第六章 常微分方程
6-1 复习：微分方程基本概念及可积类型
6-1-1 基本概念
6-1-2 一阶可积类型
6-1-4 高阶可降阶类型
第二十一讲 微分方程复习
6-1-1基本概念
(一) 关于方程：
什么是微分方程？包含未知函数导数的方程式称为微分方程(differential equation).
微分方程分类：
按自变量多少分：常微分方程和偏微分方程；线性非线性方程
按微分方程的阶(order)数分,
阶常微分方程的一般形式为
线性与非线性方程
阶线性常微分方程的一般形式为
其中是已知函数,
(二) 关于方程的解：
解的概念:
满足微分方程的函数，称为该方程的 解。
通解一般解与初值问题对阶微分方程,包含了个任常数的解
称为微分方程的通解(general solution).
对于阶微分方程(1.9)--(1.11),为了从通解中找到所需要的解,需要附加个初始值条件,即
这样的定解条件称为初值条件(initial condition),
上述问题就称为初值问题.或者 Cauchy问题.
还有其它的定解问题.例如对于二阶常微分方程
附加条件 .
称为边值条件( boundary condition).
满足微分方程,并且适合定解条件的解称为微分方程的特解(special solution).
微分方程的存在唯一性定理
存在唯一性定理,对一阶初值问题,,若二元函数在矩形 连续,
且偏导数 存在并有界,则存在正数,使得上述初值问题在区间上存在有唯一的解.
证明思路,.设,
构造迭代叙列,,则
其中：,
6-1-2一阶可积类型
(一) 分离变量型 形如
或者
例1,解方程.
解,将方程化为
积分得到通解 .
(二) 可化为可分离变量型的方程零齐方程,,利用代换,可以将这类方程化为变量分离方程.
例2,求此曲线,使其上每点的法线平分过这点的水平线与矢径所交之角。
解,,令 ,代入方程
;
这是抛物线。
,先作变量 将其变成关于的零齐方程,
,令,,
(三) 一阶线性方程
考察一阶线性微分方程
凑导数法 ，方程两边乘函数 ,
例3:解方程.
解,,对方两边同乘,得,
,
两边积分：,.
(五)全微分方程
微分方程
其中与连续可微的函数,若满足可积性条件：
则称该方程是全微分方程(exact differential equation).
例4:解方程 ,
解:是一个全微分方程,下面用三种方法求解这个方程.
解法1:线积分法
解法2:用不定积分计算,.
解法3:凑全微分法,将方程中各项重新组合为
,
即 .
此式进一步又化为
由此立即得到方程通解为 .
(六)积分因子
若微分方程
不是全微分方程,有时可以找到一个非零函数,使得
成为全微分方程,这样的函数称为积分因子(integrating factor).
例5:解方程 .
解,
两边同乘,
,
原方程的通解为 .
例6:解方程 .
解,
=
两边同乘得,
从而得到方程通解 ,
6-1-3 高阶可降阶类型方程的求解
一般情况下,求解高阶方程更加困难.处理高阶方程的思路之一是设法降低方程的阶.在这里,仅讨论二阶方程
的几种右端函缺缺变量的情形进行讨论.
(一) 类型可通过次积分可以得到通解,逐次积分得到方程通解变为
(二) 类型
令 ,,方程变成,
这是一阶方程，有可能求解。
例7,设有单位质量的质点,受到沿方向的力的作用沿轴运动.及空气阻力与速度成正比，比例系数,其中为常数,如果,试求质点运动规律.
解:根据Newton第二定理,质点运动方程为
解：这是型方程,令,则方程变成：
,
这是一阶线性方程,两边同乘,
例8:解方程.
解:令,代入方程,则原方程化为:
由此解出 ,于是原方程的通解为 .
(二) 类型令 ,,
代入方程得 ,
于是得到一个关于未知函数和自变量的一阶方程.
例9:解方程.
解:令,,代入方程得到
即 .
两端积分得到,即,
分离变量,将上式改写成
解此方程得通解:化简得,
例10:.
解1,令,,
.
解2,令,,
6-1 复习：微分方程基本概念及可积类型
6-1-1 基本概念
6-1-2 一阶可积类型
6-1-4 高阶可降阶类型
第二十一讲 微分方程复习
6-1-1基本概念
(一) 关于方程：
什么是微分方程？包含未知函数导数的方程式称为微分方程(differential equation).
微分方程分类：
按自变量多少分：常微分方程和偏微分方程；线性非线性方程
按微分方程的阶(order)数分,
阶常微分方程的一般形式为
线性与非线性方程
阶线性常微分方程的一般形式为
其中是已知函数,
(二) 关于方程的解：
解的概念:
满足微分方程的函数，称为该方程的 解。
通解一般解与初值问题对阶微分方程,包含了个任常数的解
称为微分方程的通解(general solution).
对于阶微分方程(1.9)--(1.11),为了从通解中找到所需要的解,需要附加个初始值条件,即
这样的定解条件称为初值条件(initial condition),
上述问题就称为初值问题.或者 Cauchy问题.
还有其它的定解问题.例如对于二阶常微分方程
附加条件 .
称为边值条件( boundary condition).
满足微分方程,并且适合定解条件的解称为微分方程的特解(special solution).
微分方程的存在唯一性定理
存在唯一性定理,对一阶初值问题,,若二元函数在矩形 连续,
且偏导数 存在并有界,则存在正数,使得上述初值问题在区间上存在有唯一的解.
证明思路,.设,
构造迭代叙列,,则
其中：,
6-1-2一阶可积类型
(一) 分离变量型 形如
或者
例1,解方程.
解,将方程化为
积分得到通解 .
(二) 可化为可分离变量型的方程零齐方程,,利用代换,可以将这类方程化为变量分离方程.
例2,求此曲线,使其上每点的法线平分过这点的水平线与矢径所交之角。
解,,令 ,代入方程
;
这是抛物线。
,先作变量 将其变成关于的零齐方程,
,令,,
(三) 一阶线性方程
考察一阶线性微分方程
凑导数法 ，方程两边乘函数 ,
例3:解方程.
解,,对方两边同乘,得,
,
两边积分：,.
(五)全微分方程
微分方程
其中与连续可微的函数,若满足可积性条件：
则称该方程是全微分方程(exact differential equation).
例4:解方程 ,
解:是一个全微分方程,下面用三种方法求解这个方程.
解法1:线积分法
解法2:用不定积分计算,.
解法3:凑全微分法,将方程中各项重新组合为
,
即 .
此式进一步又化为
由此立即得到方程通解为 .
(六)积分因子
若微分方程
不是全微分方程,有时可以找到一个非零函数,使得
成为全微分方程,这样的函数称为积分因子(integrating factor).
例5:解方程 .
解,
两边同乘,
,
原方程的通解为 .
例6:解方程 .
解,
=
两边同乘得,
从而得到方程通解 ,
6-1-3 高阶可降阶类型方程的求解
一般情况下,求解高阶方程更加困难.处理高阶方程的思路之一是设法降低方程的阶.在这里,仅讨论二阶方程
的几种右端函缺缺变量的情形进行讨论.
(一) 类型可通过次积分可以得到通解,逐次积分得到方程通解变为
(二) 类型
令 ,,方程变成,
这是一阶方程，有可能求解。
例7,设有单位质量的质点,受到沿方向的力的作用沿轴运动.及空气阻力与速度成正比，比例系数,其中为常数,如果,试求质点运动规律.
解:根据Newton第二定理,质点运动方程为
解：这是型方程,令,则方程变成：
,
这是一阶线性方程,两边同乘,
例8:解方程.
解:令,代入方程,则原方程化为:
由此解出 ,于是原方程的通解为 .
(二) 类型令 ,,
代入方程得 ,
于是得到一个关于未知函数和自变量的一阶方程.
例9:解方程.
解:令,,代入方程得到
即 .
两端积分得到,即,
分离变量,将上式改写成
解此方程得通解:化简得,
例10:.
解1,令,,
.
解2,令,,
