第二章 第四节 隐函数微分法
2-4 隐函数与隐函数的导数
2-4-1 隐函数求导
2-4-2 隐函数存在性问题辅导课事宜
序
班 级
助教姓名
助教住址
助教电话
1
自21,自22,电机系(7)，
计算机科学系(3)，医学院(6)
张 靖
22--412
62776299
13661167656
2
自23,自24,其他系(15)
张李军
20--304
62775069
3
自25,自26,自27
陈 明
11--115
62776447
13520608666
班 级
助教姓名
时间
上课地点
1
自21,自22,电机系(7)，
计算机科学系(3)，医学院(6)
张 靖
星期二(4)
四教?
2
自25,自26,自27
陈 明
星期二(5)
四教4209
3
自23,自24,其他系(15)
张李军
星期二(4)
四教4203
第 五、七、九、十一、十三、十五、周上课
第五讲 隐函数和隐函数微分法课后作业,
阅读：第二章 第四节,pp,50---56
预习：第二章 第四节 4.3,pp,56---58; 第五节 5.2,pp,60---63
作业,第二章 习题4,pp,58---59,1; 2; 3; 4; 5.
2-4 隐函数与隐函数的导数隐函数问题的提出设是一个二元函数，对于方程
,
如果在区间中的所有的，都存在唯一的，使得满足上述方程,即有
那么就说,由方程 确定了上的一个隐函数(implicit function) 。
要注意的是，并非任何二元方程都能确定隐函数。首先，方程可能无解；即使这个方程的构成的集合不是空集,那么由这个方程就可以确定变量与之间的一种对应关系，但不一定能构成函数关系，也就是说,不一定能表示为对于(或者对于)的单值对应关系。这就是所谓隐函数存在性问题。
在几何上,这个问题是,设是一个二元函数,在几何上是空问中一张曲面。
首先，方程是否有解？在几何上就是,这张曲面与坐标平面是否有交？
其次，若有交，交集是否确定平面上的一条曲线? 如果能,这条曲线能否表示为(或者),如果不能整个地表示为(或者),那么这条曲线的某一部分能否表示为(或者)?
例如考察圆周,,显然,整个圆周既不能表示为,也不能表示为.但是
在点的某个邻域中的那部分曲线可以表示为；
在点的某个邻域中的那部分曲线可以表示为,
对于隐函数问题，首先有以下几个方面需要研究,
1.如何判定隐函数的存在性？它的定义域如何确定？
2.如何通过已知函数的性质去研究隐函数的性
质，如连续性，可微性等.
3.如何计算隐函数的（偏）导数与（全）微分？
2-4-1 隐函数求导
我们先假设隐函数存在，且可导，来讨论求导问题.
若函数,由方程确定，求导之函数？
按隐函数定义有恒等式：
从这是可见：函数可导有一个必要条件是，.
例1已知函数由方程
是常数,
求导函数。
若函数,由方程确定，求导之函数？
将看作是的函数,对于方程
两端分别关于求偏导数得到
由这个方程求解,就可以得到所得公式
.
例2方程在哪些点的邻域中能够确定隐函数 ?在隐函数存在之处,求.
解 取,因为，所以只要,根据定理11.3.2,在点的某个邻域中存在隐函数,也就是说,该球面在点某个邻域中的一小片可以表示为,这个隐函数定义在的某个邻域中,并且有
当时,在点的某个邻域中存在隐函数,也就是说,该球面在点某个邻域中的一小片可以表示为
,这个隐函数定义在的某个邻域中.
同样,当时,在点的某个邻域中存在隐函数,也就是说,该球面在点某个邻域中的一小片可以表示为,这个隐函数定义在的某个邻域中,
若向量函数,由方程组
即确定，
求向量函数之导函数？
将看作是的函数,则
或
分别对每一个方程的两端求关于偏导数,得到
,
即
解这个方程组得到
即
如果从向量函数的方程 出发，用向量函数的导数则在记号上很简单，而且与二元方程隐函数公式很相似。
或者
即 .
由此可得到关于函数方程组有隐函数可导的必要条件是：
存在
例3 设函数由方程组
确定,求.
解 令,
由于
因此只要点满足且，那么在的某个邻域中就存在隐函数，
得到
=
由此得到
.
例4 已知函数由参数方程:给定
,试求.
解 这个问题涉及到复合函数微分法与隐函数微分法.
是自变量,是中间变量(是的函数),
先由 得到
是由方程的的隐函数，在这两个等式两端分别关于求偏导数，得
,
将作为未知数解上述方程组，得到
将这个结果代入前面的式子,得到
.
例5 设有两个可微的三元函数,方程组
(*)
是否表示一条曲线? 如果是一条曲线,那么这条曲线能否整个地表示成 ( 或者 )?
解,(1) 首先,必须至少有一个点满足方程(*).
(2) 其次,如果在点 的行列式满足
则根据隐函数定理,在点的某个邻域中存在两个隐函数,这两个函数在点的某个邻域中定义.于是得到一条曲线 ,
由于有,所以该曲线通过点.
同样地,当 或者时,
方程组(*)可以在某邻域内,确定通过该点的一条曲线
或者
例6 函数由方程确定，求
解,函数关系分析,5 (变量) ( 3 (方程)=2(自变量);
一函 (u),二自( x,y ),二中( z,t )
,
2-4-2 隐函数存在性证明
隐函数存在性定理的结果及证明思路
隐函数定理可以用映射的语言写成统一的形式（隐映射定理），.
定理1 设二元函数在点的某个邻域中有定义，并且满足下列条件：
1.;
2.;
3..
则存在一个以为中心的区间以及在上定义的函数，满足
1.;
2.;
3.
定理证明 定理证明分三步进行.
（1）隐函数的存在性根据条件3，不妨设,由偏导数连续，存在一个以为中心的矩形
，
,,
d F(x,d)>0
F(x,y)=0
y0 F(x0,,y0)=0
F(x,c)<0
c
a x0 b
因此,，固定后,作为的一元函数,是严格单调增加的,
叉因，及
对于的严格单调性推出,
,使得：
,且
,
其中：,
再由的连续性可知,
当充分靠近 时,即,使得仍然有
利用连续函数的介值定理以及对于的严格单调性可知，在区间中存在唯一的，使得.
这样的是由唯一确定的，因此就在上定义了一个函数，这就是由方程确定的隐函数.
由推出.又根据函数的定义方式
可以推出 ,结论1得证.
值得提出的是，如此确定的隐函数，其图形全部处于以为为中心的矩形的之内。
（2）函数在上的连续性首先证明在的连续性.，按上面证法中构造矩形,,使得，
,
这样，,必有,,
即在处连续.
对于，因点与满足同样的条件，即在点满足隐函数定理的所有条件，因此同样地可以证明在点的连续性.
（3）的可微性任取，在对充分小的,显然有
;
,
由二元函数的可微性，有
上式两端同除以得
当时，,注意到
，由上式可得
由于的任意性，这就证明了在上的可微性,及导数公式。
当函数是阶连续可微时，利用以上公式以及复合函数的微分法可以继续对求导，直到阶导数，且各阶导数都是连续的，即.至此定理完全得证.
注：对于存在性还有一种构造性的证明：压缩映像。
先把求隐函数问题先把求隐函数问题看作方程求根：
给定 ,由方程求
求方程 之根
求函数 之不动点构造迭代过程：
验证压缩映像条件：
,
,
上述定理的一个直接推广就是下面的定理定理2 设元函数在点的某个邻域中有定义，并且满足下列条件：
1.;
2.;
3.
则在点=的某邻域上,存在的一个元函数
=，使得下列结论成立：
1．,,.
2．.
3．
由于篇幅的原因,我们略去这个定理的证明细节.
在定理中,当时,有如下几何意义:
假设方程是表示中的一个曲面.一般情形,这个曲面不能整个地表示成.但是这个曲面的某一部分有可能表示成 ,那么曲面在其上哪个点的附近的一小片能够表示成.
定理2中的结果还可以推广到多个方程确定多个隐函数的情形，这就是下面的定理3.
定理3 设在们某个邻域中有个元函数;
,,,,
,它们满足下列条件:
则存在以=的某个邻域上的个元函数
，或
所有这些函数满足如下条件：
;
2.函数在上阶连续可微;
3,
其中为矩阵的行列式,
2-4 隐函数与隐函数的导数
2-4-1 隐函数求导
2-4-2 隐函数存在性问题辅导课事宜
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1
自21,自22,电机系(7)，
计算机科学系(3)，医学院(6)
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13661167656
2
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张李军
20--304
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3
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陈 明
11--115
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时间
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1
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星期二(4)
四教?
2
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3
自23,自24,其他系(15)
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星期二(4)
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第 五、七、九、十一、十三、十五、周上课
第五讲 隐函数和隐函数微分法课后作业,
阅读：第二章 第四节,pp,50---56
预习：第二章 第四节 4.3,pp,56---58; 第五节 5.2,pp,60---63
作业,第二章 习题4,pp,58---59,1; 2; 3; 4; 5.
2-4 隐函数与隐函数的导数隐函数问题的提出设是一个二元函数，对于方程
,
如果在区间中的所有的，都存在唯一的，使得满足上述方程,即有
那么就说,由方程 确定了上的一个隐函数(implicit function) 。
要注意的是，并非任何二元方程都能确定隐函数。首先，方程可能无解；即使这个方程的构成的集合不是空集,那么由这个方程就可以确定变量与之间的一种对应关系，但不一定能构成函数关系，也就是说,不一定能表示为对于(或者对于)的单值对应关系。这就是所谓隐函数存在性问题。
在几何上,这个问题是,设是一个二元函数,在几何上是空问中一张曲面。
首先，方程是否有解？在几何上就是,这张曲面与坐标平面是否有交？
其次，若有交，交集是否确定平面上的一条曲线? 如果能,这条曲线能否表示为(或者),如果不能整个地表示为(或者),那么这条曲线的某一部分能否表示为(或者)?
例如考察圆周,,显然,整个圆周既不能表示为,也不能表示为.但是
在点的某个邻域中的那部分曲线可以表示为；
在点的某个邻域中的那部分曲线可以表示为,
对于隐函数问题，首先有以下几个方面需要研究,
1.如何判定隐函数的存在性？它的定义域如何确定？
2.如何通过已知函数的性质去研究隐函数的性
质，如连续性，可微性等.
3.如何计算隐函数的（偏）导数与（全）微分？
2-4-1 隐函数求导
我们先假设隐函数存在，且可导，来讨论求导问题.
若函数,由方程确定，求导之函数？
按隐函数定义有恒等式：
从这是可见：函数可导有一个必要条件是，.
例1已知函数由方程
是常数,
求导函数。
若函数,由方程确定，求导之函数？
将看作是的函数,对于方程
两端分别关于求偏导数得到
由这个方程求解,就可以得到所得公式
.
例2方程在哪些点的邻域中能够确定隐函数 ?在隐函数存在之处,求.
解 取,因为，所以只要,根据定理11.3.2,在点的某个邻域中存在隐函数,也就是说,该球面在点某个邻域中的一小片可以表示为,这个隐函数定义在的某个邻域中,并且有
当时,在点的某个邻域中存在隐函数,也就是说,该球面在点某个邻域中的一小片可以表示为
,这个隐函数定义在的某个邻域中.
同样,当时,在点的某个邻域中存在隐函数,也就是说,该球面在点某个邻域中的一小片可以表示为,这个隐函数定义在的某个邻域中,
若向量函数,由方程组
即确定，
求向量函数之导函数？
将看作是的函数,则
或
分别对每一个方程的两端求关于偏导数,得到
,
即
解这个方程组得到
即
如果从向量函数的方程 出发，用向量函数的导数则在记号上很简单，而且与二元方程隐函数公式很相似。
或者
即 .
由此可得到关于函数方程组有隐函数可导的必要条件是：
存在
例3 设函数由方程组
确定,求.
解 令,
由于
因此只要点满足且，那么在的某个邻域中就存在隐函数，
得到
=
由此得到
.
例4 已知函数由参数方程:给定
,试求.
解 这个问题涉及到复合函数微分法与隐函数微分法.
是自变量,是中间变量(是的函数),
先由 得到
是由方程的的隐函数，在这两个等式两端分别关于求偏导数，得
,
将作为未知数解上述方程组，得到
将这个结果代入前面的式子,得到
.
例5 设有两个可微的三元函数,方程组
(*)
是否表示一条曲线? 如果是一条曲线,那么这条曲线能否整个地表示成 ( 或者 )?
解,(1) 首先,必须至少有一个点满足方程(*).
(2) 其次,如果在点 的行列式满足
则根据隐函数定理,在点的某个邻域中存在两个隐函数,这两个函数在点的某个邻域中定义.于是得到一条曲线 ,
由于有,所以该曲线通过点.
同样地,当 或者时,
方程组(*)可以在某邻域内,确定通过该点的一条曲线
或者
例6 函数由方程确定，求
解,函数关系分析,5 (变量) ( 3 (方程)=2(自变量);
一函 (u),二自( x,y ),二中( z,t )
,
2-4-2 隐函数存在性证明
隐函数存在性定理的结果及证明思路
隐函数定理可以用映射的语言写成统一的形式（隐映射定理），.
定理1 设二元函数在点的某个邻域中有定义，并且满足下列条件：
1.;
2.;
3..
则存在一个以为中心的区间以及在上定义的函数，满足
1.;
2.;
3.
定理证明 定理证明分三步进行.
（1）隐函数的存在性根据条件3，不妨设,由偏导数连续，存在一个以为中心的矩形
，
,,
d F(x,d)>0
F(x,y)=0
y0 F(x0,,y0)=0
F(x,c)<0
c
a x0 b
因此,，固定后,作为的一元函数,是严格单调增加的,
叉因，及
对于的严格单调性推出,
,使得：
,且
,
其中：,
再由的连续性可知,
当充分靠近 时,即,使得仍然有
利用连续函数的介值定理以及对于的严格单调性可知，在区间中存在唯一的，使得.
这样的是由唯一确定的，因此就在上定义了一个函数，这就是由方程确定的隐函数.
由推出.又根据函数的定义方式
可以推出 ,结论1得证.
值得提出的是，如此确定的隐函数，其图形全部处于以为为中心的矩形的之内。
（2）函数在上的连续性首先证明在的连续性.，按上面证法中构造矩形,,使得，
,
这样，,必有,,
即在处连续.
对于，因点与满足同样的条件，即在点满足隐函数定理的所有条件，因此同样地可以证明在点的连续性.
（3）的可微性任取，在对充分小的,显然有
;
,
由二元函数的可微性，有
上式两端同除以得
当时，,注意到
，由上式可得
由于的任意性，这就证明了在上的可微性,及导数公式。
当函数是阶连续可微时，利用以上公式以及复合函数的微分法可以继续对求导，直到阶导数，且各阶导数都是连续的，即.至此定理完全得证.
注：对于存在性还有一种构造性的证明：压缩映像。
先把求隐函数问题先把求隐函数问题看作方程求根：
给定 ,由方程求
求方程 之根
求函数 之不动点构造迭代过程：
验证压缩映像条件：
,
,
上述定理的一个直接推广就是下面的定理定理2 设元函数在点的某个邻域中有定义，并且满足下列条件：
1.;
2.;
3.
则在点=的某邻域上,存在的一个元函数
=，使得下列结论成立：
1．,,.
2．.
3．
由于篇幅的原因,我们略去这个定理的证明细节.
在定理中,当时,有如下几何意义:
假设方程是表示中的一个曲面.一般情形,这个曲面不能整个地表示成.但是这个曲面的某一部分有可能表示成 ,那么曲面在其上哪个点的附近的一小片能够表示成.
定理2中的结果还可以推广到多个方程确定多个隐函数的情形，这就是下面的定理3.
定理3 设在们某个邻域中有个元函数;
,,,,
,它们满足下列条件:
则存在以=的某个邻域上的个元函数
，或
所有这些函数满足如下条件：
;
2.函数在上阶连续可微;
3,
其中为矩阵的行列式,
