第六讲 导数与微分
(The differentiable properties of function)
阅读,第3章3.1 pp.51—58,
预习,第三章3.2,3.3 pp.60—73,
练习 pp67--70 习题 3.2,1至 5; 6,7; 9,(2),(4),(5); 10,(2),(3); 11,(2),(4)
12; 14; 16.
作业 pp59--50 习题 3.1,6; 8; 9,(1),(3),(6); 10,(1),(4); 11,(1),(3),(5),(6);
13; 15; 17.
答疑时间：每周星期三下午三点半至五点，
答疑地点：理科楼1107
下周(第六周)星期三,自二各班,第二节上大班习题辅课,一教104
下周(第六周)星期三,文2、新闻2医学21、环二、环21-23、建环2、软件班等各班及其他同学,第一节上大班习题辅课,一教101
3-1 函数的导数与微分
4-1-1 函数导数的定义
一 两个典型背景示例例一,运动物体的瞬时速度.
设质点沿轴作直线运动,若己知其运动规律(即路程与时间的函数关系)为,求在时刻的瞬时速度.
解,(1) 求时段到＋的平均速度：
.
(2) 平均速度的极限是瞬时速度,即：因此,如果极限
存在,这个极限值就是质点在时刻的瞬时速度.
例二,曲线的切线斜率.
设曲线由方程确定,.要求在点的切线.
求区间到的弦的斜率,
=;
弦斜率的极限是切线的斜率,
==;
曲线:在点的切线:
斜率等于,切线的方程称为:
二 导数的定义
定义,假设函数在点某邻域有定义,如果极限
=
存在,则称其值为函数在点的导数,并说在可导；
在点的导数记作或或或.
函数在点的导数,就是在点函数关于自变量的变化率.
运动质点在时刻的瞬时速度是距离对时间的导数.
曲线在点切线斜率是函数f对x的导数.
例,细杆的线密度。设有长度为的质量不均匀细杆,杆所在的直线为轴,表示细杆在区间中的质量,
是细杆在一段的平均质量密度是
.
它的极限,即质量函数关于在点的导数
就是细杆在的线密度.
在导数定义中,称为自变量的增量; 可正可负,但是不能取零;
称为函数的增量.
当限制的负正时，有所谓左、右导数之称,即,
若存在,则称其为在的左导数;
若存在,则称其为在的右导数;
在点的左、右导数分别记作和.
三 例
1,常数函数的导数.
由导数定义(注意到)得到
.
所以 .
2,三角函数的导数:
和的导数.
=
=
同样的方法可以得到 .
注意几何意义。
对数函数的导数当,
当,
，
幂函数的导数.
解:对于任意的,有
=
3-1-2 导数的基本性质
性质一：函数在点存在导数的充分必要条件是在点的
左、右导数都存在并且相等.
性质二,如果在可导,则函数在的增量可表成：
.
证明,由在点可导,则有
.
由极限性质可知，当时，,
即 .
推论一：如果在可导,则函数在必连续。
推论二：如果,则。
推论三：如果在可导,在附近用切线上的增量,
来近似函数曲线上的增量，相差为。
注意：由函数的连续性不能推出可导性.
如果在区间中的每个点都可导,称在区间上可导,
这时,在上定义一个函数,称为的导函数,简称导数.
当区间为有界闭区间时,在区间上可导的含义是:
在的每一个内点可导；在两点分别存在右导数和
左导数,此时记成,.
符号,表示导函数在I上连续.
性质三,导数的四则运算性质,若函数,在点都可导,则
1.函数在点可导,并且
2.对于任意常数,函数在点可导,并且
.
3.函数在点可导,并且
.
4.如果,则在点可导,并且
.
证明:以下记
=
1,设函数,在点都可导,则
.
2,设函数在点都可导,则对于任意常数,有
.
3,当函数,在点都可导时,有
==
=
=
4,当函数,在点都可导,并且时,有
=
=
=
、、、的导数
同样可以得到
.
同样可以得到
.
性质四,反函数的导数,设函数在区间上单调、连续,在可导且,则反函数在点可导,且,或 ,
证明,由函数的单调及连续可以推出,反函数单调且连续,因此和同时成立.,并且时也有,于是,利用复合函数极限定理,当时
=
指数函数的导数
反三角函数的导数和.
3-1-3 基本导数公式
一 基本初等函数的导数
现在,我们将所有基本初等函数的导数汇集如下:
1.(为常数) ; 2.
3.; 4.
5. 6,
7. 8.
9. 10
11. 12.
13. 14.
例1 设,计算.
例2 设,计算.
解：=.
若,怎么办？
例3 设,计算.
解：=,不存在。
若,则，
=
3-2 函数的微分导数是从函数对自变量变化的速度来研究; 而微分则是直接研究函数的增量，这有许多方便之处。
3-2-1 函数微分的定义定义 假设在点的增量可表示成,
=,
则称函数在点可微。
线性函数称为函数在点的微分,
记作=,或者=.
注1,在微分=中,当确定点时,函数在点的微分是自变量增量的线性函数.
注2:当很小时,在点的微分=可以作为函数增量的近似值,所产生的误差与相比较时高阶无穷小量,因此俗称:
微分是增量的线性主部,主部意主要部分。
3-2-2 微分的基本性质性质一，函数可微与可导是等价的。
若函数在点可导，则它在点必可微,且：
,;
反之，若在点可微，则它在点必可导,且
.
证明：(1) 可导可微
存在 =
在点可微,;
(2) 可导可微
=
.
性质二，函数微分的几何意义：曲线切线上的增量、微分三角形
3-2-3 基本微分公式
(一) 基本初等函数微分公式
1.(为常数) ; 2.
3.; 4.
5. 6,
7. 8.
9. 10
11. 12.
13. 14.
(二) 四则运算微分公式
1,
2,
3,
4,
5,
证明5,
=
=.
(The differentiable properties of function)
阅读,第3章3.1 pp.51—58,
预习,第三章3.2,3.3 pp.60—73,
练习 pp67--70 习题 3.2,1至 5; 6,7; 9,(2),(4),(5); 10,(2),(3); 11,(2),(4)
12; 14; 16.
作业 pp59--50 习题 3.1,6; 8; 9,(1),(3),(6); 10,(1),(4); 11,(1),(3),(5),(6);
13; 15; 17.
答疑时间：每周星期三下午三点半至五点，
答疑地点：理科楼1107
下周(第六周)星期三,自二各班,第二节上大班习题辅课,一教104
下周(第六周)星期三,文2、新闻2医学21、环二、环21-23、建环2、软件班等各班及其他同学,第一节上大班习题辅课,一教101
3-1 函数的导数与微分
4-1-1 函数导数的定义
一 两个典型背景示例例一,运动物体的瞬时速度.
设质点沿轴作直线运动,若己知其运动规律(即路程与时间的函数关系)为,求在时刻的瞬时速度.
解,(1) 求时段到＋的平均速度：
.
(2) 平均速度的极限是瞬时速度,即：因此,如果极限
存在,这个极限值就是质点在时刻的瞬时速度.
例二,曲线的切线斜率.
设曲线由方程确定,.要求在点的切线.
求区间到的弦的斜率,
=;
弦斜率的极限是切线的斜率,
==;
曲线:在点的切线:
斜率等于,切线的方程称为:
二 导数的定义
定义,假设函数在点某邻域有定义,如果极限
=
存在,则称其值为函数在点的导数,并说在可导；
在点的导数记作或或或.
函数在点的导数,就是在点函数关于自变量的变化率.
运动质点在时刻的瞬时速度是距离对时间的导数.
曲线在点切线斜率是函数f对x的导数.
例,细杆的线密度。设有长度为的质量不均匀细杆,杆所在的直线为轴,表示细杆在区间中的质量,
是细杆在一段的平均质量密度是
.
它的极限,即质量函数关于在点的导数
就是细杆在的线密度.
在导数定义中,称为自变量的增量; 可正可负,但是不能取零;
称为函数的增量.
当限制的负正时，有所谓左、右导数之称,即,
若存在,则称其为在的左导数;
若存在,则称其为在的右导数;
在点的左、右导数分别记作和.
三 例
1,常数函数的导数.
由导数定义(注意到)得到
.
所以 .
2,三角函数的导数:
和的导数.
=
=
同样的方法可以得到 .
注意几何意义。
对数函数的导数当,
当,
，
幂函数的导数.
解:对于任意的,有
=
3-1-2 导数的基本性质
性质一：函数在点存在导数的充分必要条件是在点的
左、右导数都存在并且相等.
性质二,如果在可导,则函数在的增量可表成：
.
证明,由在点可导,则有
.
由极限性质可知，当时，,
即 .
推论一：如果在可导,则函数在必连续。
推论二：如果,则。
推论三：如果在可导,在附近用切线上的增量,
来近似函数曲线上的增量，相差为。
注意：由函数的连续性不能推出可导性.
如果在区间中的每个点都可导,称在区间上可导,
这时,在上定义一个函数,称为的导函数,简称导数.
当区间为有界闭区间时,在区间上可导的含义是:
在的每一个内点可导；在两点分别存在右导数和
左导数,此时记成,.
符号,表示导函数在I上连续.
性质三,导数的四则运算性质,若函数,在点都可导,则
1.函数在点可导,并且
2.对于任意常数,函数在点可导,并且
.
3.函数在点可导,并且
.
4.如果,则在点可导,并且
.
证明:以下记
=
1,设函数,在点都可导,则
.
2,设函数在点都可导,则对于任意常数,有
.
3,当函数,在点都可导时,有
==
=
=
4,当函数,在点都可导,并且时,有
=
=
=
、、、的导数
同样可以得到
.
同样可以得到
.
性质四,反函数的导数,设函数在区间上单调、连续,在可导且,则反函数在点可导,且,或 ,
证明,由函数的单调及连续可以推出,反函数单调且连续,因此和同时成立.,并且时也有,于是,利用复合函数极限定理,当时
=
指数函数的导数
反三角函数的导数和.
3-1-3 基本导数公式
一 基本初等函数的导数
现在,我们将所有基本初等函数的导数汇集如下:
1.(为常数) ; 2.
3.; 4.
5. 6,
7. 8.
9. 10
11. 12.
13. 14.
例1 设,计算.
例2 设,计算.
解：=.
若,怎么办？
例3 设,计算.
解：=,不存在。
若,则，
=
3-2 函数的微分导数是从函数对自变量变化的速度来研究; 而微分则是直接研究函数的增量，这有许多方便之处。
3-2-1 函数微分的定义定义 假设在点的增量可表示成,
=,
则称函数在点可微。
线性函数称为函数在点的微分,
记作=,或者=.
注1,在微分=中,当确定点时,函数在点的微分是自变量增量的线性函数.
注2:当很小时,在点的微分=可以作为函数增量的近似值,所产生的误差与相比较时高阶无穷小量,因此俗称:
微分是增量的线性主部,主部意主要部分。
3-2-2 微分的基本性质性质一，函数可微与可导是等价的。
若函数在点可导，则它在点必可微,且：
,;
反之，若在点可微，则它在点必可导,且
.
证明：(1) 可导可微
存在 =
在点可微,;
(2) 可导可微
=
.
性质二，函数微分的几何意义：曲线切线上的增量、微分三角形
3-2-3 基本微分公式
(一) 基本初等函数微分公式
1.(为常数) ; 2.
3.; 4.
5. 6,
7. 8.
9. 10
11. 12.
13. 14.
(二) 四则运算微分公式
1,
2,
3,
4,
5,
证明5,
=
=.
