第六章 常微分方程
6-3高阶线性方程
6-3-1 高阶线性常系数方程的解
6-3-2 Euler方程
第二十三讲 高阶线性常系数阶线性方程
6-3-1 高阶线性常系数齐次方程的解
考察阶线性常系数齐次方程
其中为实常数.
或记成
由上一段的讨论知道,方程在区间有个线性无关解,
通解是这些解的线性组合。
特征方程：
若有形如的解，则必须是代数方程
=
之根。
这个代数方程称为微分方程的特征方程(characteristic equation),特征方程的根称为特征根,
.特征根与方程解的对应关系.
先以二阶为例说明结果：
微分方程,
特征方程：
(1),是特征方程的不等实根,
则 是方程的两个无关解.
(2),是特征方程的重根;
则 是方程的两个无关解.
(3),是特征方程的一对共轭复根,
则 是方程的两个无关解.
其中用到结果,
设,定义它的导数为
.
如果复值函数 是齐次方程的解,则
实部和虚部都是的实解.
欧拉公式：
对阶方程
(1),设是特征方程的实根,
则是方程的实解.
(2) 设是特征方程的一对单重复根,
则是方程的两个无关实解.
(3),设是特征方程的 重实根,
则是方程的个无关实解.
(4),设 是特征方程的一对 重复根,
则
是方程的2个无关实解.
由此可知：对应特征方程的个根，包括重根,均能得到方程的个线性无关解.
例1:设为实数,求方程的通解.
解,特征方程为.
1.,此时特征方程有一对单重复根 ,方程有两个无关解
.
因此方程的通解为 .
2,,此时特征方程有一个二重根 ,方程有两个线性无关解
,于是方程为.
3,,时特征方程有两个单重根 ,方程有两个线性无关解
,且方程通解为 .
例2,求方程 的通解.
解,特征方程为,它有四个单根.
该方程有四个线性无关解.
因此方程通解为 .
例3,求方程通解.
解,特征方程 有一个三重根,
于是方程有三个线性无关解,
所以通解为
.
例4:求方程通解.
解:特征方程.它有一对二重复根.
于是该方程有四个线性无关解.
所以通解为
.
6-3-2 高阶线性常系数非齐次方程的解
现在讨论线性常系数非齐次方程
其中为实常数,是已知连续函数.
方程可记成：.
若相应的齐次方程 的一般解是：,因此,如果又能够求得的一个特解,就能够写出其通解:
一般情况下可以用常数变异法根据的通解求出 的一个特解,但对于 右端函数 属于某些简单类型时,可以用观察侍定方法求非齐次的一个特解,下面我们以二阶方程为例说明这种方法,对于高阶方程也可以类似地求解.
考察二解线性常系数方程
=
假定右端函数具有形式
其中是的一个多项式.
比较系数法的出发点是假定方程有一个形如
的解,其中是的一个多项式,问题是如何确定的次数和系数.
根据解的概念,将 代入方程,
只要的系数设定适当，通过比较两端的多项式的系数就可以最后求出,从而求出非齐次的一个特解.
由(3.19)得到
将 代入方程,得
(*)
下面分三种情形讨论.
(1) 当不是特征根时,即
(*) 左端是 一个次数与相同的多项式,于是为了使(*) 两端多项
式次数相等, 应当是一个与次数相同的多项式.
(2),当是特征根,但非重根时,即 ,
(*) 左端是 一个次数与相同的多项式,于是为了使(*) 两端多
项式次数相等,应当是一个比次数高一次的多项式,
此时可以取
,
这里是一个次数与相同的多项式.
(3),当是特征堇根时,即 ,
(*) 左端是 ,于是为了使(*) 两端多项式次数相等,
应当是一个比次数高二次的多项式,
此时可以取
,
例5:求方程的通解.
解,间方程写作 ,
因为是特征方程的单根,所以应当寻找方程形如
的特解.将这个解代入原方程得到
比较两端同次项的系数得到
.
解这个方程组得到,从而得到原方程的一个特解
.
又求得相应的齐次方程的通解
.所以方程通解为
.
例6,解方程.
解,是特征方程的重根,设特解为
将这个解代入方程得到,
比较系数得到,于是得到方程的一个特解,
相应地齐次方程的通解是,因此原方程的通解为
.
例7:解方程 ,
解1:考虑方程
这个方程的解是复值函数,其实部就是题设方程的解,
现在首先求解方程,由于虚数不是
特征方程的根,所以对于此方程 应当寻求形如
的特解(为实常数).将这个解,比较系数,得到
.
由此得到,于是求出
的一个特解为
.
它的实部,就是题设的一个特解,
另外又求得相应的齐次方程的通解,,
因此所求之的通解为 .
解2,形如
(其中为多项式,为常数.)的方程,
可以直接用比较系数法求解
例8:求方程
(3.25)
其中为常数.
解:此方程对应的齐次方程的通解为
.
1,.
2,若,则是特征根,并且是单重根,此时,从而方程通解是
.
例9:求方程的一个特解.
解:考察以下两个方程:
,.
用比较系数法分别求出这两个方程的特解:.于是这两个解之和就是原方程的一个解:
:.
6-3-2 Euler方程形如
的方程称为Euler(欧拉)方程.其中为常数,
从解的存在唯一性条件看,对于这种方程,由于系数分别在和中连续，因此应当分别考虑和的情形,为方便计，我们只考虑的情形。且以二阶为例:
.
观察待定法由方程特点观察，方程可能有形如幂函数的解，可令解为：,再代入方程,得：,
特征方程：
特征根与解的对应关系：
单实根：;
实重根,
共轭复根：
变量置换法从前面结果可以看到，若作代换,可以将上述方程化为未知函数的常系数方程,因为：
;
.
代入原方程,即可得：
.
例12:解方程.
解
.
于是方程通解为即
.
6-3-3 曲线簇的微分方程
6-3-4 振动问题
设一质量等于的小球 被弹簧吊着，从平衡状况开始,在空气中作垂直方向的振动,
用表示质点 在时刻的位置,
质点 在运动过程中受到两个力的作用,
弹簧恢复力,与位移成正比,方向与位移相反的力(为常数);
力是空气阻力,它与速度成正比,方向相反,(是常数).
又假定弹簧在运动过程中受到沿轴方向的外力作用,
由Newton第二定律得到弹簧的运动方程为
为了讨论方便,我们将上述方程改写成下面的形式:
除了弹簧振动外,许多运动,例如钟摆的往复运动,机械振动,电路振荡都可以用这个方程作为其数学模型.有无外力,我们分为几种情形讨论.
(一),自由振动,即无外力作用()
1,无阻尼自由振动
当阻尼系数时,有.此时方程(4.29)变成
其通解为或者
因此,不论初始位置和初始速度是什么,运动规律总是一个正弦函数.其周期等于,振动频率与初始位置和初始速度无关.和分别是振幅和初始位相,(它们由初始位置和初始速度决定).
2.有阻尼自由振动
当阻尼系数时,,方程 (3.30)变成
其特征方程为,特征根为.这时又可以分三种情况:
(1)小阻尼自由振动:.此时特征根为,其中.因此 的通解为
上式表明,这是一个随时间增长而衰减的振动,其中周围仍然与初值无关.
(2) 临界阻尼振动,.此时特征根为,方程 的通解为
其中.由(4.34)知道,此时是一个衰减运动,不发生振动.
(3)大阻尼自由振动:.此时两个相异特征根均为负数,方程(3.32)通解为
因此这时仍然是衰减运动,不发生振动.
(二),强迫振动,即不恒等于零.通常 假定弹簧只受到周期外力
的作用.
1.无阻尼强迫振动
此时方程(3.29)变成
并且方程的通解为.这时又可以分为三种情形考虑:
当即外加频率不同于固有频率时,用待定系数法可求得一个特解
,
因此通解为
.
这是一个由固有振动(齐次方程通解)和外力迭加而成的有界振动.
(2)当 即外加频率等于于固有频率时,用待定形式解
通过比较系数法得到一个特解为
.
于是方程通解为
由此可以看出,虽然外力是有界的,但是的振动却是无界的,因为当,式中的右端第二项的振幅趋向于无穷大,这就是物理学中著名的共振现象,即小的外力导致大的振动.
2.有阻尼强迫振动
我们仅讨论小阻尼情形:.此外方程变成
,
并且)相应的齐次方程的通解为
.
又用比较系数法得到非齐次的一个特解
,
其中
若令
,.
则的通解为
.
因此解仍然是振动的,它由两部分组成:式 中第一项为固有的衰减振动;
第二项为周期外力引起的周期振动.
不难验证,当外加力的频率为时,外加力产生的强迫振幅最大,即这时有.
6-3高阶线性方程
6-3-1 高阶线性常系数方程的解
6-3-2 Euler方程
第二十三讲 高阶线性常系数阶线性方程
6-3-1 高阶线性常系数齐次方程的解
考察阶线性常系数齐次方程
其中为实常数.
或记成
由上一段的讨论知道,方程在区间有个线性无关解,
通解是这些解的线性组合。
特征方程：
若有形如的解，则必须是代数方程
=
之根。
这个代数方程称为微分方程的特征方程(characteristic equation),特征方程的根称为特征根,
.特征根与方程解的对应关系.
先以二阶为例说明结果：
微分方程,
特征方程：
(1),是特征方程的不等实根,
则 是方程的两个无关解.
(2),是特征方程的重根;
则 是方程的两个无关解.
(3),是特征方程的一对共轭复根,
则 是方程的两个无关解.
其中用到结果,
设,定义它的导数为
.
如果复值函数 是齐次方程的解,则
实部和虚部都是的实解.
欧拉公式：
对阶方程
(1),设是特征方程的实根,
则是方程的实解.
(2) 设是特征方程的一对单重复根,
则是方程的两个无关实解.
(3),设是特征方程的 重实根,
则是方程的个无关实解.
(4),设 是特征方程的一对 重复根,
则
是方程的2个无关实解.
由此可知：对应特征方程的个根，包括重根,均能得到方程的个线性无关解.
例1:设为实数,求方程的通解.
解,特征方程为.
1.,此时特征方程有一对单重复根 ,方程有两个无关解
.
因此方程的通解为 .
2,,此时特征方程有一个二重根 ,方程有两个线性无关解
,于是方程为.
3,,时特征方程有两个单重根 ,方程有两个线性无关解
,且方程通解为 .
例2,求方程 的通解.
解,特征方程为,它有四个单根.
该方程有四个线性无关解.
因此方程通解为 .
例3,求方程通解.
解,特征方程 有一个三重根,
于是方程有三个线性无关解,
所以通解为
.
例4:求方程通解.
解:特征方程.它有一对二重复根.
于是该方程有四个线性无关解.
所以通解为
.
6-3-2 高阶线性常系数非齐次方程的解
现在讨论线性常系数非齐次方程
其中为实常数,是已知连续函数.
方程可记成：.
若相应的齐次方程 的一般解是：,因此,如果又能够求得的一个特解,就能够写出其通解:
一般情况下可以用常数变异法根据的通解求出 的一个特解,但对于 右端函数 属于某些简单类型时,可以用观察侍定方法求非齐次的一个特解,下面我们以二阶方程为例说明这种方法,对于高阶方程也可以类似地求解.
考察二解线性常系数方程
=
假定右端函数具有形式
其中是的一个多项式.
比较系数法的出发点是假定方程有一个形如
的解,其中是的一个多项式,问题是如何确定的次数和系数.
根据解的概念,将 代入方程,
只要的系数设定适当，通过比较两端的多项式的系数就可以最后求出,从而求出非齐次的一个特解.
由(3.19)得到
将 代入方程,得
(*)
下面分三种情形讨论.
(1) 当不是特征根时,即
(*) 左端是 一个次数与相同的多项式,于是为了使(*) 两端多项
式次数相等, 应当是一个与次数相同的多项式.
(2),当是特征根,但非重根时,即 ,
(*) 左端是 一个次数与相同的多项式,于是为了使(*) 两端多
项式次数相等,应当是一个比次数高一次的多项式,
此时可以取
,
这里是一个次数与相同的多项式.
(3),当是特征堇根时,即 ,
(*) 左端是 ,于是为了使(*) 两端多项式次数相等,
应当是一个比次数高二次的多项式,
此时可以取
,
例5:求方程的通解.
解,间方程写作 ,
因为是特征方程的单根,所以应当寻找方程形如
的特解.将这个解代入原方程得到
比较两端同次项的系数得到
.
解这个方程组得到,从而得到原方程的一个特解
.
又求得相应的齐次方程的通解
.所以方程通解为
.
例6,解方程.
解,是特征方程的重根,设特解为
将这个解代入方程得到,
比较系数得到,于是得到方程的一个特解,
相应地齐次方程的通解是,因此原方程的通解为
.
例7:解方程 ,
解1:考虑方程
这个方程的解是复值函数,其实部就是题设方程的解,
现在首先求解方程,由于虚数不是
特征方程的根,所以对于此方程 应当寻求形如
的特解(为实常数).将这个解,比较系数,得到
.
由此得到,于是求出
的一个特解为
.
它的实部,就是题设的一个特解,
另外又求得相应的齐次方程的通解,,
因此所求之的通解为 .
解2,形如
(其中为多项式,为常数.)的方程,
可以直接用比较系数法求解
例8:求方程
(3.25)
其中为常数.
解:此方程对应的齐次方程的通解为
.
1,.
2,若,则是特征根,并且是单重根,此时,从而方程通解是
.
例9:求方程的一个特解.
解:考察以下两个方程:
,.
用比较系数法分别求出这两个方程的特解:.于是这两个解之和就是原方程的一个解:
:.
6-3-2 Euler方程形如
的方程称为Euler(欧拉)方程.其中为常数,
从解的存在唯一性条件看,对于这种方程,由于系数分别在和中连续，因此应当分别考虑和的情形,为方便计，我们只考虑的情形。且以二阶为例:
.
观察待定法由方程特点观察，方程可能有形如幂函数的解，可令解为：,再代入方程,得：,
特征方程：
特征根与解的对应关系：
单实根：;
实重根,
共轭复根：
变量置换法从前面结果可以看到，若作代换,可以将上述方程化为未知函数的常系数方程,因为：
;
.
代入原方程,即可得：
.
例12:解方程.
解
.
于是方程通解为即
.
6-3-3 曲线簇的微分方程
6-3-4 振动问题
设一质量等于的小球 被弹簧吊着，从平衡状况开始,在空气中作垂直方向的振动,
用表示质点 在时刻的位置,
质点 在运动过程中受到两个力的作用,
弹簧恢复力,与位移成正比,方向与位移相反的力(为常数);
力是空气阻力,它与速度成正比,方向相反,(是常数).
又假定弹簧在运动过程中受到沿轴方向的外力作用,
由Newton第二定律得到弹簧的运动方程为
为了讨论方便,我们将上述方程改写成下面的形式:
除了弹簧振动外,许多运动,例如钟摆的往复运动,机械振动,电路振荡都可以用这个方程作为其数学模型.有无外力,我们分为几种情形讨论.
(一),自由振动,即无外力作用()
1,无阻尼自由振动
当阻尼系数时,有.此时方程(4.29)变成
其通解为或者
因此,不论初始位置和初始速度是什么,运动规律总是一个正弦函数.其周期等于,振动频率与初始位置和初始速度无关.和分别是振幅和初始位相,(它们由初始位置和初始速度决定).
2.有阻尼自由振动
当阻尼系数时,,方程 (3.30)变成
其特征方程为,特征根为.这时又可以分三种情况:
(1)小阻尼自由振动:.此时特征根为,其中.因此 的通解为
上式表明,这是一个随时间增长而衰减的振动,其中周围仍然与初值无关.
(2) 临界阻尼振动,.此时特征根为,方程 的通解为
其中.由(4.34)知道,此时是一个衰减运动,不发生振动.
(3)大阻尼自由振动:.此时两个相异特征根均为负数,方程(3.32)通解为
因此这时仍然是衰减运动,不发生振动.
(二),强迫振动,即不恒等于零.通常 假定弹簧只受到周期外力
的作用.
1.无阻尼强迫振动
此时方程(3.29)变成
并且方程的通解为.这时又可以分为三种情形考虑:
当即外加频率不同于固有频率时,用待定系数法可求得一个特解
,
因此通解为
.
这是一个由固有振动(齐次方程通解)和外力迭加而成的有界振动.
(2)当 即外加频率等于于固有频率时,用待定形式解
通过比较系数法得到一个特解为
.
于是方程通解为
由此可以看出,虽然外力是有界的,但是的振动却是无界的,因为当,式中的右端第二项的振幅趋向于无穷大,这就是物理学中著名的共振现象,即小的外力导致大的振动.
2.有阻尼强迫振动
我们仅讨论小阻尼情形:.此外方程变成
,
并且)相应的齐次方程的通解为
.
又用比较系数法得到非齐次的一个特解
,
其中
若令
,.
则的通解为
.
因此解仍然是振动的,它由两部分组成:式 中第一项为固有的衰减振动;
第二项为周期外力引起的周期振动.
不难验证,当外加力的频率为时,外加力产生的强迫振幅最大,即这时有.
