第五章 向量分析
Green 公式、平面有势场
5-2-1 Green 公式
5-2-2 第二型曲线积分与路径无关性
5-2-3 势函数与有势场
第十八讲 Green 公式、平面有势场课后作业,
阅读：第五章 第二、三节,Green公式 pp,152---164
预习：第五章 第四节,第二型曲面积分 pp,165---172
作业,习题2,pp.158---159,1,(2),(4),(6),(7); 2; 4; 5.
习题3,pp.164---165,1,(3),(4); ; 4; 5.
5-2 Green 公式、平面有势场
本节专门讨论平面向量场,
5-2-1 Green 公式设,
其中是一个有界区域,
域与边界定向的关系：边界是逐段光滑的简单有向闭曲线(曲线不自相交),其正向是为使区域总在左侧.
定理 (Green公式),设
是一个有界闭区域,其边界是逐段光滑的有向的简单闭曲线;
在上连续、在内部连续可微.
则有,
y
y=y2(x)
L2
A B
y=y1(x) L1
a b x
证明,根据结论,
因此只须分别证明以下两式:
以下只证明其中的第一式.
先考虑一种简单情形,即区域可以表示为下面的形式:
其中是上的连续可微函数.
边界由光滑曲线组成,
将化成累次积分可以得到
=
=
在一般情形,即为任意区域时,可以用辅助线将分成几个小区域.其中每个区域都是上述简单情形,定理得证.
等式称为公式.
例1,利用公式用曲线积分表示平面图形的面积,
例如对于椭圆:,如果令则
例2:计算积分
其中为椭圆的右半部分.,
正向为逆时针方向.
解:设是起,终点分别为的直线.
表示右半椭圆,则由公式得到
=
于是
例3:计算积分.其中为任何包含原点的光滑简单闭曲面,逆时针方向.
解,设为圆周,逆时针为正.为充分小而使其位于之内。记 ,显然有：除原点外
.
对于与所夹环形区域及其边界，用公式得到
=
y
dl dn
D
x
例4,设平面流场，流速向量
,
是一条闭的光滑的有向曲线，
正方是逆时钟方向,
求流出这闭曲线之流量。
v +
dy
(u,v) dx u+
解：流过小弧段
=
直观的解释：
没过边长为的长方形的流量：
,
5-2-2 第二型曲线积分与路径无关性平面曲线积分与路线无关,
设.平面区域上的连续向量场。
如果曲线积分 只与曲线的起点和终点有关,而与曲线本身的路线无关,则称该积分与路线无关,
积分与路线无关的向量场称为有势场或保守场.
定理:为区域, 是上的连续可微的向量场,则以下命题互相等价:
(1),积分 与路线无关;
(2),对于中的任意 闭曲线,有.
(3), 在上有单值的势函数,
即存在可微函数,使得
.
证明,(1)(2)是十分明显的。留给读者。
现证：(1)(3)
(3)(1),今有函数,使得
即 .
对于任意一条起点和终点的逐段光滑有向闭曲线,
假定它们参数方程为,
并且,则有
=
因此积分与路线无关.
(3)(1) 在区域中任意取定一点.
对于中任意一点,是中以为起终点的中任一光滑曲线,定义
由于积分与路线无关,所以函数在上是确定的,
L2
L1
下面证明对任意有：
=.
=
=
由于积分与路线无关,可以按照如图方式取,只要充分小，这是可行的。
这样以来,我们有
=
==
=
=
=
由可微的定义可知,
定理证毕.
原函数：当是时，
即,=是函数的全微分,这时，这时,我们称 的一个原函数,
也称为的向量场的一个势函数;
表达式称为微分形式.
容易证明：一个有势场的势函数(或原函数)不是唯一的,但是任意两个势函数(或原函数)之间差一个常数.
例5,设是平面除掉原点得到的区域.在中,函数
是向量场 的一个势函数,因此对于原点以外的任意两点与任意一条以为起点,以为终点的逐段光滑曲线,有
单连通区域：平面区域为单连通区域,是指内任意一条简单闭曲线所围之域仍在内.
例如,圆盘是单连通区域,但是在其中除去一个点,所剩下的区域不是单连通区域.
连通但非单连通的区域称为复连通区域.
定理,设为平面上的单连通区域,
是上的连续可微向量场,则下列命题互相等价:
(1), 是有势场;
(2), 满足可积性条件：即
,
证明:
由有势函数,即
=.
因为二阶连续可微,故有
设是中任意一条逐段光滑的有向闭曲线,
因为是单连通区域,于是由公式得到
因此根据前边定理立即推出,有单值势函数,定理证毕.
注：可积性条件：
可以用另一种便于推广的、等价的简洁说法,
向量函数的Jacobi矩阵
是对称阵。
5-2-3 求向量场的势函数
如果微分形式有原函数,也就是向量场
有势函数,反之亦然,这两者是是同一个问题.
一个微分形式有原函数，则称之为恰当微分形式。 判断微分形式是否是，根据的是可积性条件：
在条件成立时，如何求原函数呢？有三种方法：
第一：特殊路径积分法：即：
第二：偏积分法：由于
,
即 ,
再由 ,
解出函数 ,
第三：凑微分法
例6,求微分形式 的原函数.
解:首先要验证这个微分形式是否有原函数.由
在整个平面满足:
因此，向量场有势函数,即微分形式有原函数原函数.
第一：特殊路径积分法,
由于积分于路线无关,选择下面的路线进行:
由(0,0)出发,沿轴上的有向线段积分至点,然后沿竖直线段积分至点.于是
也是原函数.
第二：待积分法,
=常数
第二：凑微分法:
=
即,
Green 公式、平面有势场
5-2-1 Green 公式
5-2-2 第二型曲线积分与路径无关性
5-2-3 势函数与有势场
第十八讲 Green 公式、平面有势场课后作业,
阅读：第五章 第二、三节,Green公式 pp,152---164
预习：第五章 第四节,第二型曲面积分 pp,165---172
作业,习题2,pp.158---159,1,(2),(4),(6),(7); 2; 4; 5.
习题3,pp.164---165,1,(3),(4); ; 4; 5.
5-2 Green 公式、平面有势场
本节专门讨论平面向量场,
5-2-1 Green 公式设,
其中是一个有界区域,
域与边界定向的关系：边界是逐段光滑的简单有向闭曲线(曲线不自相交),其正向是为使区域总在左侧.
定理 (Green公式),设
是一个有界闭区域,其边界是逐段光滑的有向的简单闭曲线;
在上连续、在内部连续可微.
则有,
y
y=y2(x)
L2
A B
y=y1(x) L1
a b x
证明,根据结论,
因此只须分别证明以下两式:
以下只证明其中的第一式.
先考虑一种简单情形,即区域可以表示为下面的形式:
其中是上的连续可微函数.
边界由光滑曲线组成,
将化成累次积分可以得到
=
=
在一般情形,即为任意区域时,可以用辅助线将分成几个小区域.其中每个区域都是上述简单情形,定理得证.
等式称为公式.
例1,利用公式用曲线积分表示平面图形的面积,
例如对于椭圆:,如果令则
例2:计算积分
其中为椭圆的右半部分.,
正向为逆时针方向.
解:设是起,终点分别为的直线.
表示右半椭圆,则由公式得到
=
于是
例3:计算积分.其中为任何包含原点的光滑简单闭曲面,逆时针方向.
解,设为圆周,逆时针为正.为充分小而使其位于之内。记 ,显然有：除原点外
.
对于与所夹环形区域及其边界，用公式得到
=
y
dl dn
D
x
例4,设平面流场，流速向量
,
是一条闭的光滑的有向曲线，
正方是逆时钟方向,
求流出这闭曲线之流量。
v +
dy
(u,v) dx u+
解：流过小弧段
=
直观的解释：
没过边长为的长方形的流量：
,
5-2-2 第二型曲线积分与路径无关性平面曲线积分与路线无关,
设.平面区域上的连续向量场。
如果曲线积分 只与曲线的起点和终点有关,而与曲线本身的路线无关,则称该积分与路线无关,
积分与路线无关的向量场称为有势场或保守场.
定理:为区域, 是上的连续可微的向量场,则以下命题互相等价:
(1),积分 与路线无关;
(2),对于中的任意 闭曲线,有.
(3), 在上有单值的势函数,
即存在可微函数,使得
.
证明,(1)(2)是十分明显的。留给读者。
现证：(1)(3)
(3)(1),今有函数,使得
即 .
对于任意一条起点和终点的逐段光滑有向闭曲线,
假定它们参数方程为,
并且,则有
=
因此积分与路线无关.
(3)(1) 在区域中任意取定一点.
对于中任意一点,是中以为起终点的中任一光滑曲线,定义
由于积分与路线无关,所以函数在上是确定的,
L2
L1
下面证明对任意有：
=.
=
=
由于积分与路线无关,可以按照如图方式取,只要充分小，这是可行的。
这样以来,我们有
=
==
=
=
=
由可微的定义可知,
定理证毕.
原函数：当是时，
即,=是函数的全微分,这时，这时,我们称 的一个原函数,
也称为的向量场的一个势函数;
表达式称为微分形式.
容易证明：一个有势场的势函数(或原函数)不是唯一的,但是任意两个势函数(或原函数)之间差一个常数.
例5,设是平面除掉原点得到的区域.在中,函数
是向量场 的一个势函数,因此对于原点以外的任意两点与任意一条以为起点,以为终点的逐段光滑曲线,有
单连通区域：平面区域为单连通区域,是指内任意一条简单闭曲线所围之域仍在内.
例如,圆盘是单连通区域,但是在其中除去一个点,所剩下的区域不是单连通区域.
连通但非单连通的区域称为复连通区域.
定理,设为平面上的单连通区域,
是上的连续可微向量场,则下列命题互相等价:
(1), 是有势场;
(2), 满足可积性条件：即
,
证明:
由有势函数,即
=.
因为二阶连续可微,故有
设是中任意一条逐段光滑的有向闭曲线,
因为是单连通区域,于是由公式得到
因此根据前边定理立即推出,有单值势函数,定理证毕.
注：可积性条件：
可以用另一种便于推广的、等价的简洁说法,
向量函数的Jacobi矩阵
是对称阵。
5-2-3 求向量场的势函数
如果微分形式有原函数,也就是向量场
有势函数,反之亦然,这两者是是同一个问题.
一个微分形式有原函数，则称之为恰当微分形式。 判断微分形式是否是，根据的是可积性条件：
在条件成立时，如何求原函数呢？有三种方法：
第一：特殊路径积分法：即：
第二：偏积分法：由于
,
即 ,
再由 ,
解出函数 ,
第三：凑微分法
例6,求微分形式 的原函数.
解:首先要验证这个微分形式是否有原函数.由
在整个平面满足:
因此，向量场有势函数,即微分形式有原函数原函数.
第一：特殊路径积分法,
由于积分于路线无关,选择下面的路线进行:
由(0,0)出发,沿轴上的有向线段积分至点,然后沿竖直线段积分至点.于是
也是原函数.
第二：待积分法,
=常数
第二：凑微分法:
=
即,
