第二章 多元函数微分学第二节 偏导数与全微分
2-1偏导数定义与计算
2-2多元函数的微分
2-3微分的几何意义
序
班 级
助教姓名
助教住址
助教电话
1
自21,自22,电机系(7)，
计算机科学系(3)，医学院(6)
张 靖
22--412
62776299
13661167656
2
自23,自24,其他系(15)
张李军
20--309
62775074
3
自25,自26,自27
陈 明
11--115
62776447
13520608666
第三讲 偏导数与全微分课后作业,
复习阅读：第一章 pp,01---21,己在代数中学，请抽时间复习。
阅读：第二章 第二节,pp,29----38
预习：第二章 第二节,pp,40---49
作业,第二章 习题2,pp.39---40,1,(2),(5),(6),(7); 2,(2),(3),(5);
4,(2); 5,(2),(4),(6); 6; 7.
第三讲 多元函数的偏导数与全微分
2-1 偏导数定义与计算
以下讨论，不作特别声明，均以二元函数
,,为对象
(-)多元函数偏导数定义：
(1) 定义,若对,极限
存在，则称此极限值为在点关于(对)的偏导数,
记成,,或。
同样可定义：若 存在，则称此极限值为在点关于(对)的偏导数,记成,,或.
,存在，称之为关于(对)偏导函数,简称关于(对)偏导数；存在，称之为关于(对)偏导函数,简称关于(对)偏导数.
计算举例,
,,
高阶偏导数
(A) 定义：,称为对的二阶偏导数;
称为(对和的)二阶混合偏导数;
类似可定义其他高阶混合偏导数.
(B) 混合偏导数中求导次序的影响,
定理：若二阶混合偏导数连续，则与求导次序无关,即：
.
证明：==
== 其中：
=
=
=
做不下去了！
稍改动一下：令
=
=
=
=
=
2-2 多元函数的微分
(一) 多元函数全微分的定义
多元函数在点的增量
多元函数在点的(全)微分:
若在有定义，且存在不依赖的,使
则称在点可微，并称线性函数为在点的全微分，记成 ,其中，,
(二) 微分的性质：
偏导数存在是可微的必要条件：即
若
在点偏导数存在,
且,
.
证明：
=;
;
偏导数连续是可微的充分条件：即
若在点连续在点可微,
且,
证明：
=
=
=
=
=.
=
因为
(三)中函数,和向量函数
微分的定义
中函数微分的定义,
,若的增量可表示成一个线性函数和高阶无穷小之和,即：,
其中 ,
则称在点可微,
记 ,称为在点的微分。
容易推证,若在点可微,则必有,,
从而有 ,
在点的微分可写成,
=。
若记 ,且称为的梯度(向量),
表的增量。,
则：在点的微分又可写成
关于多元函数可微性的充分条件为,的一阶偏导数连续，记成,另外,若的所有阶偏导数连续，记.
向量函数 微分的定义,,
有两种定义方法：
(1) 一是用数量函数的微分来定义向量函数的微分,若的增量可表示成：,
其中 ,则称在点可微.
称 ,
称为向量函数在点的微分。
称矩阵,,为向量函数的Jacobi矩阵,则在点的微分可写成,
=。
特别注意：
(2) 第二种是仿照数量函数微分定义来定义向量函数的微分
,若的增量可表示成一个线性映射,,( 是矩阵)
和高阶无穷小之和,即：,
其中 ,
则称在点可微,
记 ,称为在点的微分。
容易推证,若在点可微,则必有,
,
从而有 ,
在点的微分
关于向量函数可微性的充分条件则为,的各分量函数的一阶偏导数连续，记成.
2-3 微分的几何意义,
在点可微，
=
上式中正是线性函数,
其几何上是过点的平面;
是过是过点的曲面.
因此，在点可微，
在函数逼近意义下是，在某邻域内，函数
与线性函数
之差是的高阶无穷小；
在几何意义下是，在，曲面与平面
是相切的(较严格的切平面定义以后给出) 。
2-1偏导数定义与计算
2-2多元函数的微分
2-3微分的几何意义
序
班 级
助教姓名
助教住址
助教电话
1
自21,自22,电机系(7)，
计算机科学系(3)，医学院(6)
张 靖
22--412
62776299
13661167656
2
自23,自24,其他系(15)
张李军
20--309
62775074
3
自25,自26,自27
陈 明
11--115
62776447
13520608666
第三讲 偏导数与全微分课后作业,
复习阅读：第一章 pp,01---21,己在代数中学，请抽时间复习。
阅读：第二章 第二节,pp,29----38
预习：第二章 第二节,pp,40---49
作业,第二章 习题2,pp.39---40,1,(2),(5),(6),(7); 2,(2),(3),(5);
4,(2); 5,(2),(4),(6); 6; 7.
第三讲 多元函数的偏导数与全微分
2-1 偏导数定义与计算
以下讨论，不作特别声明，均以二元函数
,,为对象
(-)多元函数偏导数定义：
(1) 定义,若对,极限
存在，则称此极限值为在点关于(对)的偏导数,
记成,,或。
同样可定义：若 存在，则称此极限值为在点关于(对)的偏导数,记成,,或.
,存在，称之为关于(对)偏导函数,简称关于(对)偏导数；存在，称之为关于(对)偏导函数,简称关于(对)偏导数.
计算举例,
,,
高阶偏导数
(A) 定义：,称为对的二阶偏导数;
称为(对和的)二阶混合偏导数;
类似可定义其他高阶混合偏导数.
(B) 混合偏导数中求导次序的影响,
定理：若二阶混合偏导数连续，则与求导次序无关,即：
.
证明：==
== 其中：
=
=
=
做不下去了！
稍改动一下：令
=
=
=
=
=
2-2 多元函数的微分
(一) 多元函数全微分的定义
多元函数在点的增量
多元函数在点的(全)微分:
若在有定义，且存在不依赖的,使
则称在点可微，并称线性函数为在点的全微分，记成 ,其中，,
(二) 微分的性质：
偏导数存在是可微的必要条件：即
若
在点偏导数存在,
且,
.
证明：
=;
;
偏导数连续是可微的充分条件：即
若在点连续在点可微,
且,
证明：
=
=
=
=
=.
=
因为
(三)中函数,和向量函数
微分的定义
中函数微分的定义,
,若的增量可表示成一个线性函数和高阶无穷小之和,即：,
其中 ,
则称在点可微,
记 ,称为在点的微分。
容易推证,若在点可微,则必有,,
从而有 ,
在点的微分可写成,
=。
若记 ,且称为的梯度(向量),
表的增量。,
则：在点的微分又可写成
关于多元函数可微性的充分条件为,的一阶偏导数连续，记成,另外,若的所有阶偏导数连续，记.
向量函数 微分的定义,,
有两种定义方法：
(1) 一是用数量函数的微分来定义向量函数的微分,若的增量可表示成：,
其中 ,则称在点可微.
称 ,
称为向量函数在点的微分。
称矩阵,,为向量函数的Jacobi矩阵,则在点的微分可写成,
=。
特别注意：
(2) 第二种是仿照数量函数微分定义来定义向量函数的微分
,若的增量可表示成一个线性映射,,( 是矩阵)
和高阶无穷小之和,即：,
其中 ,
则称在点可微,
记 ,称为在点的微分。
容易推证,若在点可微,则必有,
,
从而有 ,
在点的微分
关于向量函数可微性的充分条件则为,的各分量函数的一阶偏导数连续，记成.
2-3 微分的几何意义,
在点可微，
=
上式中正是线性函数,
其几何上是过点的平面;
是过是过点的曲面.
因此，在点可微，
在函数逼近意义下是，在某邻域内，函数
与线性函数
之差是的高阶无穷小；
在几何意义下是，在，曲面与平面
是相切的(较严格的切平面定义以后给出) 。
