第七章 定积分
( The definite integration )
7-1定积分概念与性质
7-2 可积性与可积函数类
6-3 Newton－Leibniz公式
7-4 定积分的计算方法
7-4-1 变量置换法
7-4-2 分部积分法
7-4-3 计算举例积分
7-5 定积分的应用
7-5-1 定积分应用的两种思想
7-5-2 定积分在几何方面的应用
7-5-3 定积分在物理方面的应用
7-6 广义积分
7-6-1 在无穷区间上的广义积分
7-6-2 在无穷区间上的广义积分
7-6-3 应用
第十九讲 定积分的计算课后作业,
阅读：第七章 7.5,pp263---268;
预习：7.6,pp269---285; 7.7,pp.288---295
练习 pp.268---269,习题 7.5
习题 1,(1),(2),(3),(5),(6); 2,(1),(2),(3),(5),(7);
3,(1),(2);
作业,pp.268---269,习题 7.5
习题 1,(4),(7),(8),(9),(10); 2,(4),(6),(8),(9),(10);
4; 5; 6
7-4 定积分的计算方法
7-4-1 变量置换法
定理：设(连续),如果函数满足下列条件：
在上连续可导,且;
;
则 .
由于保证了两边被积函数的连续性，因而直接利用N--L公式即可证
明。
定理：设(可积),如果函数满足下列条件：
(1) 在上连续可导,且单调 ;
(2) ;
则 .
这个证稍麻烦，要把两边化成积分和,对用有限增量公式来证明，有兴趣者可尝试之。
例 1,证明,若,则.
证：令 ,,
=
=
.
求,
=
例2,若,求极限
.
解：=
==
=
例3,若函数是以为周期的可积周期函数,证明：
(1) ,;
(2) 研究函数是否也是周期函数？
证明：
(1) 
做变换：,
;

=.
(2)  是否是周期函数，要看

是否成立。而
.
结论是：若,则是周期函数。
若,因为,
这样函数是周期函数，且有
;
则 是周期函数。这样：
,
.
7-4-2 分部积分法由不定积分的分部积分到定积分的分部积分没有什么特别之处，只是可随式的推导及时代入积分限即可,

对于分部积分的计算同样有三种情形：化简型；循环型及递推型。特别是递推型用得多。
例4 计算
解,先求的原函数.令,则,于是

于是

例5 计算=
=
=

例6,计算
解,
=
=.
,,.
可证,.

==
,,
=
例7,台劳公式的积分形式,

=
=
=
=
若连续则有：

=.
远正是台劳公式的Lagrange佘项