曲线 在点（2，1，1）处的法平面之单位法矢量是__________
已知确定函数,求.
[解] , ( )
考查的局部极值.
[解] ,解得驻点
,
,
,,
, 非极值点
5．设，其中函数与 的二阶偏导数连续，求。
解：，
在曲线的所有切线中，与平面平行的切线[ B ]
(A)只有一条。 (B)只有两条。 (C)只有三条。 (D)不存在。
6．二元函数在点处[ C ]
(A) 连续且偏导数存在。 (B)连续但偏导数不存在。
(C) 不连续但偏导数存在。 (D) 不连续且偏导数不存在。
7,已知，试求,
8. 设函数是由方程确定的,则函数 在点的微分( )
9,设，其中在点（0,0）处连续，证明在（0,0）点处可微，并写出全微分 。
10.设 是微分方程定解问题的解，为参数。
写出解 的表达式;
证明在全平面连续且可微。（7分）
[解] 时,由,
时,,因此得到
,
只需讨论关于的连续性与可微性。
,因此连续。
时,
时,
偏导数连续，所以可微。
11,设空间一光滑曲面的方程为,为曲面外的一点.证明：若上的点使得线段是与上任意一点连线的最短线段，则向量必与曲面在该点的切平面垂直。
[证] 考虑极小化问题
方法一：由得
，
所以与正交。（8分）
方法二：
，左边三式相加，得，
即.
12．设,在上连续，在内可微，且满足方程，若在的边界上，试证在上恒为零。
[证] 设在上不恒为零。因为函数在有界闭域上连续，所以
在上存在最大值和最小值，且最大值和最小值不能同时为零。
不妨设最小值，因为在的边界上，于是必有内的点使得，由在内可微，点必为极值点（驻点）。
所以 ，这与，
矛盾！因此在上恒为零。
13,求函数在球面（，，）上的最大值，并证明对任何正数，，成立不等式.
14,设在单连域内可微，且满足，试证明在内无封闭等值面。
15.假设某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是，，其中和分别表示该产品在两个市场的销售（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是，其中。
(1) 如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获最大利润；
(2) 如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使企业总利润最大化，并比较两种策略下的总利润大小。
(1) 本题实际背景有最大值 52万元.
(2)最大利润 万元.结论：差别定价优于统一定价.
16．设，则二重积分等于[ B ]
（A）。 （B）。
（C）。（D）0,
17,把下列各题中的积分化为极坐标形式的二次积分：
(1) (2)
设，则积分_______________,
在极坐标系下的累次积分为________________
20,变换积分次序
（1）
解：求曲线与直线及直线与直线的交点坐标,
由得；由得
因此，。
（2）
解：求曲线与直线及直线与直线的交点坐标，
由得；由得,
因此，
（3）
解：改变积分次序得 ,
21,求由曲面，所围成的体积。
解：
22．设 ，则是的________阶无穷小量，
已知确定函数,求.
[解] , ( )
考查的局部极值.
[解] ,解得驻点
,
,
,,
, 非极值点
5．设，其中函数与 的二阶偏导数连续，求。
解：，
在曲线的所有切线中，与平面平行的切线[ B ]
(A)只有一条。 (B)只有两条。 (C)只有三条。 (D)不存在。
6．二元函数在点处[ C ]
(A) 连续且偏导数存在。 (B)连续但偏导数不存在。
(C) 不连续但偏导数存在。 (D) 不连续且偏导数不存在。
7,已知，试求,
8. 设函数是由方程确定的,则函数 在点的微分( )
9,设，其中在点（0,0）处连续，证明在（0,0）点处可微，并写出全微分 。
10.设 是微分方程定解问题的解，为参数。
写出解 的表达式;
证明在全平面连续且可微。（7分）
[解] 时,由,
时,,因此得到
,
只需讨论关于的连续性与可微性。
,因此连续。
时,
时,
偏导数连续，所以可微。
11,设空间一光滑曲面的方程为,为曲面外的一点.证明：若上的点使得线段是与上任意一点连线的最短线段，则向量必与曲面在该点的切平面垂直。
[证] 考虑极小化问题
方法一：由得
，
所以与正交。（8分）
方法二：
，左边三式相加，得，
即.
12．设,在上连续，在内可微，且满足方程，若在的边界上，试证在上恒为零。
[证] 设在上不恒为零。因为函数在有界闭域上连续，所以
在上存在最大值和最小值，且最大值和最小值不能同时为零。
不妨设最小值，因为在的边界上，于是必有内的点使得，由在内可微，点必为极值点（驻点）。
所以 ，这与，
矛盾！因此在上恒为零。
13,求函数在球面（，，）上的最大值，并证明对任何正数，，成立不等式.
14,设在单连域内可微，且满足，试证明在内无封闭等值面。
15.假设某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是，，其中和分别表示该产品在两个市场的销售（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是，其中。
(1) 如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获最大利润；
(2) 如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使企业总利润最大化，并比较两种策略下的总利润大小。
(1) 本题实际背景有最大值 52万元.
(2)最大利润 万元.结论：差别定价优于统一定价.
16．设，则二重积分等于[ B ]
（A）。 （B）。
（C）。（D）0,
17,把下列各题中的积分化为极坐标形式的二次积分：
(1) (2)
设，则积分_______________,
在极坐标系下的累次积分为________________
20,变换积分次序
（1）
解：求曲线与直线及直线与直线的交点坐标,
由得；由得
因此，。
（2）
解：求曲线与直线及直线与直线的交点坐标，
由得；由得,
因此，
（3）
解：改变积分次序得 ,
21,求由曲面，所围成的体积。
解：
22．设 ，则是的________阶无穷小量，
