第七章 定积分的应用
( The Applications of definite integration )
第二十-讲 定积分在物理等方面的应用课后作业,
阅读：第七章 7.4,pp,211---215; 7.5,215---219
预习：第八章 8.1; 8.2,pp,220---237
作业,pp.218---219,第七章综合1; 6; 13; 16; 18; 20.
7-2 定积分在物理等方面的应用
7.2.1 变力作功问题,
质量为的物体,在外力的作用 (外力的方向与轴的夹角为)下，沿轴在从位移到,求外力所作的功。
,
在质量为质点引力作用下,单位质量质点运动所作的功
解,,


动能定理：
,

=
动量定理:

7.2.2 物体间引力问题
线密度为的杆(杆长为) 对单位质量质点的引力.
,


=

=
7.2.3图形重心问题平面图形的重心：
矩 ,
=,=
,
平面曲线的重心：
矩 ,
,,,
,
迥转体的体积与旋转面重心的关系：


由图形绕x轴旋转而成的旋转体体积V,等于图形面积乘重心的y坐标为半径的圆周长。
迥转弧表面积与旋转弧重心的关系:


由曲线绕x轴旋转而成的旋转面表面积S,等于曲线弧长乘重心的y坐标为半径的圆周长。
例，关于半园的体; 半园弧重心的计算
1,半园的重心,

=

==.

2,半园弧的重心,
,


,,
综例,设在上连续且单调增，证明：
.
[证法一] 利用变上限定积分，利用单调性：
令 ，
因为在上连续，故有

因在上单调增，有 ，
从而，在上单调增
又 ，所以有 ，即

[证法二] 利用定积分的性质：
因在上单调增，故有

从而 
注意到 ，从而，
于是有 ,即

[证法三] 利用积分中值定理：

（ 其中,）
而 
因为在上单调增，且，所以，
从而 
即 
[证法四]
因为在上单调增，所以，，有

固定，对积分，得 
即 
再对积分，得

利用定积分的值与积分变量所用字母无关的性质，得到

即 
重心的横坐标：