第七章 定积分
( The definite integration )
7-1定积分概念与性质
7-2 可积性与可积函数类
6-3 Newton－Leibniz公式
7-4 定积分的计算方法
7-5 定积分的应用
7-6 广义积分
7-6-1 在无穷区间上的广义积分
7-6-2 在无穷区间上的广义积分
第二十讲 广义积分课后作业,
阅读：第七章 7.8,pp,296---310
预习：
练习 pp.311---312,习题 7.8
全部复习题，习题 1,(1),(4); 2,(1),(3);
作业,pp.311---312,习题 7.8
习题 1,(2),(3),(5); 2,(2),(4);
3,(1);4(1),(2)
本次作业练习 pp.311---312,习题 7.8
全部复习题，习题 1,(6); 2,(5),(6);
作业,pp.311---312,习题 7.8
习题 1,(7),(8); 2,(7),(8);
7-6 广义积分
7-6-1 在无穷区间上的广义积分
(一) 定义和性质定义：设,且,函数可积,若极限
存在，则称广义积分收敛，或称在上可积,其积分值为该极限值。否则称之为发散。
例一，
.
例二，
=
例三，
例四，=
=
=.
注； 无穷区间上的积分定义为：
无穷区间上的积分定义为：
.
例五,
=,发散注意,,
因为对任何奇函数都有：
性质：设,可积。
若和收敛,则
.
Cauchy 收敛原理,
收敛 ,.
若,, 则
在中有上界收敛.
证明：因为单调增有上界。
推论 比较收敛法则,若,,则
(1) 收敛收敛.
(2) 发散发散.
设，若收敛，则
收敛,且 ,
注意：由收敛不能推出收敛,
若收敛,则称绝对收敛;
若收敛而发散,则称条件收敛.
关于乘积函数广义积分的收敛性结论：
设,有界,f不变号收敛，则
收敛,且 ,。
证明1：利用收敛原理,设,.
首先,.
其次,,,,
收敛,
最后，由,
令 ,从而有：
.
证明2,利用比较判敛证的收敛性,
,,
收敛 (绝对)收敛设,单调且,又有界,则 收敛。
这要利用第二中值定理，有兴趣者可看有关参考书。
设,有界,收敛，且在上不变号,
则有中值定理,,.
(二）判敛准则比阶收敛法则,
若,(包括),则
(1) 若,收敛收敛.
(2) 若,发散发散.
特别是,当时,,则,
(1) 若,收敛.
若,发散.
(三）判敛举例
例六,研究 ,,的敛散性。
收敛,
==,收敛.
同理有
==收敛
,
因 ,
又收敛,发散发散.
,收敛。
.
==,收敛.
由,
,绝对收敛；条件收敛。
例七,研究 的敛散性。
解：令 ,,,
=.
绝对收敛；
条件收敛。
例八,研究 当满足什么条件时一定收敛。
解：—种答案是：,
另—种答案是：,
7-6-2 在有穷区间上无界函数的广义积分
(一) 定义和性质定义：设,可积,若极限
存在，则称广义积分收敛，或称在上可积,其积分值为该极限值。否则称之为发散。
同样可以定义:
设可积,
设可积,
从原则上讲，在变换,下,可将积分变成,
积分 的问题.
例九，
.
例十，
=
例十一，
=
=
=
=, 收敛。
其中,=;
特别有 .
再进一步对,当收敛。
性质：设,
1) 若和收敛,则 .
Cauchy 收敛原理,
收敛 ,.
若,, 则
在中有上界收敛.
证明：因为单调增有上界。
推论 比较收敛法则,若,,则
(1)收敛收敛.
(2) 发散发散.
设，若收敛，则
收敛,且 ,
设,有界,在上可积、不变号，则有中值定理：
,.
(二）判敛准则比阶收敛法则,
若,(包括),则
(1) 若,收敛收敛.
(2) 若,发散发散.
特别是,当时,,则,
(1) 若,收敛.
若,发散.
(三）判敛举例
今将两种广义积分用奇点统一说法：
对无穷区间的广义积分，称为奇点；
对无界函数的广义积分，称使函数为无界之点为奇点；
例十二,研究的敛散性。
解：该积分有两个奇点:;
=+
=+
考虑奇点0,由,,绝对收敛;
当,,,绝对收敛.
考虑奇点:,绝对收敛；条件收敛。
合起来,条件收敛;绝对收敛例十三,研究的敛散性。
解：该积分有两个奇点:;
=+
考虑奇点0,因,
由收敛绝对收敛,
考虑奇点,因,
,
由 当,绝对收敛,
合起来,当 , 收敛.
当时，令 ,
=+
=+
例十三,研究的敛散性。
奇点有二:。
=+;
对(可去)奇点0,存在;
对奇点1,,发散;
综合起来 发散.
( The definite integration )
7-1定积分概念与性质
7-2 可积性与可积函数类
6-3 Newton－Leibniz公式
7-4 定积分的计算方法
7-5 定积分的应用
7-6 广义积分
7-6-1 在无穷区间上的广义积分
7-6-2 在无穷区间上的广义积分
第二十讲 广义积分课后作业,
阅读：第七章 7.8,pp,296---310
预习：
练习 pp.311---312,习题 7.8
全部复习题，习题 1,(1),(4); 2,(1),(3);
作业,pp.311---312,习题 7.8
习题 1,(2),(3),(5); 2,(2),(4);
3,(1);4(1),(2)
本次作业练习 pp.311---312,习题 7.8
全部复习题，习题 1,(6); 2,(5),(6);
作业,pp.311---312,习题 7.8
习题 1,(7),(8); 2,(7),(8);
7-6 广义积分
7-6-1 在无穷区间上的广义积分
(一) 定义和性质定义：设,且,函数可积,若极限
存在，则称广义积分收敛，或称在上可积,其积分值为该极限值。否则称之为发散。
例一，
.
例二，
=
例三，
例四，=
=
=.
注； 无穷区间上的积分定义为：
无穷区间上的积分定义为：
.
例五,
=,发散注意,,
因为对任何奇函数都有：
性质：设,可积。
若和收敛,则
.
Cauchy 收敛原理,
收敛 ,.
若,, 则
在中有上界收敛.
证明：因为单调增有上界。
推论 比较收敛法则,若,,则
(1) 收敛收敛.
(2) 发散发散.
设，若收敛，则
收敛,且 ,
注意：由收敛不能推出收敛,
若收敛,则称绝对收敛;
若收敛而发散,则称条件收敛.
关于乘积函数广义积分的收敛性结论：
设,有界,f不变号收敛，则
收敛,且 ,。
证明1：利用收敛原理,设,.
首先,.
其次,,,,
收敛,
最后，由,
令 ,从而有：
.
证明2,利用比较判敛证的收敛性,
,,
收敛 (绝对)收敛设,单调且,又有界,则 收敛。
这要利用第二中值定理，有兴趣者可看有关参考书。
设,有界,收敛，且在上不变号,
则有中值定理,,.
(二）判敛准则比阶收敛法则,
若,(包括),则
(1) 若,收敛收敛.
(2) 若,发散发散.
特别是,当时,,则,
(1) 若,收敛.
若,发散.
(三）判敛举例
例六,研究 ,,的敛散性。
收敛,
==,收敛.
同理有
==收敛
,
因 ,
又收敛,发散发散.
,收敛。
.
==,收敛.
由,
,绝对收敛；条件收敛。
例七,研究 的敛散性。
解：令 ,,,
=.
绝对收敛；
条件收敛。
例八,研究 当满足什么条件时一定收敛。
解：—种答案是：,
另—种答案是：,
7-6-2 在有穷区间上无界函数的广义积分
(一) 定义和性质定义：设,可积,若极限
存在，则称广义积分收敛，或称在上可积,其积分值为该极限值。否则称之为发散。
同样可以定义:
设可积,
设可积,
从原则上讲，在变换,下,可将积分变成,
积分 的问题.
例九，
.
例十，
=
例十一，
=
=
=
=, 收敛。
其中,=;
特别有 .
再进一步对,当收敛。
性质：设,
1) 若和收敛,则 .
Cauchy 收敛原理,
收敛 ,.
若,, 则
在中有上界收敛.
证明：因为单调增有上界。
推论 比较收敛法则,若,,则
(1)收敛收敛.
(2) 发散发散.
设，若收敛，则
收敛,且 ,
设,有界,在上可积、不变号，则有中值定理：
,.
(二）判敛准则比阶收敛法则,
若,(包括),则
(1) 若,收敛收敛.
(2) 若,发散发散.
特别是,当时,,则,
(1) 若,收敛.
若,发散.
(三）判敛举例
今将两种广义积分用奇点统一说法：
对无穷区间的广义积分，称为奇点；
对无界函数的广义积分，称使函数为无界之点为奇点；
例十二,研究的敛散性。
解：该积分有两个奇点:;
=+
=+
考虑奇点0,由,,绝对收敛;
当,,,绝对收敛.
考虑奇点:,绝对收敛；条件收敛。
合起来,条件收敛;绝对收敛例十三,研究的敛散性。
解：该积分有两个奇点:;
=+
考虑奇点0,因,
由收敛绝对收敛,
考虑奇点,因,
,
由 当,绝对收敛,
合起来,当 , 收敛.
当时，令 ,
=+
=+
例十三,研究的敛散性。
奇点有二:。
=+;
对(可去)奇点0,存在;
对奇点1,,发散;
综合起来 发散.
