- 第五章 向量分析
第二十讲 Stokes 公式
5-5-1 Stokes 公式
5-5-2 旋度及其物理意义
课后作业,
阅读：第五章 第五节,Gauss公式和Stokes公式 pp,173---181
预习：第五章 第六节,无源场和保守场 pp,182---187
作业,习题5,pp.181---182,1,(1),(3),(5),(7) ; 2; 3,(3); 4,(1); 5; 6.
5-5 Stokes公式
本节专门讨论空间向量场,
5-5-1 Stokes 公式
定理 (Stokes公式),设区域上的连场

是区域内的一块逐片光滑有向曲面,
其边界为逐段光滑的有向曲线(关于有向曲面的边界的定向在上一节已经说明).则有,
或者 
=
z
S
( S
0 y
Dxy
x ( Dxy
此式称为Stokes公式.
证明,首先设曲面S 的方程为
,,
=是的边界;
曲面的边界是.
设的参数方程为
 
这时的参数方程为
,
=
=
= 

=

=
=
=
**=
=
=.
**
==
=;
==
=
=
=
=
=
=
最后的等式是由于：
,
; ;
,,
 ,


于是得到Stokes公式.

当由若干片光滑曲面组成时,可以首先对于各片曲
面得到Stokes公式:

然后各式两端分别对于从到求和.注意到在求和的过程中,各
片曲面的边界曲线中不属于的那些曲线要先后沿其正反两个
方向分别积分一次,因而互相抵消,于是就得到

于是Stokes公式得证.
以上用到向量场

的旋度算子,
=
5-5-2 旋度及其物理意义
设为固定点,为单位向量,是通过点且以为法向量的(有向)平面.在上取一个以为中心,以为半径的圆盘其边界为,积分  是向量场沿的环流量.
在圆盘上单位面积的平均环流量就是积分
由Stokes公式得到 
在上式中令,由被积函数的连续性就得到

这就是说,在点处,向量在方向的投影等于,向量场沿圆周的环流量当时的极限,它反映了向量场环绕向量的旋转强度.
因此是这样一个向量,它在某个方向，比如方向的投影,反映了向量场环绕向量的旋转强度,所以 称为向量场的旋度.记作.于是Stokes公式又可以写作

于是在(5.14)中右三项分别为向量场环绕三个坐标轴的旋转强度,
例3:设是由稳恒电流产生的磁场强度.
为有向曲面,则物理知识，磁场环量等于所曲面的电通量知识知道,  这就是说,另一方面,由Stokes公式得到 ,比较以上两式得到:

这就是电磁场理论中的的基本方程之一。
例4:设为球面在第一卦限中部分的外侧,
,试验证Stokes公式.
解,注意到的法向量与三个坐标轴都成锐角,故
=
=
=
其中是在三个坐标面上的投影.
另一方面,由

组成,

=
同样可以得到 
于是有
例5:计算积分其中
是柱面与平面 的交线.
其正向从轴向下看去为逆时针方向.
解,曲线是平面上的一个椭圆周.
设是围成的椭圆,上侧为正,则由Stokes公式得到

其中是平面的法向量与三个坐标轴的夹角,
它们的余玄分别等于

平面上的面积微元是

于是
由以上结果便得到 
例6:计算积分
其中为,
曲线的正向与参数增加方向一致.
解:设为的起点和终点.用表示由A到B的有向线段,表示由和围成的有向曲面.
则由Stokes公式得到

于是

在二维情形,设 ,
则 
将平面区域 看成是空间的有向曲面,
其单位法向量为,对于向量场
,
曲面应用Stokes公式得到

这恰好是Green公式.
因此Stokes公式是Green公式在三维空间的推广.