第二章 多元函数微分学第一节 多元连续函数
2-1-1点集拓扑初步
2-1-1-1 度量空间
2-1-1-2 邻域、开集与闭集
2-1-1-3 集合的紧致性、完备性与连通性
第一讲 点集拓扑初步课后作业,
复习阅读：第一章 pp,01---21,己在代数中学过，请抽时间复习。
阅读：第二章 1.1,1.2,1.3,1.4,pp,22----28
预习：第二章 2.1,2.2,pp,29---38
作业,第二章 习题1,pp.28---29,1,(2),(3); 2,(2),(4); 3; 5.
2-1-1点集拓扑初步
拓扑与线性空间、代数等概念一样，是一种数学结构。它与线性空间是研究代数运算下形成的结构不同，是研究“连续体”在“连续变化”下不变的性质，这样，极限概念就是不可缺少的。然而，一维空间中的极限概念是基于实数集合的，如何将极限概念拓广到多维空间、甚至一般集合上，这是拓扑的最基础内容。从一元极限概念的描述可见，其中“距离”的概念起了决定性作用，而比距离更基本的是一个点的“邻域”的概念。本节将对一般的集合介绍点集拓扑的一些最基础概念。
2-1-1-1 度量空间
度量空间的定义：设是一个集合，其中元素称为点。定义了一个函数，
具有下列三条性质，
正定性，即,且;
对称性：即；
满足三角不等式，即。
就称是一个度量空间，函数称为距离函数或度量，也叫距离空间。有时为了区别距离的不同定义，将度量空间记成。
度量空间举例：
例一，n维欧氏空间：,距离函数的定义常用的有四个:
;
,为正定矩阵例二，在闭区间上的连续函数空间：,距离函数的定义:
例三，在闭区间上的可积函数空间：,距离函数的定义:
以上各例中不同的距离定义确定了不同的度量空间，在其性质检验中，主要是对三角不等式的证明，请读者自证；在例三中对两函数相等的理解要作扩充才行。
2-1-1-2 邻域、开集与闭集
设是一度量空间，其度量为。
邻域 在,对任何,集合
称中点的一个邻域,记成.
今后如果说到“在及其附近”，就是指这样的某个；如果说到“在的附近”，则指在这样的某个集合中除掉本身之后剩下的点构成的集合，这是一个空心的集合.
在中,都是以为中心,长度等于的开区间.
在中,是以点为中心,以为半径的开圆盘； 在中,是以点为中心,以为对角线长的菱形盘； 在中,是以点为中心,以为边长的正方形盘.
在中,是以点为中心,以为半径的开球.
(二) 内点与开集
内点与开集的定义 设是中的一个子集,是中一点,如果存在某个,使得,则称是的一个内点( inner point );
如果一个集合的所有的点都是它的内点,就称这个集合是开集( open set ).
内部的定义 设是中的一个子集,中所有内点构成的集合,称为的内部,记作。
例 在中,任意开区间(有界或者无界)是开集,
证明 当是有界区间时,对于中的任意一点,必有.令,这是一个正数,并且有.这说明是的一个内点,由的任意性知中所有的点都是它的内点,因而是开集.
当是无界区间时,请读者自己证明是开集.
例 在中,集合是开集.
一般情形,平面上由几条连续曲线围成的图形内部所有的点组成的集合是开集.
在中,由几张连续曲面围成的图形内部所有的点组成的集合是开集.
在,,和中,空集是开集,空间本身也是开集.
(三) 聚点与闭集
聚点的定义 设是中的一个子集,是中一点,如果对任何,在中至少有一个异于的中的点.则称是的一个聚点(accumulation point).
如果一个集合包含它的所有的聚点,就称这个集合是闭集(closed set).
闭包的定义 设是中的一个子集,中所有聚点构成的集合,称为的闭包,记作。
例 在中,任意开区间(有界或者无界)是闭集,
在中,开区间的所有聚点构成的集合是闭区间;若用表示中所有有理点构成的集合,则每个实数都是的聚点.
在中,任意闭区间都是闭集.在中,任意闭圆盘都是闭集,在中,任意闭球都是闭集.
(四) 开集与闭集的性质
在度量空间中,本身作为空间的一个子集,既是开集,又是闭集.
空集作为空间的一个子集,既是开集,又是闭集.
在度量空间中,任意开集的余集是闭集; 任意闭集的余集是开集.
任意多个开集的并是开集；有限多个闭集的并是闭集。
任意多个闭集的交是闭集；有限多个开集的交是开集。
2-1-1-3 集合的紧致性、完备性与连通性完备性
Cauchy 序列定义,是度量空间中的点列,若对于任意事先给定的正数，都能够找到自然数，使得所有满足、的自然数，都有.
完备空间,若度量空间中任何Cauchy列都存在极限，称为具有完备性(completeness),或完备空间。
可类似定义完备集。
例：是完备的。
紧致性开覆盖定义,是度量空间中的一簇开集，是中的一个子集。,若,则称是的一个开覆盖。
紧致集定义,是度量空间中的一个子集,若的任何开覆盖,必有有限的开覆盖，则称是紧致集。
的紧致性：在中以下三条等价：
是中的紧致集:
是有界闭集;
中任何无穷有界集必有聚点(列紧性)。
连通性,考虑(或)
连通性定义10.1.5 设为(或)中的一个集合,如果对于中任意两点,都可以用完全在中的一条连续曲线将它们连接起来,则称是连通集(connected set) (这样的集合也称弧(arc)连通集)
例,在中,任意非空区间(开或闭,有界或无界)都是连通集.
在中,任意圆盘是连通集.
但是如果在这个圆盘中除去任意一条直径,所余下的点集合不是连通集.
再如,本身或者中的每个象限,都是连通集;
但中除去轴后余下的集合不再是连通集.
区域的定义,连通的开集称为区域(range).因为这里的区域是开集,
所以又称区域为开区域.
在中,任意开区间(有界或无界)都是区域.
在中,常见的区域是由若干连续曲线围成的集合内部,而这些曲线称为区域的边界(bound).
在中,常见的区域是由若干连续曲面围成的集合内部,而这些曲面构成了区域的边界,
区域连同它的边界构成的集合称为闭区域(closed range).闭区域是闭集,
2-1-1点集拓扑初步
2-1-1-1 度量空间
2-1-1-2 邻域、开集与闭集
2-1-1-3 集合的紧致性、完备性与连通性
第一讲 点集拓扑初步课后作业,
复习阅读：第一章 pp,01---21,己在代数中学过，请抽时间复习。
阅读：第二章 1.1,1.2,1.3,1.4,pp,22----28
预习：第二章 2.1,2.2,pp,29---38
作业,第二章 习题1,pp.28---29,1,(2),(3); 2,(2),(4); 3; 5.
2-1-1点集拓扑初步
拓扑与线性空间、代数等概念一样，是一种数学结构。它与线性空间是研究代数运算下形成的结构不同，是研究“连续体”在“连续变化”下不变的性质，这样，极限概念就是不可缺少的。然而，一维空间中的极限概念是基于实数集合的，如何将极限概念拓广到多维空间、甚至一般集合上，这是拓扑的最基础内容。从一元极限概念的描述可见，其中“距离”的概念起了决定性作用，而比距离更基本的是一个点的“邻域”的概念。本节将对一般的集合介绍点集拓扑的一些最基础概念。
2-1-1-1 度量空间
度量空间的定义：设是一个集合，其中元素称为点。定义了一个函数，
具有下列三条性质，
正定性，即,且;
对称性：即；
满足三角不等式，即。
就称是一个度量空间，函数称为距离函数或度量，也叫距离空间。有时为了区别距离的不同定义，将度量空间记成。
度量空间举例：
例一，n维欧氏空间：,距离函数的定义常用的有四个:
;
,为正定矩阵例二，在闭区间上的连续函数空间：,距离函数的定义:
例三，在闭区间上的可积函数空间：,距离函数的定义:
以上各例中不同的距离定义确定了不同的度量空间，在其性质检验中，主要是对三角不等式的证明，请读者自证；在例三中对两函数相等的理解要作扩充才行。
2-1-1-2 邻域、开集与闭集
设是一度量空间，其度量为。
邻域 在,对任何,集合
称中点的一个邻域,记成.
今后如果说到“在及其附近”，就是指这样的某个；如果说到“在的附近”，则指在这样的某个集合中除掉本身之后剩下的点构成的集合，这是一个空心的集合.
在中,都是以为中心,长度等于的开区间.
在中,是以点为中心,以为半径的开圆盘； 在中,是以点为中心,以为对角线长的菱形盘； 在中,是以点为中心,以为边长的正方形盘.
在中,是以点为中心,以为半径的开球.
(二) 内点与开集
内点与开集的定义 设是中的一个子集,是中一点,如果存在某个,使得,则称是的一个内点( inner point );
如果一个集合的所有的点都是它的内点,就称这个集合是开集( open set ).
内部的定义 设是中的一个子集,中所有内点构成的集合,称为的内部,记作。
例 在中,任意开区间(有界或者无界)是开集,
证明 当是有界区间时,对于中的任意一点,必有.令,这是一个正数,并且有.这说明是的一个内点,由的任意性知中所有的点都是它的内点,因而是开集.
当是无界区间时,请读者自己证明是开集.
例 在中,集合是开集.
一般情形,平面上由几条连续曲线围成的图形内部所有的点组成的集合是开集.
在中,由几张连续曲面围成的图形内部所有的点组成的集合是开集.
在,,和中,空集是开集,空间本身也是开集.
(三) 聚点与闭集
聚点的定义 设是中的一个子集,是中一点,如果对任何,在中至少有一个异于的中的点.则称是的一个聚点(accumulation point).
如果一个集合包含它的所有的聚点,就称这个集合是闭集(closed set).
闭包的定义 设是中的一个子集,中所有聚点构成的集合,称为的闭包,记作。
例 在中,任意开区间(有界或者无界)是闭集,
在中,开区间的所有聚点构成的集合是闭区间;若用表示中所有有理点构成的集合,则每个实数都是的聚点.
在中,任意闭区间都是闭集.在中,任意闭圆盘都是闭集,在中,任意闭球都是闭集.
(四) 开集与闭集的性质
在度量空间中,本身作为空间的一个子集,既是开集,又是闭集.
空集作为空间的一个子集,既是开集,又是闭集.
在度量空间中,任意开集的余集是闭集; 任意闭集的余集是开集.
任意多个开集的并是开集；有限多个闭集的并是闭集。
任意多个闭集的交是闭集；有限多个开集的交是开集。
2-1-1-3 集合的紧致性、完备性与连通性完备性
Cauchy 序列定义,是度量空间中的点列,若对于任意事先给定的正数，都能够找到自然数，使得所有满足、的自然数，都有.
完备空间,若度量空间中任何Cauchy列都存在极限，称为具有完备性(completeness),或完备空间。
可类似定义完备集。
例：是完备的。
紧致性开覆盖定义,是度量空间中的一簇开集，是中的一个子集。,若,则称是的一个开覆盖。
紧致集定义,是度量空间中的一个子集,若的任何开覆盖,必有有限的开覆盖，则称是紧致集。
的紧致性：在中以下三条等价：
是中的紧致集:
是有界闭集;
中任何无穷有界集必有聚点(列紧性)。
连通性,考虑(或)
连通性定义10.1.5 设为(或)中的一个集合,如果对于中任意两点,都可以用完全在中的一条连续曲线将它们连接起来,则称是连通集(connected set) (这样的集合也称弧(arc)连通集)
例,在中,任意非空区间(开或闭,有界或无界)都是连通集.
在中,任意圆盘是连通集.
但是如果在这个圆盘中除去任意一条直径,所余下的点集合不是连通集.
再如,本身或者中的每个象限,都是连通集;
但中除去轴后余下的集合不再是连通集.
区域的定义,连通的开集称为区域(range).因为这里的区域是开集,
所以又称区域为开区域.
在中,任意开区间(有界或无界)都是区域.
在中,常见的区域是由若干连续曲线围成的集合内部,而这些曲线称为区域的边界(bound).
在中,常见的区域是由若干连续曲面围成的集合内部,而这些曲面构成了区域的边界,
区域连同它的边界构成的集合称为闭区域(closed range).闭区域是闭集,
