，
二元函数,F(x,y)=P{(X≤x) ∩(Y≤y)}=P{X≤x,Y≤y}
称为二维随机变量 (X,Y)的 分布函数,或称为随机变量 X和 Y
如果将二维随机变量 (X,Y)看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数 F(x,y)在 (x,y)处的函数值就是随机点 (X,Y)落在下图所示的，以点 (x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形内的概率。
机动 目录 上页 下页 返回 结束的 联合分布函数。
),( yx
x
y
o
依照上述解释，借助上图容易算出随机点 (X,Y)落在矩形域的概率为分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质：
（ 1） F(x,y)是变量 x和 y的 不减函数,即对于任意固定的 x,当 y2 > y1 时,F( x,y2 ) > F( x,y1 ) 。
对于任意固定的 y，当 x2 > x1 时,F( x2,y ) > F( x1,y ) ；
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
y
1x 2x
1y
2y
o
落在这个矩形内”这一事件趋于不可能事件，故其概率趋于 0，
（ 2） 0≤F(x,y)≤1,且 对于任意固定的 y,
上式四个式子可以从几何上加以说明。例如，在图中将即 F(-∞,y)=0,又当 x→∞,y→∞,图中的无穷矩形扩展到全平面
（ 3） F(x,y)关于 x右连续,关于 y也右连续，
机动 目录 上页 下页 返回 结束
F(-∞,y)=0 ; 对于任意固定的 x,F(x,-∞)=0,
F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1 。
无穷矩形的右面边界向左无限平移（即 x→ -∞),则“随机点 (X,Y)
随机点 (X,Y)落在其中这一事件趋于必然事件，故其概率趋于
F(∞,∞)=1。
即 F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y)
（ 4） 对于任意下述不等式成立：
这一性质由概率的非负性即可得。
0),(),(),(),( 21111222 yxFyxFyxFyxF
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体，具有联合分布函数 F(x,y)。
而 X与 Y都是随机变量，各自也有分布函数，它们分别为 FX(x),
FY(y)，依次称为二维随机变量 (X,Y)关于 X和关于 Y的 边缘分布函数,边缘分布函数可以由 (X,Y)的联合分布函数 F(x,y)所确定，
事实上 FX(x) =P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞)
即 FX(x) =F(x,∞)
同理 FY(y) =F( ∞,y)
第二节二维离散型随机变量第 三 章
1、联合分布律
2、边缘分布律定义,如果二元随机变量 (X,Y)所有可能取的数对为有限或可列个,并且以确定的概率取各个不同的数对,则称 (X,Y)
为二元离散型随机变量。
联合分布律 把 (X,Y)所有的可能取值及相应概率列成表格,称为（ X,Y) 的联合概率分布律。
y1 y2 … yj …
x1
x2
…
xi
…
p11 p12 … p1j …
p21 p22 … p2j …
… … … … …
pi1 pi2 … pij …
… … … … …
联合概率函数亦可用下式表示由定义不难看出，联合概率函数 pij 有如下性质
X的 边缘概率函数 （ X的分布律）为
1
,2,1,}{
j
ijii ippxXP?
Y的边缘概率函数（ Y的分布律）为
1
,2,1,}{
i
ijjj jppyYP?
将 (X,Y)看成一个随机点，离散型随机变量 X和 Y的
},{),( yYxXPyxF
联合分布函数为
xi jx yy
ijp
其中和式是对一切满足 yyxx
ji,
的 i,j 来求和的。
例 1,设两枚硬币，第一枚掷一次，第二枚掷两次，试求两枚硬币掷出的正面次数的联合概率函数与边缘概率函数以及联合分布函数与边缘分布函数。
机动 目录 上页 下页 返回 结束硬币掷出的正面数,X的所有可能取值为 0,1； Bj表示第二枚解,设 A表示第一枚硬币掷出正面的事件,X表示第一枚硬币第 j次掷出正面的事件,j=1,2,Y表示第二枚硬币掷出的正面数,Y的所有可能取值为 0,1,2。 故随机试验的样本空间共有 23=8 种不同的等可能基本事件，二维随机变量 (X,Y)的
8/2)(}1,0{ 2121 BBABBAPYXP
8/1)(}2,0{ 21 BBAPYXP
8/1)(}0,1{ 21 BBAPYXP
8/1)(}2,1{ 21 BABPYXP
拉氏 目录 上页 下页 返回 结束
8/1)(}0,0{ 21 BBAPYXP
所有可能取值共有 2× 3=6个。
0 1 2
0 1/8 2/8 1/8 1/2
1 1/8 2/8 1/8 1/2
1/4 1/2 1/4
}{ ixXP?
}{ jyYP?
YX
联合分布函数为类似地可以求出其它联合分布函数值（如下表）
边缘分布函数为类似地可以求出其它联合分布函数值（如下表）
8/38/28/1}1,0{}0,0{)1,0( YXPYXPF
8/4}2,0{}1,0{}0,0{)2,0( YXPYXPYXPF
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0 1 2
0 1/8 3/8 1/2 1/2
1 1/4 3/4 1 1
1/4 3/4 1
)(xFX
)(yFY
YX
例 2,设随机变量 X在 1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量 Y在 1~X中等可能地取一整数值。试求
(X,Y)的联合分布律和 X与 Y的边缘分布律。
解,由乘法公式容易求得（ X,Y)的分布律。易知 {X=i,Y=j}
的取值情况是,i = 1,2,3,4 ； j取不大于 i的的正整数。且
1 2 3 4
1
2
3
4
1/4 0 0 0 1/4
1/8 1/8 0 0 1/4
1/12 1/12 1/12 0 1/4
1/16 1/16 1/16 1/16 1/4
48
3
48
7
48
13
48
25
}{ ixXP?
}{ jyYP?
YX
第二节 第三节二维连续型随机变量第 三 章
1、联合概率密度函数
2、边缘概率密度函数一,联合概率密度函数定义,如果存在一个非负函数 f(x,y),使得二元随机则称 (X,Y)是二元连续型随机变量 。 f(x,y)称为 X
基本性质：
(1) 对一切实数 x,y,有 f(x,y) ≥0;
变量 (X,Y) 的分布函数 F(x,y),对于任意的实数 x,y都有与 Y的 联合概率密度函数 。
(2)
(3) 若 f(x,y)在 (x,y)处连续,则
(4) 点 (x,y)落在区域 D的概率为
D
d x d yyxfDYXP ),(}),{(
机动 目录 上页 下页 返回 结束二,边缘概率密度函数关于 X的边缘分布函数
xX dudvvufxFxF ),(),()(
关于 X的边缘概率密度关于 Y的边缘概率密度关于 Y的边缘分布函数机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,设随机变量 X和 Y具有联合概率密度
其它0
6),( 2 xyxyxf
求边缘概率密度,)(,)( yfxf YX
解：
y
2xy?
xy?
x
o
例 4,设随机向量（ X,Y)的联合概率密度函数为故 k=12。
求（ 1）常数 k；（ 2） (X,Y)的分布函数；
（ 3） P{0<X≤1,0<Y≤2}
解 （ 1）由概率密度函数的性质可得
.112 k
柯西 目录 上页 下页 返回 结束
（ 2） 当 x>0,y>0时有
d x d yeyxF x y yx 0 0 4312),(
yyxx ee 0403
dyedxe y yx x
0
4
0
3 43
故
其它0
0,0)1)(1(
),(
43 yxee
yxF
yx
（ 3）
)0,0()0,1()2,0()2,1(}20,10{ FFFFYXP
.9 4 9 9.01)1)1( 118383 eeeee （
机动 目录 上页 下页 返回 结束第四节 第 三 章条件分布
1、离散型随机变量的条件分布
2、连续型随机变量的条件分布条件概率条件分布
1) 设（ X,Y）是二维离散型随机变量，其分布律为
}{
},{}{
j
ji
ji yYP
yYxXPyyxXP
（ X,Y）关于 X和关于 Y的边缘分布律分别为设 我们来考虑在事件 {Y=yj} 已发生的
,2,1
i
p
p
j
ij
机动 目录 上页 下页 返回 结束条件下事件 {X=xi} 的概率为定义,设 (X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的 j，
若 P{Y=yj}>0，则称为在 Y=yj条件下随机变量 X的条件分布。
2,1
}{
},{}{
j
p
p
xXP
yYxXPxXyYP
i
ij
i
ji
ij
为在 X=xi条件下随机变量 Y的条件分布。
同样，对于固定的 i，若 P{X=xi}>0,则称机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,将两封信随机地往编号为 1,2,3,4的四个邮筒内投。
解,先求（ X,Y）的联合分布律和边缘分布律。
试验共有 42=16 种不同的等可能结果。
16/211?p 16/12002 pp
机动 目录 上页 下页 返回 结束
X,Y分别表示第一和第二个邮筒内信的数目。试求在
Y=1条件下关于 X的条件分布。
由条件分布的定义知
0/}12{ 121ppYXP
故所求的条件分布为
0 1 2
0
1
2
4/16 4/16 1/16
4/16 2/16 0
1/16 0 0
9/16
6/19
1/16
9/16 6/16 1/16
}{ ixXP?
}{ jyYP?
YX
X 0 1
2/3 1/3}1{?YXP
2）当（ X,Y）为二维连续型随机变量时，我们不加
)(
),()(
yf
yxfyxf
Y
YX?
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明地给出条件概率密度函数的定义。
定义,设二维随机变量（ X,Y）的概率密度函数为 f(x,y),
(X,Y)关于 Y的边缘概率密度为 fY(y) 。若对于固定的 y,fY(y)>0
则称 f(x,y)/ fY(y)为在 Y=y的条件下 X的条件概率密度，记为
dxyf yxfdxyxf x
Y
x
YX )(
),()(称为在 Y=y的条件下,X的条件分布函数，记为
.)(}{ yxFyYxXP YX或
类似地，可以定义
)(
),()(
xf
yxfxyf
X
XY? dyxf
yxfxyF y
X
XY )(
),()(
例 6,设 G是平面上的有界区域，其面积为 A。若二维则称 (X,Y)在 G上服从均匀分布。现设二维随机变量 (X,Y)在圆域 x2 + y2 ≤1 上服从均匀分布，求条件概率密度 。)( yxf
YX
解,由假设随机变量 (X,Y)具有概率密度机动 目录 上页 下页 返回 结束且有边缘密度随机变量（ X,Y）具有概率密度于是当 –1< y <1 时
22 12
1
1)/2(
/1
yy?
其它,0
当 y = 0 和 y =1/2 时 )( yxf
YX
的图形分别如下
22 11 yxy
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x1? 1
5.0
866.0? 866.0
577.0
x
例 7,设数 X在区间 (0,1)上随机取值，当观察 到 X=x (0<x<1)
时，数 Y在区间 (x,1)上随机取值。求 Y的概率密度 fY(y)。
解,按题意 X 具有概率密度
其它0
101)( xxf
X
对于任意给定的值 x (0 < x < 1),在 X = x 的条件下,Y 的条件概率密度为
其它0
1
1
1
)( yxxxyf XY
联合概率密度为
其它0
10,
1
1
)()(),( yxxxyfxfyxf XYX
于是得关于 Y的边缘概率密度为
dxyxfyf Y ),()(
其它0
10,)1ln (
1
1
0
y
yydx
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束第五节相互独立的随机变量第 三 章我们将利用两个事件相互独立的概念引入两个随机变量
}{}{},{ yYPxXPyYxXP 即 )()(),( yFxFyxF YX?
则称随机变量 X与 Y是相互独立的。
的概率密度和边缘概率密度，则 X和 Y相互独立的条件等价于：
)()(),( yfxfyxf YX? 几乎处处成立。
当 (X,Y) 是离散型随机变量时,X和 Y相互独立的条件设 (X,Y)是连续型随机变量,f(x,y),fX(x),fy(y) 分别为 (X,Y)
}{}{},{ jiji yYPxXPyYxXP
定义,设 F(x,y)及 FX(x),FY(y) 分别是二维随机变量 (X,Y)
相互独立的概念，这是一个十分重要的概念。
机动 目录 上页 下页 返回 结束的分布函数及边缘分布函数。若对于所有 x,y有等式等价于：对于 (X,Y)的所有可能取的值 (xi,yj) 有例 8,随机变量 (X,Y)在矩形区域 a ≤x ≤b,c ≤y ≤d
内服从均匀分布。其联合概率密度为
其它当
0
,
))((
1
),(
dycbxa
cdabyxf
试求 (1)求边缘分布密度； (2)检验随机变量 X与 Y是否独立。
解 (1)
dcX cdab dydyyxfxf ))((),()(
)(1))(( 1 bxaabxcdab dc
从而
其它0
1
)( bxaabxf X
同样
dxyxfyf Y ),()(
b
a cdab
dx
))((
b
axcdab ))((
1
)(1 dyccd
从而
其它0
1
)( dyccdyf Y
(2) 由上可知，对任何 (x,y)，总有
)()(),( yfxfyxf YX?
成立。故Ｘ与Ｙ是独立的。
第六节第 三 章
N 维随机变量定义,如果每次试验的结果对应着一组确定的实数
),,,( 21 nXXX? 它们是随试验结果不同而变化的 n 个随机变量,并且对任何一组实数 nxxx,,,21? 事件
nn xXxXxX,,,2211?“
有确定的概率,则称 n 个随机变量的整体 ),,,( 21 nXXX?
为一个 n 元随机变量 (或 n 元随机向量 )。
n维随机变量 (X1,X2,…,X n ) 的分布函数定义为
},,,{),,,( 221121 nnn xXxXxXPxxxF
其中
nxxx,,,21? 为任意实数。
若存在非负函有
，使对于任意实数
nxxx,,,21?
),,,( 21 nxxxf?
n
x x x
nn dxdxdxxxxfxxxf
n
212121
2 1 ),,,(),,,(
)()()(),,,( 2121 21 nXXXn xFxFxFxxxF n
为 (X1,X2,…,X n ) 的概率密度函数。则称 ),,,(
21 nxxxf?
对于连续型随机变量有则称 X1,X2,…,X n 是相互独立的。
机动 目录 上页 下页 返回 结束若对于所有 x1,x2,…,xn,有则称 X1,X2,…,X n 是相互独立的。
