1,若方程的一个特解为,则该方程满足初值条件的特解为( )
答案
解,将代入方程求出函数,再求解方程得到正确答案为,也可以作如下分析:一阶线性齐次方程
任意两个解只差一个常数因子,所以三个选项都不是该方程的解.
2,微分方程的通解是( )
答案
解,直接看出是方程的一个特解,是相应的齐次方程的通解,因此应当选.
3,设二阶线性齐次常系数微分方程的每一个解在区间有界,则实数的取值范围是( )
答案
解,考察任意一个二阶线性齐次常系数微分方程.欲使该方程的每一个解都有界,充分必要条件是:该方程的特征根
的实部小于或者等于零.
对于方程,特征根为
当且仅当时,两个特征根的实部都小于或者等于零.于是答案为.
4,微分方程的一个特解是( )
答案
解,微分方程的特解等于下列两个微分方程,
,
的特解之和.
根据有关的原理,非齐次微分方程具有形如的特解; 非齐次微分方程具有形如的特解.因此非齐次微分方程具有形如的特解.于是应当选.
5 设是二阶线性齐次微分方程的两个特解.问能够由的线性组合构成该方程的通解的充分必要条件为:
答案
解题思路,考虑的朗斯基行列式.
解法1 作为二阶线性齐次微分方程两个解,的线性组能否构成该方程的通解,充分必要条件是这两个函数线性无关;另一方面,这两个函数线性无关的充分必要条件是它们的朗斯基行列式
恒等于零(也等价于朗斯基行列式至少在一点等于零).这就是选项.
解法2 如果有的读者不熟悉朗斯基行列式,可以按照下述方法直接考察是否线性无关,即是否存在常数,使得.
如果线性相关,则存在常数 使得
(因为是齐次方程,所以都是方程的解.因此如有必要,可以改变的符号,使)即
两端求导数得到
(*)
这与冲突.所以条件能推出线性无关,因而是问题的充分条件
反之若线性无关,则,即求导数得到
由此立即得到.因此也是线性无关的必要条件.
6,验证与是二阶微分方程的两个解.问由的线性组合能否构成该方程的通解?
解,不能!虽然两个解与线性无关,但是由于这个方程不是线性方程,所以的线性组合不能构成该方程的通解.
7,(91209) 求微分方程的通解.
解题思路,在用比较系数法求该方程的特解时,注意此方程右端是两个函数和之和,所以需要分别求出方程的特解和的特解,然后得到原方程的一个特解.
解:
首先求出对应的齐次方程的通解:.
然后用比较系数法求非齐次方程的特解,因为不是特征根,所以该方程具有形如的特解,将其代入方程求出.
再用比较系数法求非齐次方程的特解.由于纯虚数是特征根,所以该方程具有形如的特解,将其代入方程求出,所以.
因此原方程的一个特解为,原方程的通解是
8,(97205) 设是某个二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程.
解题思路,设所求方程为 .先求,即确定齐次微分方程..由题目所给的非齐次微分方程的三个解可以求出齐次微分方程的两个解,进而确定,然后求.
解,题目所给的非齐次微分方程的三个解求出齐次方程的两个解,
于是特征方程两个根为,由此确定.于是所求方程为 .将非齐次微分方程的解代入方程(用代入亦可)得.
9,已知二阶线性非齐次微分方程 的三个特解为
,试求方程满足初值条件的特解.
解题思路,根据线性微分方程解的理论,非齐次微分方程的通解可以表示为
题目已经给出非齐次方程的特解,剩下的问题是求出齐次微分方程的两个线性无关解,以构成齐次方程的通解.
解,根据线性微分方程解的理论,非齐次微分方程的任意两个解之差是齐次微分方程的解.因此立即得到齐次微分方程的两个解:,可以验证这两个解线性无关解,于是齐次微分方程的通解是
非齐次微分方程的通解是
利用初值条件可以求出.于是所求特解为
10,(94109) 设全微分方程,其中有二阶连续导数且.求以及全微分方程的通解.
解题思路,这是一到综合题,其中涉及到全微分和二阶线性常系数方程.如果是某个二元函数的全微分,那么必有.由这个条件可以推出满足的微分方程,然后利用题目给出的初值条件求解微分方程,得到.
解,.
由于是某个二元函数的全微分,所以,即有
由此满足的微分方程:
齐次方程的通解为.又用比较系数法求的非齐次方程的一个特解.因此方程的通解是
利用题目给出的初值条件可以得到.于是
11,设有二阶连续导数,并满足方程,求.
解题思路,这是一个关于未知函数的积分方程,方程两端分别求导数,就得到关于未知函数的微分方程.
解,方程两端求导得到
(1)
再求导数得到
(2)
由(1)式推出
代入(2)式得到
显然.又在(1)式中令,得到,于是原积分方程化为二阶微分方程的初值问题:
(3)
方程通解为
(4)
由可以得到.
两端求导得到
(5)
再由可以得到
于是
12,设，其中连续，求
解 对两边求导，得
(*)
两端再求导得到
,即
齐次方程的通解是
非齐次方程
的特解应具有形式
用待定系数法求出得出其特解为
所以方程的通解为
由的表达式直接看出,又有的表达式(*)看出.代入初值条件得到,于是.
注释,上述例11和例12类型的问题属于常见题型,这类问题的基本方法是通过微分将积分方程化为微分方程,然后求解微分方程得到未知函数.但是有一点需要提醒读者注意,为了获得未知函数的表达式,求解微分方程需要初值条件.一般来说,初值条件不需要另外附加,而是通过积分方程本身获取.
13,(89103) 设线性无关的函数都是微分方程的解.则此微分方程的通解为( )(为任意常数)
14,(95203) 微分方程 的通解为( )
15,(87108) 求微分方程的通解(.
解,相应的齐次方程的特征方程是
三个特征根是
于是齐次方程的通解为
因为原方程右端函数为,是单重特征根,所以设原方程有特解
将这个解代入原方程得到
于是原方程的通解为
答案
解,将代入方程求出函数,再求解方程得到正确答案为,也可以作如下分析:一阶线性齐次方程
任意两个解只差一个常数因子,所以三个选项都不是该方程的解.
2,微分方程的通解是( )
答案
解,直接看出是方程的一个特解,是相应的齐次方程的通解,因此应当选.
3,设二阶线性齐次常系数微分方程的每一个解在区间有界,则实数的取值范围是( )
答案
解,考察任意一个二阶线性齐次常系数微分方程.欲使该方程的每一个解都有界,充分必要条件是:该方程的特征根
的实部小于或者等于零.
对于方程,特征根为
当且仅当时,两个特征根的实部都小于或者等于零.于是答案为.
4,微分方程的一个特解是( )
答案
解,微分方程的特解等于下列两个微分方程,
,
的特解之和.
根据有关的原理,非齐次微分方程具有形如的特解; 非齐次微分方程具有形如的特解.因此非齐次微分方程具有形如的特解.于是应当选.
5 设是二阶线性齐次微分方程的两个特解.问能够由的线性组合构成该方程的通解的充分必要条件为:
答案
解题思路,考虑的朗斯基行列式.
解法1 作为二阶线性齐次微分方程两个解,的线性组能否构成该方程的通解,充分必要条件是这两个函数线性无关;另一方面,这两个函数线性无关的充分必要条件是它们的朗斯基行列式
恒等于零(也等价于朗斯基行列式至少在一点等于零).这就是选项.
解法2 如果有的读者不熟悉朗斯基行列式,可以按照下述方法直接考察是否线性无关,即是否存在常数,使得.
如果线性相关,则存在常数 使得
(因为是齐次方程,所以都是方程的解.因此如有必要,可以改变的符号,使)即
两端求导数得到
(*)
这与冲突.所以条件能推出线性无关,因而是问题的充分条件
反之若线性无关,则,即求导数得到
由此立即得到.因此也是线性无关的必要条件.
6,验证与是二阶微分方程的两个解.问由的线性组合能否构成该方程的通解?
解,不能!虽然两个解与线性无关,但是由于这个方程不是线性方程,所以的线性组合不能构成该方程的通解.
7,(91209) 求微分方程的通解.
解题思路,在用比较系数法求该方程的特解时,注意此方程右端是两个函数和之和,所以需要分别求出方程的特解和的特解,然后得到原方程的一个特解.
解:
首先求出对应的齐次方程的通解:.
然后用比较系数法求非齐次方程的特解,因为不是特征根,所以该方程具有形如的特解,将其代入方程求出.
再用比较系数法求非齐次方程的特解.由于纯虚数是特征根,所以该方程具有形如的特解,将其代入方程求出,所以.
因此原方程的一个特解为,原方程的通解是
8,(97205) 设是某个二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程.
解题思路,设所求方程为 .先求,即确定齐次微分方程..由题目所给的非齐次微分方程的三个解可以求出齐次微分方程的两个解,进而确定,然后求.
解,题目所给的非齐次微分方程的三个解求出齐次方程的两个解,
于是特征方程两个根为,由此确定.于是所求方程为 .将非齐次微分方程的解代入方程(用代入亦可)得.
9,已知二阶线性非齐次微分方程 的三个特解为
,试求方程满足初值条件的特解.
解题思路,根据线性微分方程解的理论,非齐次微分方程的通解可以表示为
题目已经给出非齐次方程的特解,剩下的问题是求出齐次微分方程的两个线性无关解,以构成齐次方程的通解.
解,根据线性微分方程解的理论,非齐次微分方程的任意两个解之差是齐次微分方程的解.因此立即得到齐次微分方程的两个解:,可以验证这两个解线性无关解,于是齐次微分方程的通解是
非齐次微分方程的通解是
利用初值条件可以求出.于是所求特解为
10,(94109) 设全微分方程,其中有二阶连续导数且.求以及全微分方程的通解.
解题思路,这是一到综合题,其中涉及到全微分和二阶线性常系数方程.如果是某个二元函数的全微分,那么必有.由这个条件可以推出满足的微分方程,然后利用题目给出的初值条件求解微分方程,得到.
解,.
由于是某个二元函数的全微分,所以,即有
由此满足的微分方程:
齐次方程的通解为.又用比较系数法求的非齐次方程的一个特解.因此方程的通解是
利用题目给出的初值条件可以得到.于是
11,设有二阶连续导数,并满足方程,求.
解题思路,这是一个关于未知函数的积分方程,方程两端分别求导数,就得到关于未知函数的微分方程.
解,方程两端求导得到
(1)
再求导数得到
(2)
由(1)式推出
代入(2)式得到
显然.又在(1)式中令,得到,于是原积分方程化为二阶微分方程的初值问题:
(3)
方程通解为
(4)
由可以得到.
两端求导得到
(5)
再由可以得到
于是
12,设，其中连续，求
解 对两边求导，得
(*)
两端再求导得到
,即
齐次方程的通解是
非齐次方程
的特解应具有形式
用待定系数法求出得出其特解为
所以方程的通解为
由的表达式直接看出,又有的表达式(*)看出.代入初值条件得到,于是.
注释,上述例11和例12类型的问题属于常见题型,这类问题的基本方法是通过微分将积分方程化为微分方程,然后求解微分方程得到未知函数.但是有一点需要提醒读者注意,为了获得未知函数的表达式,求解微分方程需要初值条件.一般来说,初值条件不需要另外附加,而是通过积分方程本身获取.
13,(89103) 设线性无关的函数都是微分方程的解.则此微分方程的通解为( )(为任意常数)
14,(95203) 微分方程 的通解为( )
15,(87108) 求微分方程的通解(.
解,相应的齐次方程的特征方程是
三个特征根是
于是齐次方程的通解为
因为原方程右端函数为,是单重特征根,所以设原方程有特解
将这个解代入原方程得到
于是原方程的通解为
