第五章 向量分析
第十九讲 第二型空间曲面积分 Gauss公式
5-4-1 第二型曲面积分
5-4-2 Gauss 公式课后作业,
课后作业,
阅读：第五章 第四节,第二型曲面积分 pp,165---172
预习：第五章 第五节,Gauss公式和Stokes公式 pp,173---181
作业,习题4,pp.172---173,1,(2),(3),(4),(6),(8),(10),(12).
习题5,pp.181---182,1,(1),(3),(5),(7) ; 2; 3,(3).
5-4 第二型曲面积分、Gauss公式
本节专门讨论空间向量场,
5-4-1 第二型曲面积分
(1) 曲面的定向、面微分向量
(一) 曲面的定向光滑曲面,曲面上有连续非零的法向量;
逐片光滑曲面,由若干光滑曲面连接而成的曲面。
双侧曲面：在光滑曲面上，任意一点的法向量向量,例如,如果该点在曲面上任意移动,当它回到原来点时,法线方向总是与重合,这样的曲面称为双侧曲面,本章只研究双侧曲面,常见的一些曲面,例如平面,球面,柱面等都是双侧曲面.
曲面的方向,设是一个光滑的双侧曲面,在每个点有两个单位法向量,分别指向曲面两侧，今指定指向一侧的法向量为正向，则称为定向曲面(oriented surface,
若曲面由 方程
给出,则 在曲面上任意一点,单位法向量是
例如,球面 在
,
可以根据要求的侧面 选取其中的符号,作为法向量正向，相应一侧作正侧,对封闭曲面，通常选外法向为正向，此例中即：
.
如果曲面由方程确定,在处其单位法向量为
如果以与轴夹角小于的为正向,则应当v在上式中选取正号.
例如,平面: 如果上侧为正,则上述向量的符号应当取正,即
如果曲面由参数方程,确定,
则在任意一点的单位法向量是
其中
这时可以根据曲面的方向适当地选取(4.3)中的的符号.
有向曲面的边界定向,
有向曲面的边界是有向曲线,其方向按左侧规定：即,当人站在曲面的正侧 (即站立方向与正侧法向量一致),沿着正向前进时,曲面总是在它的左侧.
(二) 面微分向量(有向面积微元)
有向曲面上点处的有向面积微元是一个向量：
其方向是该点正法线方向，其模是面积微分充，即
其中 ,为该点正侧单位法向量.
在直角坐标系下有投影表示,
=
这里，是面积微元,是正标量；
是有向面微元分别在三坐标平面上的投影,如此记法这里是为了区别二重积分中的面积元,
“”表示“外积”,满足如下重要性质(反称性):
;
第二型曲面积分例子：流场中通过曲面的流量,
设区域 中有流体的流速场：
流体的密度为1,设为内的一个光滑曲面.试求流体通过的的流量.
解,取 的一侧为正侧，每点单位法向量为.
在曲面上任一点处取有向面积微元.则
流体通过流向正侧之流量为
流体通过流向正侧之流量为
=
由此可得到第二型曲面积分的概念.
定义,设是区域上的向量函数,是中的光滑的有向曲面.
对任作一划分,第小片作为有向面积，在三个坐标平面上的投影分别为： 在上任取一点,若和式极限
存在，则称之为在曲面上的第二型曲面积分,记成,=
注,(i) 积分中取值在曲面上;
(ii) 对具体的曲面的定向依据几何图；
(iii) 如果是由有向光滑曲面连接而成的由有向
的逐片光滑曲面,则定义
.
第二型曲面积分也具有方向性,即
其中表示有向曲面的另一侧.
(V) 若将单位法向量表为：
则
这就化成了第一类曲面积分；
如果由参数方程表示,则
于是又有
例1:计算第二型曲面积分
其中为半球面 .
解1,按定义做三个积分，分别计算三个积分,
对于,曲面的方程为 .
(曲面上侧为正,单位法向量与轴正向的夹角余弦为正.)因此
=
对于将分成前后两部分:
在上,单位法向量与轴正向的夹角余弦为正,所以
.
在平面上的投影为
,
,于是
=
对于曲面,单位法向量与轴正向的夹角余弦为负,所以 .
,因为两个积分的积分区域相同,所以有
于是
=
同样的方法可以得到
于是
解2,化成第一类曲面积分:
由 ,其中
.注意到,
所以,
例2:计算积分.其中
是三个坐标面与平面围成的四面体的外表面,
解,
由四片光滑曲面组成.
其中分别是平面上的三角形.
是平面 在第一卦限中的部分.于是
在上,由于是沿下侧积分,而下侧的单位法向量是,并且所以
同样可以得到
在上,所以
=
因而
例3:计算
其中为:外侧.
解1,由于曲面在平面上的投影为一曲线,所以
为了计算另一个积分,将曲面分成两部分,
在 和上,分别有
又,
在平面上的投影为矩形:
所以
解2,化成第一类曲面积分：
因
在上,
取柱面的曲 参数方程,
则.
于是
Gauss 公式
Gauss公式
定理 (Gauss公式):设为有界区域,向量函数
是一个在内连续可微,在上连续的向量函数,.则有
或
其中曲面积分是沿外侧进行的.
证明,只要我分别证明以下三式,
即可完成定理证明.
令证其中第一式,其它两式可以完全类似地证明.
与证明Green 公式类似，首先考虑一种特殊情形,
z
z = f2(x,y)
(
z = f1(x,y)
Dxy
上底和下底分别为
和均为逐片光滑曲面,
在平面上的投影是;
此时由, 组成,外侧为正.
在下底上法向量与与轴成钝角所以
在上底上法向量与与轴成锐角.所以
以上二式相加得到:
=
==
于是对于上述简单情形,定理结论是正确的.
对于一般的区域,可以将其分成若干个小区域
,
使得每一个小区域都属于上面的简单情形,
由已经证明的结论得到
将上式两端分别对于求和,由于在区域内部的那些上,
都是沿其两侧各积分一次,因而互相抵消.所以左端只剩下在上的积分,即
右端求和得到
联合起来的结果,就使定理得证,上式称为Gauss公式.
散度子的物理意义.
假设
是区域上的连续可微向量场,是内一点,是包含在中的一个城,其体积为,该集合之直径为;是其边界的外单位法向量,积分 是向量场通过曲面从的通量或 (的发散量),积分 就是向量场在上的平均发散量(即单位体积的发散量),
如果极限 存在,则称这个极限值,为向量场 在点的散度,记作.
应用Gauss公式得到 在二维情形,设
是区域上的连续可微向量场,则Gauss公式变成
这正是Green公式.可见Gauss公式是Green公式在三维空间的推广.
例1:空间分布着不可压缩流体的连续性方程：
设某流体在一空间域上的流速场：
,
流体的密度和速度考察以点为中心,以为半径的球.在时刻,中所含流体总量等于
=.
这个量对于时间的变化率正是,流体在刻,自内部穿越其边界向外发散速度的负值,即
其中为的外单位法向量.由散度定理得到,得到
上式两端同除以的体积,并且令,便得到
这就是流体动力学中的连续性方程.
例2:利用Gauss公式计算第二型曲面积分
其中为曲面的上侧.
解,为用Gauss公式，先加上
,平面上的圆盘的下侧,
使形成封闭曲面; 为和围成的区域.
又令
则由Gauss公式
=
另一方面
于是由以上两式及Gauss公式得到
例3,液体浮力的阿基米德原理。水的压强是一矩阵：
0 n0 x
dS
(
z
,面积元所受之水压力
=
总压力：
=
利用Gauss公式计算第二型曲面积分
例4,Gauss公式的几种变形：
设 ,二阶连续可导函数.
其中：
证明：
=.
其中,
=
移项后得：
相减而成,
.
例5,设,二阶连续可导函数,若满足
=0,
称之为上的调和函数.
显然，若是上的一个调和函数,则
,
这是调和函数的重要特征。
由此可推：调和函数在内任一点的函数值，由其边界上的值所确定。
持别可证：,
,
.
为此，应用公式：
,
取 ,两者都是调和函数,
再取 ,
由于,,
,
,
用于的任意性,
第十九讲 第二型空间曲面积分 Gauss公式
5-4-1 第二型曲面积分
5-4-2 Gauss 公式课后作业,
课后作业,
阅读：第五章 第四节,第二型曲面积分 pp,165---172
预习：第五章 第五节,Gauss公式和Stokes公式 pp,173---181
作业,习题4,pp.172---173,1,(2),(3),(4),(6),(8),(10),(12).
习题5,pp.181---182,1,(1),(3),(5),(7) ; 2; 3,(3).
5-4 第二型曲面积分、Gauss公式
本节专门讨论空间向量场,
5-4-1 第二型曲面积分
(1) 曲面的定向、面微分向量
(一) 曲面的定向光滑曲面,曲面上有连续非零的法向量;
逐片光滑曲面,由若干光滑曲面连接而成的曲面。
双侧曲面：在光滑曲面上，任意一点的法向量向量,例如,如果该点在曲面上任意移动,当它回到原来点时,法线方向总是与重合,这样的曲面称为双侧曲面,本章只研究双侧曲面,常见的一些曲面,例如平面,球面,柱面等都是双侧曲面.
曲面的方向,设是一个光滑的双侧曲面,在每个点有两个单位法向量,分别指向曲面两侧，今指定指向一侧的法向量为正向，则称为定向曲面(oriented surface,
若曲面由 方程
给出,则 在曲面上任意一点,单位法向量是
例如,球面 在
,
可以根据要求的侧面 选取其中的符号,作为法向量正向，相应一侧作正侧,对封闭曲面，通常选外法向为正向，此例中即：
.
如果曲面由方程确定,在处其单位法向量为
如果以与轴夹角小于的为正向,则应当v在上式中选取正号.
例如,平面: 如果上侧为正,则上述向量的符号应当取正,即
如果曲面由参数方程,确定,
则在任意一点的单位法向量是
其中
这时可以根据曲面的方向适当地选取(4.3)中的的符号.
有向曲面的边界定向,
有向曲面的边界是有向曲线,其方向按左侧规定：即,当人站在曲面的正侧 (即站立方向与正侧法向量一致),沿着正向前进时,曲面总是在它的左侧.
(二) 面微分向量(有向面积微元)
有向曲面上点处的有向面积微元是一个向量：
其方向是该点正法线方向，其模是面积微分充，即
其中 ,为该点正侧单位法向量.
在直角坐标系下有投影表示,
=
这里，是面积微元,是正标量；
是有向面微元分别在三坐标平面上的投影,如此记法这里是为了区别二重积分中的面积元,
“”表示“外积”,满足如下重要性质(反称性):
;
第二型曲面积分例子：流场中通过曲面的流量,
设区域 中有流体的流速场：
流体的密度为1,设为内的一个光滑曲面.试求流体通过的的流量.
解,取 的一侧为正侧，每点单位法向量为.
在曲面上任一点处取有向面积微元.则
流体通过流向正侧之流量为
流体通过流向正侧之流量为
=
由此可得到第二型曲面积分的概念.
定义,设是区域上的向量函数,是中的光滑的有向曲面.
对任作一划分,第小片作为有向面积，在三个坐标平面上的投影分别为： 在上任取一点,若和式极限
存在，则称之为在曲面上的第二型曲面积分,记成,=
注,(i) 积分中取值在曲面上;
(ii) 对具体的曲面的定向依据几何图；
(iii) 如果是由有向光滑曲面连接而成的由有向
的逐片光滑曲面,则定义
.
第二型曲面积分也具有方向性,即
其中表示有向曲面的另一侧.
(V) 若将单位法向量表为：
则
这就化成了第一类曲面积分；
如果由参数方程表示,则
于是又有
例1:计算第二型曲面积分
其中为半球面 .
解1,按定义做三个积分，分别计算三个积分,
对于,曲面的方程为 .
(曲面上侧为正,单位法向量与轴正向的夹角余弦为正.)因此
=
对于将分成前后两部分:
在上,单位法向量与轴正向的夹角余弦为正,所以
.
在平面上的投影为
,
,于是
=
对于曲面,单位法向量与轴正向的夹角余弦为负,所以 .
,因为两个积分的积分区域相同,所以有
于是
=
同样的方法可以得到
于是
解2,化成第一类曲面积分:
由 ,其中
.注意到,
所以,
例2:计算积分.其中
是三个坐标面与平面围成的四面体的外表面,
解,
由四片光滑曲面组成.
其中分别是平面上的三角形.
是平面 在第一卦限中的部分.于是
在上,由于是沿下侧积分,而下侧的单位法向量是,并且所以
同样可以得到
在上,所以
=
因而
例3:计算
其中为:外侧.
解1,由于曲面在平面上的投影为一曲线,所以
为了计算另一个积分,将曲面分成两部分,
在 和上,分别有
又,
在平面上的投影为矩形:
所以
解2,化成第一类曲面积分：
因
在上,
取柱面的曲 参数方程,
则.
于是
Gauss 公式
Gauss公式
定理 (Gauss公式):设为有界区域,向量函数
是一个在内连续可微,在上连续的向量函数,.则有
或
其中曲面积分是沿外侧进行的.
证明,只要我分别证明以下三式,
即可完成定理证明.
令证其中第一式,其它两式可以完全类似地证明.
与证明Green 公式类似，首先考虑一种特殊情形,
z
z = f2(x,y)
(
z = f1(x,y)
Dxy
上底和下底分别为
和均为逐片光滑曲面,
在平面上的投影是;
此时由, 组成,外侧为正.
在下底上法向量与与轴成钝角所以
在上底上法向量与与轴成锐角.所以
以上二式相加得到:
=
==
于是对于上述简单情形,定理结论是正确的.
对于一般的区域,可以将其分成若干个小区域
,
使得每一个小区域都属于上面的简单情形,
由已经证明的结论得到
将上式两端分别对于求和,由于在区域内部的那些上,
都是沿其两侧各积分一次,因而互相抵消.所以左端只剩下在上的积分,即
右端求和得到
联合起来的结果,就使定理得证,上式称为Gauss公式.
散度子的物理意义.
假设
是区域上的连续可微向量场,是内一点,是包含在中的一个城,其体积为,该集合之直径为;是其边界的外单位法向量,积分 是向量场通过曲面从的通量或 (的发散量),积分 就是向量场在上的平均发散量(即单位体积的发散量),
如果极限 存在,则称这个极限值,为向量场 在点的散度,记作.
应用Gauss公式得到 在二维情形,设
是区域上的连续可微向量场,则Gauss公式变成
这正是Green公式.可见Gauss公式是Green公式在三维空间的推广.
例1:空间分布着不可压缩流体的连续性方程：
设某流体在一空间域上的流速场：
,
流体的密度和速度考察以点为中心,以为半径的球.在时刻,中所含流体总量等于
=.
这个量对于时间的变化率正是,流体在刻,自内部穿越其边界向外发散速度的负值,即
其中为的外单位法向量.由散度定理得到,得到
上式两端同除以的体积,并且令,便得到
这就是流体动力学中的连续性方程.
例2:利用Gauss公式计算第二型曲面积分
其中为曲面的上侧.
解,为用Gauss公式，先加上
,平面上的圆盘的下侧,
使形成封闭曲面; 为和围成的区域.
又令
则由Gauss公式
=
另一方面
于是由以上两式及Gauss公式得到
例3,液体浮力的阿基米德原理。水的压强是一矩阵：
0 n0 x
dS
(
z
,面积元所受之水压力
=
总压力：
=
利用Gauss公式计算第二型曲面积分
例4,Gauss公式的几种变形：
设 ,二阶连续可导函数.
其中：
证明：
=.
其中,
=
移项后得：
相减而成,
.
例5,设,二阶连续可导函数,若满足
=0,
称之为上的调和函数.
显然，若是上的一个调和函数,则
,
这是调和函数的重要特征。
由此可推：调和函数在内任一点的函数值，由其边界上的值所确定。
持别可证：,
,
.
为此，应用公式：
,
取 ,两者都是调和函数,
再取 ,
由于,,
,
,
用于的任意性,
