第二章 多元函数微分学
第三节 复合函数微分法
2-3 复合函数微分法
2-3-1 复合函数导数公式
2-3-2 方向导数与梯度
第四讲 复合函数微分法课后作业,
阅读：第二章 第三节,pp,40----49
预习：第二章 第四节,pp,50---58
作业,第二章 习题3,pp.49---50,1,(2),(3,(5); 2; 4; 6; 7; 9.
2-3 复合函数微分法
2-3-1 复合函数导数公式任何具体的初等多元函数的偏导数均可由一元函数求导公式解决，例如，
对函数,求是简单的,
在求导中利用了中间变量，
及一元函数的复合函数求导公式,
但是,若要研究像 这 样带一般性结构函数的导数就不是一元复合函数求导公式所能胜任的了。而必须讨论多元函数复合函数微分法则.
复合函数微分法
首先考虑一种最简单的情形,即只有两个自变量,两个中间变量的情形,,
定理 设 二元函数在点处偏导数连续，
二元函数在点处偏导数连续,
并且,则
复合函数在点处可微，且
证明,
因为函数在处可微，
=
=
其中
其中，
求的两个偏导数:
==
=
=
==
同理可证：
==
由对的偏导数和对偏导数的连续性可推知,对两个偏导数创连续性，从而证明了的可微性。
，两点说明关于复合函数求导公式的条件：在证明复合函数求导公式时，定理用的条件是所给函数偏导数连续，即满足函数是的条件；当然可以用比较宽松,但实际上无用的条件：所给函数是可微的。 证明时要用可微的定义，其证明过程长一点，但也没大的难度。
关于复合函数求导公式的矩阵表示：
下面用矩阵关系表示复合函数求导公式:
(1) 二中二自多元复合函数求导公式的矩阵表示
则有：
==
=
因为：
=
=
=
=
(2)中自多元复合函数求导公式的矩阵表示
则有：=
==
= =
(3)中自多元复合向量函数求导公式的矩阵表示
则有：=,因为：
==
=
=
=.
当只有一个自变量时,得到以下重要推论:
推论 设可微，
可微，则
=
例1 已知 ，求.
解 考虑二元函数,，应用推论得
例2 设，二阶连续可微，求.
解 记
则
特别要注意的是：都是的函数，所以
=
=
将以上两式代入前式得
例3 设二阶连续可微，并且满足方程
若令 试确定为何值时能变原方程为：
.
解 将看成自变量，看成中间变量，利用链式法则得
;
;
=
由此可得
=
=
+
只要选取使得
,
.
问题成为方程有两不同实根，即要求：
.
令,,即可。
此时，
已知 ，，
试求 ,并计算.
解 由复合函数微分法得
=
由复合映射的微分法得
=
当时，，于是
由此又可以得到，当时,
例 5 假设是一条空间曲线，它的参数方程为
其中
则由此确定了一个映射.
在任意一点，这个映射的Jacobi矩阵是
这是一个三维列向量.若令
则这是一个由到的线性映射，称这个线性映射为映射在处的微分映射.
映射的像是空间中的一条曲线，其微分映射的像则是空间中的一条直线，两者具有公共点且在此点相切.该直线就是曲线在点的切线.
假设是空间曲面，其参数方程为
是一个的映射,在任意一点，其Jacobi矩阵是
若令
它是由到空间的一个线性映射，称为映射在处的微分映射.
映射的像是空间中的一张曲面，而其微分映射的像则是空间中的一张平面，两者具有公共点且在此点相切.这个平面称为映射(11.2.22)在处的切平面.
2-3-2 方向导数与梯度函数沿一方向上的变化,方向导数方向导数定义：,给定 ,方向,单位向量,若极限 存在,则称之为函数在点，沿的方向导数,记=
方向导数计算,若,给定 ,方向,则
==,
或 =,
其中，,.
证明：,则有，
==
==
=
特别是二、三维空间中,
=
,且。
梯度
定义：,给定 ,向量
,
称为函数在点的梯度,记号是.
性质：,给定 ,向量函数在点，沿的方向导数,是该点梯度在方向上的投影，即
;
设函数在点可微，则其梯度,其方向特性是：
沿梯度方向的方向导数最大,即沿梯度方向函
数增加最快;
沿负梯度方向的方向导数最小,即沿负梯度方向函数减少最快,称为最速下降方向。
其模的特性是：等于该点最大方向导数之值。
证明,取 ;
特别是二、三维空间中:
在中函数的梯度是,
=;
在中函数的梯度是,
=
梯度方向是函数增加最大的方向：以为例
当,
;
而
2-3-3 微分的运算与(一阶)微分形式不变性微分的运算 设,则
=;
=
==
微分形式不变性 设,又,则
=
=
=
=
=
注意：
因为，是的函数，对函数而言一般来说，函数的微分不等于函数的增量,即：,
但是若 ,则有 ,因此在任何情况下，式子
总是正确的，这就叫形式不变性，其实质是复合函数微分公式。
第三节 复合函数微分法
2-3 复合函数微分法
2-3-1 复合函数导数公式
2-3-2 方向导数与梯度
第四讲 复合函数微分法课后作业,
阅读：第二章 第三节,pp,40----49
预习：第二章 第四节,pp,50---58
作业,第二章 习题3,pp.49---50,1,(2),(3,(5); 2; 4; 6; 7; 9.
2-3 复合函数微分法
2-3-1 复合函数导数公式任何具体的初等多元函数的偏导数均可由一元函数求导公式解决，例如，
对函数,求是简单的,
在求导中利用了中间变量，
及一元函数的复合函数求导公式,
但是,若要研究像 这 样带一般性结构函数的导数就不是一元复合函数求导公式所能胜任的了。而必须讨论多元函数复合函数微分法则.
复合函数微分法
首先考虑一种最简单的情形,即只有两个自变量,两个中间变量的情形,,
定理 设 二元函数在点处偏导数连续，
二元函数在点处偏导数连续,
并且,则
复合函数在点处可微，且
证明,
因为函数在处可微，
=
=
其中
其中，
求的两个偏导数:
==
=
=
==
同理可证：
==
由对的偏导数和对偏导数的连续性可推知,对两个偏导数创连续性，从而证明了的可微性。
，两点说明关于复合函数求导公式的条件：在证明复合函数求导公式时，定理用的条件是所给函数偏导数连续，即满足函数是的条件；当然可以用比较宽松,但实际上无用的条件：所给函数是可微的。 证明时要用可微的定义，其证明过程长一点，但也没大的难度。
关于复合函数求导公式的矩阵表示：
下面用矩阵关系表示复合函数求导公式:
(1) 二中二自多元复合函数求导公式的矩阵表示
则有：
==
=
因为：
=
=
=
=
(2)中自多元复合函数求导公式的矩阵表示
则有：=
==
= =
(3)中自多元复合向量函数求导公式的矩阵表示
则有：=,因为：
==
=
=
=.
当只有一个自变量时,得到以下重要推论:
推论 设可微，
可微，则
=
例1 已知 ，求.
解 考虑二元函数,，应用推论得
例2 设，二阶连续可微，求.
解 记
则
特别要注意的是：都是的函数，所以
=
=
将以上两式代入前式得
例3 设二阶连续可微，并且满足方程
若令 试确定为何值时能变原方程为：
.
解 将看成自变量，看成中间变量，利用链式法则得
;
;
=
由此可得
=
=
+
只要选取使得
,
.
问题成为方程有两不同实根，即要求：
.
令,,即可。
此时，
已知 ，，
试求 ,并计算.
解 由复合函数微分法得
=
由复合映射的微分法得
=
当时，，于是
由此又可以得到，当时,
例 5 假设是一条空间曲线，它的参数方程为
其中
则由此确定了一个映射.
在任意一点，这个映射的Jacobi矩阵是
这是一个三维列向量.若令
则这是一个由到的线性映射，称这个线性映射为映射在处的微分映射.
映射的像是空间中的一条曲线，其微分映射的像则是空间中的一条直线，两者具有公共点且在此点相切.该直线就是曲线在点的切线.
假设是空间曲面，其参数方程为
是一个的映射,在任意一点，其Jacobi矩阵是
若令
它是由到空间的一个线性映射，称为映射在处的微分映射.
映射的像是空间中的一张曲面，而其微分映射的像则是空间中的一张平面，两者具有公共点且在此点相切.这个平面称为映射(11.2.22)在处的切平面.
2-3-2 方向导数与梯度函数沿一方向上的变化,方向导数方向导数定义：,给定 ,方向,单位向量,若极限 存在,则称之为函数在点，沿的方向导数,记=
方向导数计算,若,给定 ,方向,则
==,
或 =,
其中，,.
证明：,则有，
==
==
=
特别是二、三维空间中,
=
,且。
梯度
定义：,给定 ,向量
,
称为函数在点的梯度,记号是.
性质：,给定 ,向量函数在点，沿的方向导数,是该点梯度在方向上的投影，即
;
设函数在点可微，则其梯度,其方向特性是：
沿梯度方向的方向导数最大,即沿梯度方向函
数增加最快;
沿负梯度方向的方向导数最小,即沿负梯度方向函数减少最快,称为最速下降方向。
其模的特性是：等于该点最大方向导数之值。
证明,取 ;
特别是二、三维空间中:
在中函数的梯度是,
=;
在中函数的梯度是,
=
梯度方向是函数增加最大的方向：以为例
当,
;
而
2-3-3 微分的运算与(一阶)微分形式不变性微分的运算 设,则
=;
=
==
微分形式不变性 设,又,则
=
=
=
=
=
注意：
因为，是的函数，对函数而言一般来说，函数的微分不等于函数的增量,即：,
但是若 ,则有 ,因此在任何情况下，式子
总是正确的，这就叫形式不变性，其实质是复合函数微分公式。
