第七章 定积分
( The definite integration )
第十九讲 定积分在几何方面的应用课后作业,
阅读：第七章 7.1,7.2,7.3,pp198---210;
预习：7.4,pp,211---215; 7.5,215---219
作业,pp.201---202,习题 7.1,1,(1),(8); 2; 4; 6; 7; 8(2); 10.
pp.210---211,习题 7.2,2; 4; 5; 9; 10; 13,
习题 2(2); 4; 6; 9
7-1 定积分在几何方面的应用
7-1-1 定积分应用的两种思想
定积分问题的持征：
定积分量是区间的函数:，具有对区间的可加性:
即，若和内部之交为空集,则有
。
解决定积分问题的两种思路：
元素相加法,利用定积分定义一个量。
分小取近似,;
求和取极限:
微元分析法,通过分析末知函数的增量求出其微分的方法。
分小取微分,;
积分求增量,.
7-1-2 定积分在几何方面的应用---求平面图形的面积：
1)平面图形的面积是什么？
看作己知面积的图形对该图形“度量”的结果。可称之为“测度”。
设欲度量的图形为，通常做法是用两种多边形和,其面积分别为 ,使得,,取
最小上界；最大下界。
如果有,显然可认为图形的面积是,
2)各种坐标系下的计算公式？
在直角坐标系下：
;
,
其中,
在参数方程表示下：
,=
在极坐标系下：
;
3) 例例1,双曲线,,
求双曲线弧MNPM
所围图形的面积。
因
所求面积
进一步： ,
由 ;
解出：,
特别是当时,
=.
.
此时，,这就是叫做双曲函数的原因。
而园,所以三角函数又叫圆函数。
例2,
,
,椭圆渐屈线所围面积。 时椭圆渐屈线的图像
解,
=
例3,求叶形线在第一象限中的面积。
化成极坐标。,
.
时叶形线的图像设,利用广义积分可得：
.
定积分在几何方面的应用---求曲线的弧长：
1,曲线的长度是什么？
非封闭曲线的弧长可作为其内折线长,
在子弧最大直径趋于零时的极限。
2,各种坐标系下的计算公式？
在直角坐标系下,
;
在参数方程表示下,
,
在极坐标系下：
;
,
3)例,
例1,悬链线的弧长.
.
例2,星形线的弧长.
=
例3,椭圆的弧长.
( 容易计算椭园面积是：.)
用参数方程,
,
其中叫椭园积分。
例4,蜗线的弧长.
=
=
=
=
定积分在几何方面的应用---特殊图形的体积:
若体积的截面积函数己知,则
.
例，两个半径为的园柱体，其轴垂直相交，
求相交部分之体积。
若两个园柱的半径不相同，则其相交部分体积为：
.
令
.
平面曲线,绕x轴旋转一周而成的体积。
切片,
卷筒,
7-1-5定积分在几何方面的应用---
平面曲线,绕x轴旋转一周而成的表面积。
,
例，关于球的体积。面积的计算
y
R
x2 + y2 =R2
-R 0 x x+△x R x
-R
1,体积,
切片,
,
=
=
y
R
x2 + y2 =R2
△(
-R 0 ( R
卷筒
,
=
=
包锥
,
y
R p
x2 + y2 =R2 q B
-R 0 x x+△x R
A
=
2,球面面积,
,
,
.
( The definite integration )
第十九讲 定积分在几何方面的应用课后作业,
阅读：第七章 7.1,7.2,7.3,pp198---210;
预习：7.4,pp,211---215; 7.5,215---219
作业,pp.201---202,习题 7.1,1,(1),(8); 2; 4; 6; 7; 8(2); 10.
pp.210---211,习题 7.2,2; 4; 5; 9; 10; 13,
习题 2(2); 4; 6; 9
7-1 定积分在几何方面的应用
7-1-1 定积分应用的两种思想
定积分问题的持征：
定积分量是区间的函数:，具有对区间的可加性:
即，若和内部之交为空集,则有
。
解决定积分问题的两种思路：
元素相加法,利用定积分定义一个量。
分小取近似,;
求和取极限:
微元分析法,通过分析末知函数的增量求出其微分的方法。
分小取微分,;
积分求增量,.
7-1-2 定积分在几何方面的应用---求平面图形的面积：
1)平面图形的面积是什么？
看作己知面积的图形对该图形“度量”的结果。可称之为“测度”。
设欲度量的图形为，通常做法是用两种多边形和,其面积分别为 ,使得,,取
最小上界；最大下界。
如果有,显然可认为图形的面积是,
2)各种坐标系下的计算公式？
在直角坐标系下：
;
,
其中,
在参数方程表示下：
,=
在极坐标系下：
;
3) 例例1,双曲线,,
求双曲线弧MNPM
所围图形的面积。
因
所求面积
进一步： ,
由 ;
解出：,
特别是当时,
=.
.
此时，,这就是叫做双曲函数的原因。
而园,所以三角函数又叫圆函数。
例2,
,
,椭圆渐屈线所围面积。 时椭圆渐屈线的图像
解,
=
例3,求叶形线在第一象限中的面积。
化成极坐标。,
.
时叶形线的图像设,利用广义积分可得：
.
定积分在几何方面的应用---求曲线的弧长：
1,曲线的长度是什么？
非封闭曲线的弧长可作为其内折线长,
在子弧最大直径趋于零时的极限。
2,各种坐标系下的计算公式？
在直角坐标系下,
;
在参数方程表示下,
,
在极坐标系下：
;
,
3)例,
例1,悬链线的弧长.
.
例2,星形线的弧长.
=
例3,椭圆的弧长.
( 容易计算椭园面积是：.)
用参数方程,
,
其中叫椭园积分。
例4,蜗线的弧长.
=
=
=
=
定积分在几何方面的应用---特殊图形的体积:
若体积的截面积函数己知,则
.
例，两个半径为的园柱体，其轴垂直相交，
求相交部分之体积。
若两个园柱的半径不相同，则其相交部分体积为：
.
令
.
平面曲线,绕x轴旋转一周而成的体积。
切片,
卷筒,
7-1-5定积分在几何方面的应用---
平面曲线,绕x轴旋转一周而成的表面积。
,
例，关于球的体积。面积的计算
y
R
x2 + y2 =R2
-R 0 x x+△x R x
-R
1,体积,
切片,
,
=
=
y
R
x2 + y2 =R2
△(
-R 0 ( R
卷筒
,
=
=
包锥
,
y
R p
x2 + y2 =R2 q B
-R 0 x x+△x R
A
=
2,球面面积,
,
,
.
