一、离散型二、连续型第四节机动 目录 上页 下页 返回 结束连续型随机变量函数的分布第二章在实际中,我们常常对某些随机变量的函数更感兴趣。如,
在一些试验中,所关心的随机变量往往不能直接测量得到,而因此,掌握从已知简单随机变量 X的分布去求其函数 Y=g(X)分布它的概率分布为仍是离散型随机变量则,)( XgY?
ii pxgYP )}({
的概率，则有相同的如果不同的 )()( iii xgYxgx?
相加。的应把有相同 ii pxg )(
.4/2dA圆轴截面的直径 d,而关心的却是截面面积机动 目录 上页 下页 返回 结束它却是某个能直接测量的随机变量的函数。例如我们能测量方法是十分有用的。
（ 1）如果 X是离散型随机变量,它的概率分布为例 1:设 X具有以下的分布律,试求 Y =(X -1)2的分布律。
解,Y的所有可能取的值为 0,1,4。由即得 Y的分布律为
2.0}1{}4)1{(}4{ 2 XPXPYP
机动 目录 上页 下页 返回 结束
X -1 0 1 2
P 0.2 0.3 0.1 0.4
)(yFY }{ yYP
一般当 g(·)是连续可导函数时,则 Y=g(X)仍是连续型随机变量,此时 Y的分布函数为即是 X值域上的一个集合,它通常是区间或者区间的并集。而 Y的密度函数为,
)(yf
（ 2）如果 X是连续型随机变量,X有密度函数 f(x)。
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,设随机变量 X具有概率密度求随机变量 Y=2X+8的概率密度。
解,先求 )(yFY }{)( yYPyF
Y
2
8
)(
y
X dxxf
关于 y求导数，得到 Y=2X+8的概率密度
)( yf Y
42 80212 881 yy
其它0
例 3,设 X~N(0,1),求 Y=X 2 的概率密度。
解,从 y = x 2 的函数图形可以看出，当 y>0时,Y≤y等价于
}{)( yYPyF Y }{ yXyP
Y的概率密度为 yyfyyf XX 2/)(2/)(
y
e
y 1
2
1 2
22
1
2
1 yey
当 y≤0时，,Y = X 2 ≤ y,是不可能事件，所以 fY (y)=0,
)( yf
Y 00
0
2
1 221
y
yey
y
因此有机动 目录 上页 下页 返回 结束这样,Y=X 2 的概率密度为定理,设随机变量 X具有概率密度函数 xxf X,)(
则 Y=g(X)是连续型随机变量,其概率密度函数为
其它0
)()]([)( yyhyhfyf X
Y
其中
)0)((0)( xgxg 或恒有
)),(),(m a x (,))(),(m in ( gggg
h( y ) 是 g( x ) 的反函数。
证,只证 g’(x)>0,此时 g(x)在 (-∞,∞)严格单调增加，它的反函数 h(y)存在，且在 (α,β)严格单调增加，可导。分别记 X，
机动 目录 上页 下页 返回 结束又设函数 g(x)处处可导恒有
Y的分布函数为 FX(x),FY(y)。
因为 Y=g(X)在 (α,β)上取值,故当 y≤α 时 FY(y)=P{Y ≤y}=0
当 y≥ β 时,FY(y)=P{Y ≤y}=1 。
)}({ yhXP
将 FY(y)关于 y 求导数，即得 Y 的概率密度函数
其它0
)()]([)( yyhyhfyf X
Y
此时有的情况可以同样地证明对于,0)( xg
其它0
)]([)]([)( yyhyhfyf X
Y
合并上面两式即得所证。
,)0)((0)( xgxg 或恒有
.)}(,)(m a x {,)}(,)(m in { bgagbgag此时机动 目录 上页 下页 返回 结束若 f(x)在有限区间 [a,b]以外为零，则只需假设在 [a,b]上恒有例 4:设随机变量 X~N(μ,σ2).试证明 X的线性函数 Y=aX+b (a不等于零 )也服从正态分布,
解,X 的概率密度为,,
2
1)( 2
2
2
)(
xexf
x
X
由公式得 Y = a X + b 的概率密度为即即有,))(,(~ 2 abaN?
由这一式子解得现在,)( baxxgy
机动 目录 上页 下页 返回 结束
