第七章 定积分
( The definite integration )
7-1定积分概念与性质
7-2 可积性与可积函数类
6-3 Newton－Leibniz公式
7-4 定积分的计算方法
7-5 定积分的应用
7-5-1 定积分应用的两种思想
7-5-2 定积分在几何方面的应用
7-5-3 定积分在物理方面的应用
7-6 广义积分
7-6-1 在无穷区间上的广义积分
7-6-2 在无穷区间上的广义积分
7-6-3 应用
第十九讲 定积分的应用课后作业,
阅读：第七章 7.6,pp269---285; 7.7,pp.288---295
预习：7.8,pp,296---310
练习 pp.286---287,习题 7.6
全部复习题，习题 1,(1),(2); 2,(1); 3,(1),(2);4;6;
7(1),(2);8;9(1);10,(1),(2);11(1)
pp.295---296,习题 7.7
1; 2(1);3; 5; 7
作业,pp.286---287,习题 7.6
习题 1,(3),(4),(5); 2,(2),(3),(4); 3; 5;7(3)
9(2); 10(3);11(2);12
pp.295---296,习题 7.7
习题 2(2); 4; 6; 9
7-5 定积分的应用
7-5-1 定积分应用的两种思想
定积分问题的持征：
定积分量是区间的函数:，具有对区间的可加性:
即，若和内部之交为空集,则有
。
解决定积分问题的两种思路：
元素相加法,利用定积分定义一个量。
分小取近似,;
求和取极限:

微元分析法,通过分析末知函数的增量求出其微分的方法。
分小取微分,;
积分求增量,.
7-5-2 定积分在几何方面的应用求平面图形的面积：
1)平面图形的面积是什么？
看作己知面积的图形对该图形“度量”的结果。可称之为“测度”。
设欲度量的图形为，通常做法是用两种多边形和,其面积分别为
,,使得,,取 ,.
如果有,显然可认为图形的面积是,
2)各种坐标系下的计算公式？
在直角坐标系下：
;
,
其中,
在参数方程表示下：
,
=
在极坐标系下：
; 

3)例1,双曲线,,
求双曲线弧MNM’0M
所围图形的面积。




所求面积
进一步： ,
由  ;
解出：
例2,,,椭圆渐屈线所围面积。

=
例3,求叶形线在第一象限中的面积。
化成极坐标。,.
 
设,利用广义积分可得：

求曲线的弧长：
1,曲线的长度是什么？
非封闭曲线的弧长可作为其内折线长,在子弧最大直径趋于零时的极限。
2,各种坐标系下的计算公式？
在直角坐标系下：
;


在参数方程表示下：
,



在极坐标系下：
;
,
3)例,
例1,悬链线的弧长.
.
例2,星形线的弧长.
=
例3,蜗线的弧长.

=
=
例3,椭圆的弧长.
用参数方程,


求特殊图形的体积:
若体积的截面积函数己知,则
.
例，两个半径为的园柱体，其轴垂直相交，
求相交部分之体积。

.
令
.
平面曲线,绕x轴旋转一周而成的体积。
切片,  
卷筒,
 
平面曲线,绕x轴旋转一周而成的表面积。
, 
7-5-3 定积分在物理方面的应用作功问题,力F,位移s,力与位移夹角的佘弦

,
例如，,

重心问题平面图形的重心：
矩 ,
=,=
,
平面曲线的重心：
矩 ,
,,,
,
迥转体的体积与旋转面重心的关系：


由图形绕x轴旋转而成的旋转体体积V,等于图形面积乘重心的y坐标为半径的圆周长。
迥转弧表面积与旋转弧重心的关系:


由曲线绕x轴旋转而成的旋转面表面积S,等于曲线弧长乘重心的y坐标为半径的圆周长。
迥转体表面积的重心
例，关于球的体积。面积，球冠重心的计算
y
R
x2 + y2 =R2
-R 0 x x+△x R
-R
1,体积,
切片,
,

y
R
x2 + y2 =R2
-R 0 x x+△x R
-R
=
=
卷筒
,
y
R
x2 + y2 =R2
△(
-R 0 ( R
=
=
包锥
,
y
R
x2 + y2 =R2 dl
-R 0 x x+△x R
=
2,球面面积,


y
R A dl
Q P(x,y)
-R 0 x x+△x R
G
-R
=
==
比例:
在 和 中



~,

求半园弧的重心:
; 
; .
上半园弧的重心,.