微分学讨论题--1
1．设在点可微，。如果，则在点的微分是（ ）
2,已知为某个二元函数的全微分,则( )
设函数是由方程确定的,在点求.（）
4．设 ，求
（）
5．求下列函数在指定点的全微分
（1），在任意点.（）
（2），求.（）
6.设,在点求.（）
9,按要求求下列曲面的切平面
（1）曲面的与平面平行的切平面，
（）
（2）曲面的与直线垂直的切平面，（）
10,过曲面上点处指向外侧的法向量为,求函数在点处沿方向的方向导数.
解 曲面上点处指向外侧的法向量为

单位法向量为.
另一方面,在点处的三个偏导数为
,,.
于是函数在点处的梯度向量为,该函数在点处沿方向的方向导数为
11,设存在，在点处连续，证明在点处可微.
分析,证明函数在某点可微的关键,是利用题目条件,将函数改变量表示成,其中当时,与比较是高阶无穷小量.或者设法将表示成,其中当时,.
解
(1)
因为在点连续，所以，根据一元函数的拉格朗日微分中值定理，有

 (2)
其中，，为当时的无穷小量.
又由已知，存在，根据偏导数定义，有

根据有极限函数和无穷小量的关系，得到

其中，是当时的无穷小量.
即
 (3)
将(2),(3)式代入(1)式,得到

因为当时,都是无穷小量,所以根据函数在一点可微性定义推出在点处可微.
12,设,,,求.
分析 利用公式,其中为待定函数,可以利用条件求.
解 
当时,.利用题目条件得到
.于是,最后求得

13,设在点可微,.
令,求
分析 用和分别表示函数对于第一个变量和第二个变量的偏导数.理清函数的复合关系.
解 利用复合函数微分法则求导数:


其中

于是

当时,代入题目条件:,,.得到

14,例3 (88106) 设,其中有连续的二阶导数,求
解 令 ,则




于是.
多元微分讨论题
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说明下列各组命题之间的逻辑关系：
（1）(在点存在所有方向导数；
(在点存在所有偏导数。
（2）(在点可微；
(的所有偏导数在点连续。
（3）(在点可微；
(点连续。
（4）(在点存在所有方向导数；
(点连续。
2,设
（1）凭直观判定在点的偏导数是否存在，是否可微。然后用最少的话对于可微的结论给出简要证证明。
（结论：在点以及任意一点有偏导数,函数在点处可微）
讨论偏导数和在点处是否连续。
证 (1)当时,有

同理可得

当时，有
.
.
同理可得 .
所以，在点的邻域内有偏导数和.
（2）考察极限

当动点沿直线趋向于点时，有

但是

不存在.所以，不存在，因而在点处不连续.
同理可证，在点处不连续.
（3）如果当时,

等于,就能够判定在的(全)微分存在.
注意到，所以
因此.从而函数在点处可微.
2．，其中有连续的二阶偏导数。求。
解：


3.设，其中可微，求
解：设，则
，
于是
4．在曲线求一点，使得该点的切线平行于平面。
答案：。
5．求曲线在点处的切线合法平面。
答案：切线：
6．求函数在点的二阶泰勒多项式。
7．周长等于的矩形绕其一边旋转得到的旋转体体积的最大值是多少？
解：设矩形场合款分别为。矩形绕周选一周得到的体积等于。
约束条件为。答案：，。
8．设。求。
解：（1）如果将看作的函数，则

（1）如果将看作的函数，则

8．，，求。
解：和的函数关系由方程组 确定。由隐函数微分法得到两个方程对于求偏导数得到

由此解出。
两个方程对于求偏导数得到

由此解出。
然后利用复合函数微分法则。