1设,计算:.
解：



。
2．求球面 被平面 所夹部分的面积。
解：球面 与平面 的交线为
和 
即和 
上半球面的方程为
,，
于是，

3．计算
解：注意到，令 

4．设为恒大于零的连续函数，证
证：

同理 
所以 


5．设由曲面和曲面所围成，将
化成三类坐标系下的三次积分。
直角坐标系

柱坐标系

球坐标系


6．用两种方法计算
方法1,由对称性 

于是 
法2,的重心坐标在
所以
于是 
7,设在区间上连续，证
证 设 







8,求,其中
解：交换积分次序

在中，令 得
，又（积分中值定理）
于是 。
9．用两种方法计算，其中 。
[解] 利用函数与域的对称性，
用柱坐标：
。
。
用球坐标：

。
10．设函数连续且恒大于零，
，
其中
讨论在区间内的单调性。
证明当时，
(1) 
。
（2）因 ，所以只需证时
，即，
令，
则 ，所以当时在又在连续，当有。。
11,求三重积分:
,其中
.
解：由函数与域的对称性；
=
球坐标系,;
柱坐标系,;
直角坐标系,
先对积分,
12,设,,
是半径为，球心在原点的球面所围成之域，
且,,
证明,,
其中，；是域的体积,。
证,;

 
;
即,
13,证明；,,
y
a r
证明：



由,得
由此得 
;
即：.
以上题目选用,出一个求空间曲面面积和第一型曲面积分的题目。