第六章 定积分
(The definite integration )
第十四讲 定积分概念及性质课后作业,
阅读：第六章6.1,6.2,pp158---166;
预习：6.3,6.4,pp168---182.
练习 pp.166---168,习题 6.2,1,(1),(3); 2; 3,(1); 4,(1),(3),(5);
5,(1),(5),
作业pp.166---168,习题 6.2,1,(5); 3,(2); 4,(2),(4),(6);
5,(2),(3),(6); 6; 7,
6-1定积分概念与性质
6-1-1 问题引入
一 定积分(Riemann)的背景,两个曲型问题。
求曲线所围的面积:
函数在有界区间非负连续,由轴、直线、()以及曲线所围成的平面图形称为曲边梯形,如何求曲边梯形的面积?
分划区间,求得近似:
即：在中任意插入一组点,
将分割为若干个子区间
.
将曲边梯形分成个细条.
又任取一点,
;
将第个细条近似看成是以小区间为底,为高的矩形,
于是第个细条的面积
,,.
整个曲边梯形的面积
.
无限分细，求取极限:
从直观上看,分点越密,各个的最大值越小,和式 就越接近于曲边梯形的面积,当各个的最大值=趋向于零时,如果和式的极限
存在,则这个极限就应该是曲边梯形的面积.
己知速度求路程：
今己知质点作直线运动，其速度函数,求在时段上的位移.
第一，分划区间，求得近似/;
即：在中任意插入一组 点,
将分割为若干个子区间 .
将此时段当作以速度作等速运动,其,
于是第时段内的位移
,,.
整个位移的近似值,.
无限分细，求取极限:
从常理想像,当各个小时段的最大值=趋向于零时,如果和式的极限
存在,则这个极限就应该是时段的位移.
6-1-2 定积分概念 例
(一) 黎曼积分的定义
设函数,在区间上任分、任取构成积分和式
，即:
将任作一分划，即 在中插入一组点
,
将 分割为n个子区间,;
任意取 ,构造和式
,
其中，,=
如果和式极限
存在,则称函数在(黎曼)可积,记作.该极限值称为在的定积分(值),记为：
.
经常用到的述语：
,被积函数; 积分区间,
分别称为积分上、下限;
,被积分式,,积分变量。
由上述定义可知,黎曼积分是一个特殊的极限,这个极限过程以较复杂,变化过程是指所有子区间的最大长度趋向于零,其极限的存在与任何分划和任何取法都没有关系。
(二)例 1 求=?
解：(1) 做等分划：将n等分,今=,取;
做和式：;
因有：,
=;
.
(2)求极限,=
=1
是否真有 =1?
(三)定积分的几何意义
定积分的几何意义是，
曲边梯形面积的代数和.
由此可知：
; ;
,等等。
(四) 定积分的值与积变量的记号无关，
即,若 ,则 .
6-1-3 定积分基本性质
定积分是一种极限，因此其性质与极限性质密切相关。
性质一,积分的线性性质:
若,则对于任意常数,有
;
性质二：关于区间的可加性
若,,则,,并且
;
证明,只要保持是一个分点即可。
在定义中要求，但可以推广到的情形。
规定,
推论：这时对区间可加性可推广：设,,
性质三：积分的不等式性质
设,若,则
,
证明：直接来自极限的保不等式性质。
注意若 则反号了！
推论1：设,,若,则
推论2：设但不恒为零,则,则
,()
推论3：设,则,并且
.
证明：(1) 证,要用到可积的充要条件，这将在微积分(II)中介绍。若有了的可积性这一结果,则：
(2).因为
性质四：(估值定理) 设,若,则
证明：,
取极限得：.
性质五：积分中值定理,设,则存在,满足
.
证明,,
,
.
例2,估计积分 的上下界。
解：
推论1,在积分中值定理可得较好结果,
设,则存在,满足
证明：若有
,
否则与性质三的推论二矛盾。
推论2,推广的积分中值定理,
设,,,在
不变号,则,使得
如果则存在,使
性质六：Riemann积分存在的必要条件：
若 在中必有界。
例3,求证
证明,,由积分中值定理,存在,使得
因为,从而
.
对 如下证明对不对？
,由积分中值定理,存在,使得
因为,从而
.
这个证明对不对？
不对！因为中值点与n有关。
例2,设,,如果 ,
求证.
证明1,反证,设在不恒等于零,则存在,使得,不妨设.这时存在正数,使得在区间上恒有,
由于函数非负,所以
=
这与假设冲突,因此.
6-1-4 可积函数类连续函数可积：,则存在.
只有有限间断点的有界函数可积：
设是有界函数,只在是间断点,则
存在.
单调函数可积,设是单调函数,存在.
(4) 若,则.
(5) 若在上除有限点外都是零，则,
推论,若存在,而只在有限点上与不同，则
.
若,定积分是否存在？
Dirichlet函数,,
定积分是否存在？
若,
定积分存在。
(The definite integration )
第十四讲 定积分概念及性质课后作业,
阅读：第六章6.1,6.2,pp158---166;
预习：6.3,6.4,pp168---182.
练习 pp.166---168,习题 6.2,1,(1),(3); 2; 3,(1); 4,(1),(3),(5);
5,(1),(5),
作业pp.166---168,习题 6.2,1,(5); 3,(2); 4,(2),(4),(6);
5,(2),(3),(6); 6; 7,
6-1定积分概念与性质
6-1-1 问题引入
一 定积分(Riemann)的背景,两个曲型问题。
求曲线所围的面积:
函数在有界区间非负连续,由轴、直线、()以及曲线所围成的平面图形称为曲边梯形,如何求曲边梯形的面积?
分划区间,求得近似:
即：在中任意插入一组点,
将分割为若干个子区间
.
将曲边梯形分成个细条.
又任取一点,
;
将第个细条近似看成是以小区间为底,为高的矩形,
于是第个细条的面积
,,.
整个曲边梯形的面积
.
无限分细，求取极限:
从直观上看,分点越密,各个的最大值越小,和式 就越接近于曲边梯形的面积,当各个的最大值=趋向于零时,如果和式的极限
存在,则这个极限就应该是曲边梯形的面积.
己知速度求路程：
今己知质点作直线运动，其速度函数,求在时段上的位移.
第一，分划区间，求得近似/;
即：在中任意插入一组 点,
将分割为若干个子区间 .
将此时段当作以速度作等速运动,其,
于是第时段内的位移
,,.
整个位移的近似值,.
无限分细，求取极限:
从常理想像,当各个小时段的最大值=趋向于零时,如果和式的极限
存在,则这个极限就应该是时段的位移.
6-1-2 定积分概念 例
(一) 黎曼积分的定义
设函数,在区间上任分、任取构成积分和式
，即:
将任作一分划，即 在中插入一组点
,
将 分割为n个子区间,;
任意取 ,构造和式
,
其中，,=
如果和式极限
存在,则称函数在(黎曼)可积,记作.该极限值称为在的定积分(值),记为：
.
经常用到的述语：
,被积函数; 积分区间,
分别称为积分上、下限;
,被积分式,,积分变量。
由上述定义可知,黎曼积分是一个特殊的极限,这个极限过程以较复杂,变化过程是指所有子区间的最大长度趋向于零,其极限的存在与任何分划和任何取法都没有关系。
(二)例 1 求=?
解：(1) 做等分划：将n等分,今=,取;
做和式：;
因有：,
=;
.
(2)求极限,=
=1
是否真有 =1?
(三)定积分的几何意义
定积分的几何意义是，
曲边梯形面积的代数和.
由此可知：
; ;
,等等。
(四) 定积分的值与积变量的记号无关，
即,若 ,则 .
6-1-3 定积分基本性质
定积分是一种极限，因此其性质与极限性质密切相关。
性质一,积分的线性性质:
若,则对于任意常数,有
;
性质二：关于区间的可加性
若,,则,,并且
;
证明,只要保持是一个分点即可。
在定义中要求，但可以推广到的情形。
规定,
推论：这时对区间可加性可推广：设,,
性质三：积分的不等式性质
设,若,则
,
证明：直接来自极限的保不等式性质。
注意若 则反号了！
推论1：设,,若,则
推论2：设但不恒为零,则,则
,()
推论3：设,则,并且
.
证明：(1) 证,要用到可积的充要条件，这将在微积分(II)中介绍。若有了的可积性这一结果,则：
(2).因为
性质四：(估值定理) 设,若,则
证明：,
取极限得：.
性质五：积分中值定理,设,则存在,满足
.
证明,,
,
.
例2,估计积分 的上下界。
解：
推论1,在积分中值定理可得较好结果,
设,则存在,满足
证明：若有
,
否则与性质三的推论二矛盾。
推论2,推广的积分中值定理,
设,,,在
不变号,则,使得
如果则存在,使
性质六：Riemann积分存在的必要条件：
若 在中必有界。
例3,求证
证明,,由积分中值定理,存在,使得
因为,从而
.
对 如下证明对不对？
,由积分中值定理,存在,使得
因为,从而
.
这个证明对不对？
不对！因为中值点与n有关。
例2,设,,如果 ,
求证.
证明1,反证,设在不恒等于零,则存在,使得,不妨设.这时存在正数,使得在区间上恒有,
由于函数非负,所以
=
这与假设冲突,因此.
6-1-4 可积函数类连续函数可积：,则存在.
只有有限间断点的有界函数可积：
设是有界函数,只在是间断点,则
存在.
单调函数可积,设是单调函数,存在.
(4) 若,则.
(5) 若在上除有限点外都是零，则,
推论,若存在,而只在有限点上与不同，则
.
若,定积分是否存在？
Dirichlet函数,,
定积分是否存在？
若,
定积分存在。
