第二章 多元函数微分学
11-Exe-2 习题讨论(II)
11-Exe-2-1 讨论题
11-Exe-2-1 参考解答
习 题 讨 论
题 目若函数,由方程确定，其为常数,,证明：
由确定的曲面上任一点的切平面共点；
函数满足偏微分方程:
.
今有三个二次曲面：
2．设曲面S由方程确定,试证明：曲面S上任一点的法线与某定直线相交。
3,
其中，,,均为常数。证明：在三曲面的交点处，三曲面正交。
设方程

确定函数,求其极值。
( 处为极小点，)。
证明,n边园内接多边形中，面积最大者是n正边形。
设为空间光滑曲面,在该曲面同侧有两点,，今一光线从射出，经曲面再反射到，根据光程最短原理，证明反射定理：即光线途经曲面时，入射角(入射线与曲面在该点法线立夹角)等于反射角(反射线与曲面在该点法线立夹角)。
是三角形中的一点，从它向三边作垂直线，由垂足形成另一个三角形。试问在何处时，此新三角形面积最大？
解 答 参 考若函数,由方程确定，其为常数,,证明：
由确定的曲面上任一点的切平面共点；
函数满足偏微分方程:
,
证明：(法1)  两边对和y求导,




切平面：

切平面总是过点
将对和再求导:


若
(解2) :
 




切平面总是过点
2．设曲面S由方程确定,试证明：曲面S上任一点的法线与某定直线相交。
(证一) 






其中：
 法线与向量和共面，即与定直线
总相交或平行若,则不会平行。
(证二) 




(证二) 


3,今有三个二次曲面：

其中，,,均为常数。证明：在三曲面的交点处，三曲面正交。
解：
总是有三个不同的形成如此的三个曲面：因为

,
在区间端点异号，因此有三个不同实根。
在三曲面的交点处：三曲面之法向量：
;


=

=.
[注],
=
设方程

确定函数,求其极值。
(法一) 用无条件极值求：
求驻点：


用代入上式：

( 处为极小点，)。
证明,n边园内接多边形中，面积最大者是n正边形。
设为空间光滑曲面,在该曲面同侧有两点,，今一光线从射出，经曲面再反射到，根据光程最短原理，证明反射定理：即光线途经曲面时，入射角(入射线与曲面在该点法线立夹角)等于反射角(反射线与曲面在该点法线立夹角)。
解：令 ,

;
,


,




.
是三角形中的一点，从它向三边作垂直线，由垂足形成另一个三角形。试问在何处时，此新三角形面积最大？
C
E
D y
x P
z
B F A
解,设三角形的三内角分别为
;
三角形的三边为
;
三角形的面积为
过的三边垂线长为：
;
则问题变成：

;


令 ,

 ,


=
=,其中是三角形内切园半径。
.