第五章 向量分析微分形式介绍
第二十二讲 微形形式介绍课后作业,
阅读：第十三章 13.7 pp.278-290
预习：第十四章 14-1 pp,293—304
作业题,p.290 补充题 1; 4; 5; 8
微分形式介绍
(一) 微分形式问题的提出我们已经学习过四个微积分的重要公式:
Newton-Leibniz公式
Green公式,
Gauss公式和
Stokes公式
它们都反映了类似的规律,函数(或者向量函数)的“微分”在 区域上的“积分”,可以用函数(或者向量函数)在该区域边界上的“积分”来表示。当然，这里的微分与积分，都是有特定定义的，因而我们加上了引号。
既然四个公式反映了类似规律，那么能否将这四个公式统一起来? 解决这些问题需要引进“微分形式”这一工具,系统地讨论微分形式需要较深的代数和拓扑知识,所以这里我们只是在的范围中以尽可能通俗的方式叙述微分形式的积分,并且特别注意联系已经学过的知识.
(二) 流形及其定向
在三维空间中,我们给曲线、曲面和区域一个统一的名称：“流形”.
,一维流形” 指满足一定条件的曲线(包括直线);
,二维流形” 指满足一定条件的曲面(包括平面);
,三维流形” 指中满足一定条件的区域,
流形都是有向的,其定义是前面关于曲线、曲面和区域定向的一般化。
(1) 对于曲线.设曲线有参数方程:
,
其中三个函数都是连续可微的,并且满足条件
在这个条件下,曲线在其上每个点都有非零的切向量.
规定就是曲线在这点处切线的正方向,或者说确定为曲线的正向；这就意味着：参数增加方向确定了曲线正方向。
这时，弧微分向量,
(2) 对于曲面,设有向曲面有参数方程
,
其中三个函数都是连续可微的,并且满足条件
则曲面在其上每点都有单位法向量
其中
今规定是的正向法向量,或者说确定为曲面的正向；
这就意味着：参数增加方向确定了曲岛正方向。
这时，曲面的面微分向量:
==
=
其中
这里,记:
,
,
记号表作“外积”.
(3) 对于空间区域，我们也由变换的参数方程
,
定向：其体微分是一个有正负的标量：
=
(三) 微分形式及其外积微分形式
设有函数：,
向量函数：,
在一维流形,,
上有零次和一次微分形式:
一维流形零次微分形式就是上的可微函数 ,
称函数在上可微,是指的函数
在上可微.
(2)一维流形上有三个基本的一次微分形式,.
而上的一次微分形式的一般形状是
给定曲线参数方程后,由
确定。其中都是上的可微函数.
二维流形,
,
上有零次,一次和二次微形式,
(1) 零次和一次微分形式与一维流形上类似，只是此时相应的函数取在二维流形上。可微也是指相应函数在上作为的函数,在相应区域可微.
(2) 二维流形上有三个基本的二次微分形式:
,
,
错误！未定义书签。上二次微分形式的一般形状为
其中都是上的可微函数.
空间区域,
,
有零次、一次、二次和三次微分形式,
其中零到二次微分形式与上述定义类似.
基本的三次微分形式为,它的值等于
.
三次微分形式的一般形状是
.
其中是给定域上的可微函数.
外积
微分形式的外积“”是一种满足如下性质的代数运算：设 是任意的三个微分形式：
(i)结合律成立，即
(ii)分配律成立，即
,;
(iii)反称性：对基本的一次微分形式有:
,,,
,,。
由二次微分形式的定义,反称性是显然的,
在二维流形上,一次微分形式的外积为
对于任意两个一次微分形式 由分配律得到
=+
+
=
=-
(四) 外微分运算
对微分形式我们定义一种微分运算,称为外微分.微分形式的外微分记作.
对于零次微分形式(即可微函数),其外微分就是通常的全微分
对于一,二,三次微分形式的外微分定义是,保持与等不动,只对于微分形式的系数(即函数)等进行外微分运算,例如
例1:设,则
例2:设则
由上三式可以看出以下几点:
1.零次微分形式(即可微函数)的外微分即通常的全微分,在与函数的梯度运算相当;
2.一次微分形式的外微分在与向量场 的旋度运算
相当.
3.二次微分形式的的外微分 与向量场 的散度运算
相当.
如果微分形式 满足,则称是一个恰当微分形式.
定理:
1.设微分形式的系数二阶连续可微,则有.
2.在一定条件下(例如为星形区域),设是上的一个次恰当微分形式,则存在一个次微分形式,使得.
这个定理的前半部分可以直接验证：比如，
设,则
,
= 0
若 则
对于定理的第二部实际上在讲积分与路径无关时己有结论：
对于一次微分形式,若有,即
,
这相当于向量场的旋度为零，即是无旋场,因而有势函数,这是零次微分形式,使得
对于二次微分形式
若有 ,即
=
这对应于向量场散度为零,即这是一个无源场，前面提到，它一定是一个旋度场，即有向量场
使得 ,
而旋度运算相当于一次形式的外微分，即 .
对于三次微分形式,总有 ,即
只要选择 ,使得
,
就有,
=
=
就有
(五) 多变量积分的基本公式--Stokes 公式
(I) 微分形式在流形上的积分设是中的一维流形,一次微分形式，它在上的积分为
这恰好是向量场沿有向曲线的第二型积分,曲线的方向由其参数方程给定.
设为二维流形,是二次微分形式，它在上的积分
正是向量场沿有向曲面第二型积分,曲面方向已经由的参数方程给定。
设是三维流形(即区域) 是三次微分形式，它在上的积分：
与一般的三重积分
相比较,主要区别是将看作是有向流形,从而体积元可正可负.这要由的定向决定,即由Jacobi矩阵的符号决定.
(II) Stokes 公式
最后,来看如何将Newton-Leibniz公式,Green公式Gauss公式,和Stokes公式写成统一的形式.
设,是上的连续可微函数(零次微分形式),则Newton-Leibniz公式为
注意到 因此Newton-Leibniz公式又可以写作
.
再考察Green公式,
由于.则,于是上式又可以写作
.
对于Stokes公式
.
若令,则有.
于是Stokes公式又可以写作
最后考虑Gauss公式,
若令 则
因此Gauss公式又可以写作 .
如果将以上各式写成统一的形式,就得到下述定理:
定理(Stokes),设为中的维流形,其边界为低一维的流形.又设是上的一个次微分形式,则有
.
这个公式统称为Stokes公式.
现在我们已经将Newton-Leibniz公式,Green公式,Gauss公式和 Stokes公式统一起来了.由这个途径还可以将这些公式推广到高维空间去,由于篇幅所限这里就不再讨论了.
第二十二讲 微形形式介绍课后作业,
阅读：第十三章 13.7 pp.278-290
预习：第十四章 14-1 pp,293—304
作业题,p.290 补充题 1; 4; 5; 8
微分形式介绍
(一) 微分形式问题的提出我们已经学习过四个微积分的重要公式:
Newton-Leibniz公式
Green公式,
Gauss公式和
Stokes公式
它们都反映了类似的规律,函数(或者向量函数)的“微分”在 区域上的“积分”,可以用函数(或者向量函数)在该区域边界上的“积分”来表示。当然，这里的微分与积分，都是有特定定义的，因而我们加上了引号。
既然四个公式反映了类似规律，那么能否将这四个公式统一起来? 解决这些问题需要引进“微分形式”这一工具,系统地讨论微分形式需要较深的代数和拓扑知识,所以这里我们只是在的范围中以尽可能通俗的方式叙述微分形式的积分,并且特别注意联系已经学过的知识.
(二) 流形及其定向
在三维空间中,我们给曲线、曲面和区域一个统一的名称：“流形”.
,一维流形” 指满足一定条件的曲线(包括直线);
,二维流形” 指满足一定条件的曲面(包括平面);
,三维流形” 指中满足一定条件的区域,
流形都是有向的,其定义是前面关于曲线、曲面和区域定向的一般化。
(1) 对于曲线.设曲线有参数方程:
,
其中三个函数都是连续可微的,并且满足条件
在这个条件下,曲线在其上每个点都有非零的切向量.
规定就是曲线在这点处切线的正方向,或者说确定为曲线的正向；这就意味着：参数增加方向确定了曲线正方向。
这时，弧微分向量,
(2) 对于曲面,设有向曲面有参数方程
,
其中三个函数都是连续可微的,并且满足条件
则曲面在其上每点都有单位法向量
其中
今规定是的正向法向量,或者说确定为曲面的正向；
这就意味着：参数增加方向确定了曲岛正方向。
这时，曲面的面微分向量:
==
=
其中
这里,记:
,
,
记号表作“外积”.
(3) 对于空间区域，我们也由变换的参数方程
,
定向：其体微分是一个有正负的标量：
=
(三) 微分形式及其外积微分形式
设有函数：,
向量函数：,
在一维流形,,
上有零次和一次微分形式:
一维流形零次微分形式就是上的可微函数 ,
称函数在上可微,是指的函数
在上可微.
(2)一维流形上有三个基本的一次微分形式,.
而上的一次微分形式的一般形状是
给定曲线参数方程后,由
确定。其中都是上的可微函数.
二维流形,
,
上有零次,一次和二次微形式,
(1) 零次和一次微分形式与一维流形上类似，只是此时相应的函数取在二维流形上。可微也是指相应函数在上作为的函数,在相应区域可微.
(2) 二维流形上有三个基本的二次微分形式:
,
,
错误！未定义书签。上二次微分形式的一般形状为
其中都是上的可微函数.
空间区域,
,
有零次、一次、二次和三次微分形式,
其中零到二次微分形式与上述定义类似.
基本的三次微分形式为,它的值等于
.
三次微分形式的一般形状是
.
其中是给定域上的可微函数.
外积
微分形式的外积“”是一种满足如下性质的代数运算：设 是任意的三个微分形式：
(i)结合律成立，即
(ii)分配律成立，即
,;
(iii)反称性：对基本的一次微分形式有:
,,,
,,。
由二次微分形式的定义,反称性是显然的,
在二维流形上,一次微分形式的外积为
对于任意两个一次微分形式 由分配律得到
=+
+
=
=-
(四) 外微分运算
对微分形式我们定义一种微分运算,称为外微分.微分形式的外微分记作.
对于零次微分形式(即可微函数),其外微分就是通常的全微分
对于一,二,三次微分形式的外微分定义是,保持与等不动,只对于微分形式的系数(即函数)等进行外微分运算,例如
例1:设,则
例2:设则
由上三式可以看出以下几点:
1.零次微分形式(即可微函数)的外微分即通常的全微分,在与函数的梯度运算相当;
2.一次微分形式的外微分在与向量场 的旋度运算
相当.
3.二次微分形式的的外微分 与向量场 的散度运算
相当.
如果微分形式 满足,则称是一个恰当微分形式.
定理:
1.设微分形式的系数二阶连续可微,则有.
2.在一定条件下(例如为星形区域),设是上的一个次恰当微分形式,则存在一个次微分形式,使得.
这个定理的前半部分可以直接验证：比如，
设,则
,
= 0
若 则
对于定理的第二部实际上在讲积分与路径无关时己有结论：
对于一次微分形式,若有,即
,
这相当于向量场的旋度为零，即是无旋场,因而有势函数,这是零次微分形式,使得
对于二次微分形式
若有 ,即
=
这对应于向量场散度为零,即这是一个无源场，前面提到，它一定是一个旋度场，即有向量场
使得 ,
而旋度运算相当于一次形式的外微分，即 .
对于三次微分形式,总有 ,即
只要选择 ,使得
,
就有,
=
=
就有
(五) 多变量积分的基本公式--Stokes 公式
(I) 微分形式在流形上的积分设是中的一维流形,一次微分形式，它在上的积分为
这恰好是向量场沿有向曲线的第二型积分,曲线的方向由其参数方程给定.
设为二维流形,是二次微分形式，它在上的积分
正是向量场沿有向曲面第二型积分,曲面方向已经由的参数方程给定。
设是三维流形(即区域) 是三次微分形式，它在上的积分：
与一般的三重积分
相比较,主要区别是将看作是有向流形,从而体积元可正可负.这要由的定向决定,即由Jacobi矩阵的符号决定.
(II) Stokes 公式
最后,来看如何将Newton-Leibniz公式,Green公式Gauss公式,和Stokes公式写成统一的形式.
设,是上的连续可微函数(零次微分形式),则Newton-Leibniz公式为
注意到 因此Newton-Leibniz公式又可以写作
.
再考察Green公式,
由于.则,于是上式又可以写作
.
对于Stokes公式
.
若令,则有.
于是Stokes公式又可以写作
最后考虑Gauss公式,
若令 则
因此Gauss公式又可以写作 .
如果将以上各式写成统一的形式,就得到下述定理:
定理(Stokes),设为中的维流形,其边界为低一维的流形.又设是上的一个次微分形式,则有
.
这个公式统称为Stokes公式.
现在我们已经将Newton-Leibniz公式,Green公式,Gauss公式和 Stokes公式统一起来了.由这个途径还可以将这些公式推广到高维空间去,由于篇幅所限这里就不再讨论了.
