第六章 常微分方程
6-4线性微分方程组
6-4-1 微分方程组解的一般概念
6-4-2 线性方程组解的结构
6-4-3线性常系数方程组的解期终考试时间：
六月三十日星期一下午2:30---4:30
答疑时间：6月27(星期五)、6月28日(星期六) 上、下午
6月30日(星期一)上午上午8:300---11:00; 下午3:00---5:00
答疑地点,三教1106
考试教室分配：
序
班 级
考试教室
监考老师
1
自21,自22,(42)
五教5101
谭泽光
2
自23,自24,(46)
五教5102
张李军
3
自25,自26,(45)
五教5103
陈 明
4
自27(23),电机系(7)，医学院(6)
计算机科学系(3)，其他系(15)
五教5104
张 靖
第二十四讲 线性方程组
6-4-1 微分方程组解的一般概念微分方程组的一般形式与解的概念例1：导弹打飞机：
设飞机飞行轨道已知：,速度为,
导弹的位置是，已知其速度是,根据导弹的速度方向时刻指向飞机的条件，由运动学可得方程：
,
或者,,
例2：人造卫星运用轨迹：利用动力学第二定理：
设卫星运行位置向量：,质量是,
则方程为, ,
diff-equA.nb
微分方程组的一般形式
若记 ,,
则方程组可简写成,
微分方程组的解方程的解是一元向量函数 ,代入方程,在区间内使之成为恒等式,即,.
初值问题：
对初值问题解的存在、唯一性定理：
初值问题：,若满足下列条件：
在点的某一个邻域内连续;
在邻域内,偏导数
,
有界。
则存在唯一的解满足方程和初值。
微分方程组的的求解问题利用消元法，将方程组化成高阶方程,
该法在原则上可行，但在具体问题上不一定能做到。
以二个方程为例 ,
从第一个方程中解出 ,代入第二个方程,
某些特殊方法，如可积组合。
相平面法,如 中，考察以为直角坐标的二维空间中,的曲线，这个空间称为相空间.;这种曲线称为相轨线。
6-4-2 线性方程组及其解的结构线性方程组的一般形式：
线性非齐次方程组,
线性齐次方程组
其中 ,
解的存在唯一性：
设矩阵函数和 向量值函数 在区间上连续,,
则对于任意的,初值问题
在区间上有唯一解.
向量函数的线性无关性
定义 (向量值函数的相关与无关) 设
是定义在区间上的个向量值函数,如果存在不全为零的个常数,使得
则称这个向量值函数在区间上线性相关,否则为线性无关.
无关性判断,若向量值函数 构成的行列式
(称为Wronski(朗斯基)行列式),在区间上不恒等零,则线性无关。
齐次方程的解集合是一个线性空间.其维数等于。
如果求得方程的一个基本解组:
,
则 通解的就可以表示成
其中为任意常数,记.
非齐次方程之解：
非齐次方程的通解可以表示为非齐次方程的任意一个特解与相应齐次方程的通解之和,
6-4-3线性常系数方程组的解
如果为常数矩阵.那么方程
称为线性常系数方程组。
线性常系数齐次微分方程组的解今设解为,其中是维向量,代入方程:
是矩阵的特征值，是的对应的特征向量。
求的解，转化为求矩阵的特征值和特征向量的问题。
例1,设,求通解.
解,由,求得矩阵 的三个单重特征值 ,分别对应的特征向量为：
,,.从而一般解为：
例2,设 ,求通解。
解：特征方程：,特征值：
对应的特征向量：,从而有复解：
,
.
一般解：=+
=
例3,设 ,求通解。
解：特征方程：,重根：
此时的解形如：
,代入方程，约去得：
比较系数,
令,解出：,
一般解：
6-4线性微分方程组
6-4-1 微分方程组解的一般概念
6-4-2 线性方程组解的结构
6-4-3线性常系数方程组的解期终考试时间：
六月三十日星期一下午2:30---4:30
答疑时间：6月27(星期五)、6月28日(星期六) 上、下午
6月30日(星期一)上午上午8:300---11:00; 下午3:00---5:00
答疑地点,三教1106
考试教室分配：
序
班 级
考试教室
监考老师
1
自21,自22,(42)
五教5101
谭泽光
2
自23,自24,(46)
五教5102
张李军
3
自25,自26,(45)
五教5103
陈 明
4
自27(23),电机系(7)，医学院(6)
计算机科学系(3)，其他系(15)
五教5104
张 靖
第二十四讲 线性方程组
6-4-1 微分方程组解的一般概念微分方程组的一般形式与解的概念例1：导弹打飞机：
设飞机飞行轨道已知：,速度为,
导弹的位置是，已知其速度是,根据导弹的速度方向时刻指向飞机的条件，由运动学可得方程：
,
或者,,
例2：人造卫星运用轨迹：利用动力学第二定理：
设卫星运行位置向量：,质量是,
则方程为, ,
diff-equA.nb
微分方程组的一般形式
若记 ,,
则方程组可简写成,
微分方程组的解方程的解是一元向量函数 ,代入方程,在区间内使之成为恒等式,即,.
初值问题：
对初值问题解的存在、唯一性定理：
初值问题：,若满足下列条件：
在点的某一个邻域内连续;
在邻域内,偏导数
,
有界。
则存在唯一的解满足方程和初值。
微分方程组的的求解问题利用消元法，将方程组化成高阶方程,
该法在原则上可行，但在具体问题上不一定能做到。
以二个方程为例 ,
从第一个方程中解出 ,代入第二个方程,
某些特殊方法，如可积组合。
相平面法,如 中，考察以为直角坐标的二维空间中,的曲线，这个空间称为相空间.;这种曲线称为相轨线。
6-4-2 线性方程组及其解的结构线性方程组的一般形式：
线性非齐次方程组,
线性齐次方程组
其中 ,
解的存在唯一性：
设矩阵函数和 向量值函数 在区间上连续,,
则对于任意的,初值问题
在区间上有唯一解.
向量函数的线性无关性
定义 (向量值函数的相关与无关) 设
是定义在区间上的个向量值函数,如果存在不全为零的个常数,使得
则称这个向量值函数在区间上线性相关,否则为线性无关.
无关性判断,若向量值函数 构成的行列式
(称为Wronski(朗斯基)行列式),在区间上不恒等零,则线性无关。
齐次方程的解集合是一个线性空间.其维数等于。
如果求得方程的一个基本解组:
,
则 通解的就可以表示成
其中为任意常数,记.
非齐次方程之解：
非齐次方程的通解可以表示为非齐次方程的任意一个特解与相应齐次方程的通解之和,
6-4-3线性常系数方程组的解
如果为常数矩阵.那么方程
称为线性常系数方程组。
线性常系数齐次微分方程组的解今设解为,其中是维向量,代入方程:
是矩阵的特征值，是的对应的特征向量。
求的解，转化为求矩阵的特征值和特征向量的问题。
例1,设,求通解.
解,由,求得矩阵 的三个单重特征值 ,分别对应的特征向量为：
,,.从而一般解为：
例2,设 ,求通解。
解：特征方程：,特征值：
对应的特征向量：,从而有复解：
,
.
一般解：=+
=
例3,设 ,求通解。
解：特征方程：,重根：
此时的解形如：
,代入方程，约去得：
比较系数,
令,解出：,
一般解：
