第六章 不定积分
(The indefinite integration )
6-1 原函数和不定积分
6-2 不定积分方法
6-2-1 变量置换法
6-2-2 分部积分法
6-3 有理函数的积分
6-3-1 最简分式的积分
6-3-2 有理函数的积分
6-4 其他可积成有限形式的函数类
6-4-1 三角有理式的积分
6-4-2 简单根式的积分
6-4-3 不能积成有限形式的积分第十五讲 积分方法及“可积”函数类课后作业,
阅读：第六章6.2,pp214---216; 6.3-6.5,pp218---236;
预习,
练习 pp.216---217,习题 6.2
习题 1(17)---(30) 中的单号题;
p.223,习题 6.3
习题 1; 2; 3; 6; 7; 9; 12; 14; 15; 16; 18; 20
p.231,习题 6.4
习题 1; 2; 4; 5; 6; 7; 9; 10; 11; 12; 15; 16; 17; 20
p.236,习题 6.5
习题 1; 2; 4; 6; 7; 9; 10; 12; 13
作业 pp.216---217,习题 6.2
习题 1(17)---(30) 中的双号题; 2
p.223,习题 6.3
习题 4; 5; 8; 10; 11; 13; 17; 19; 21; 22
p.231,习题 6.4
习题 3; 8; 13; 14; 18; 19;
p.236,习题 6.5
习题 3; 5; 8; 11; 14; 15
6-2 不定积分方法
6-2-1 变量置换法凑微分法是通过局部的积分,即,将欲求的积分向己有的积分公式转化.
这是实际上是作了一个变量置换：,将
,
如果凑微分目标不明，亦可先用变量置换先化简被积分式子，即引进新的自变量,将积分
=.
如果能够求出函数的原函数,并且反函数存在,于是就得到不定积分;
=.
或者即使问题没有马上解决但被积分式比原来的简单,也是进了一步。
定理：若可导，且有反函数,则有
=.
t
a
x
这就是不定积分的变量置换法。要注意的是，最后结果应换回最原始的自变量。
例1,求
解,(1) 设变量，换被积分式:
令,则
,
(2)算积分
=
(3) 回代自变量
,得 ,,
例2,求
解,(1) 设变量，换被积分式:
令,则,
(2)算积分
==
(3) 回代自变量
,
,
6-2-2 分部积分法
分部积分法是由函数乘积求导公式导出的求原函数的公式，运用它可以将一个积分换成另一个积分。
假定函数可微,则
由此得到
两端积分得到
这就是分部积分公式,它将两个积分互相转化,只要能求出其中一个,就能求出另一个。在实用中是希望将其中一个较难的积分转化为另一个较为简单的积分.具体分析一下这两个积分,
什么函数微分后会“简单”些？ 宜于取作
幂函数; 对数函数； 反正弦、反正切函数.
什么函数积分后会“简单”些？ 宜于取作
经积分微分后会“简单”情况不变的函数,可作,亦可为
正弦、佘弦函数，指数函数
例3:求
解,取,
=
=
例4:求
解,=
对于再运用分部积分公式,
=
于是
由以上两个例子看出,对于形如
的积分运用分部积分公式时,需要取
,,,.
例5:求
解,==
例6,求
解,
例7,求
解：=
=
=
.
类似典型题有：
==
=
=;
例8,求
解,
=
得到递推公式:
利用容易求得的
,
就可以利用上面得到的递推公式计算 ,
对于分部积分有三种典型类：
是多项式函数；是有理分式函数.
第一种，化简型：如
; ;
;
第二种，循环型：如
; ;
;
第三种，递推型：如
; ;
在基本积分表中加上几个公式：
( );
( );
( );
6-3 有理函数的积分
6-3-1 最简分式的积分
设为多项式,则分式称为有理式,任意有理式都都能表示成最简分式和，所谓最简分式是：
(1) ; (2) ;
(3) ;
(4) ,
这些函数的不定积分总有有限形式。
例9.,形如的积分
(1) 如果,则有两个相异实根,这时
=
(2) 如果,则有重根,这时
=
(3) 如果,则没有实根,此时
=
例10,形如的积分(),首先将积分改写成
其中第一个积分为
第二个积分
例12,形如的积分,首先将积分改写成
=
其中第二个积分可以用可以按照前例说明的方法求解.
例13:求
解,
例14,求
解,=
=
=
==
6-3-2 有理函数的积分
一般有理分式的积分做法是：先用代数方法将化成最简分式之和，再运用己有公式求之。从这里可知：
有理分式函数总有有限形式的原函数，而且其原函数只可能包括以下三类函数：有理分式函数，对数函数，反正切函数。
例14,求
解1,=
=.
通分后比较分子，得恒等式：
;
比较的同等幂系数，得五个关于系数的线性方程，解之而得：
;
.
;
;
=;
解2,=
=
==
=.
其中：
==
解3,
==
=
=
=
其中：
==
6-4 其他可积成有限形式的函数类
6-4-1 三角有理式的积分
由经有限次四则运算得到的函数,记作称为三角有理式,三角有理函数的积分
借助于万能变换,
,
可以其变为的有理函数积分
=.
求出这个积分之后,用代入就求出结果,
对于
可用 ,
=
但是,一些常见的、简单的情形不需要这样的繁琐运算.在求三角有理式积分时,最常用的方法是用三角恒等时对本积函数进行变形简化,最后求得结果.
例15:求
解,
相同的方法可以得到
=
=
=
例17:求
解,=
例17,求
解,方法1,=
=
=
方法2,=
=
例18,求的递推公式(正整数)
解,求递推公式一般用分部积分法
所以
,
将换成,就得到
6-4-2 简单根式的积分
解决这个问题的基本思路是，利用变量置换使其“有理化”。
如,
这只要去掉根号就行：
若 ,则
若 ,则
=
这均可以利用三角变换将其化成三角有理式的积分问题。
又如,,
先令 ,,
=,
这样就化成只含二次三项式根式的形式。
若 则作一次变换就行了。
这种变换成有理式的思路可以用于许多函数类：
再如：对 ,可令 ,,.
==。
当然，在做具体题目时，一定要具体分析，不能完全套用类型。
例19,==
=
*=
=
=
对*第二个积分：令 ,
对*第三个积分：令 ,
==
=
6-4-3 不能积成有限形式的积分
在某个区间连续的函数(在这个区间上)一定有原函数.但是,在初等函数中,只有很少的一部分函数存在初等原函数.大多数初等函数的原函数虽然存在,但是却不是初等函数.例如下列函数的原函数都不是初等函数,,,,
,,
一般情形下， 不是初等函数
(The indefinite integration )
6-1 原函数和不定积分
6-2 不定积分方法
6-2-1 变量置换法
6-2-2 分部积分法
6-3 有理函数的积分
6-3-1 最简分式的积分
6-3-2 有理函数的积分
6-4 其他可积成有限形式的函数类
6-4-1 三角有理式的积分
6-4-2 简单根式的积分
6-4-3 不能积成有限形式的积分第十五讲 积分方法及“可积”函数类课后作业,
阅读：第六章6.2,pp214---216; 6.3-6.5,pp218---236;
预习,
练习 pp.216---217,习题 6.2
习题 1(17)---(30) 中的单号题;
p.223,习题 6.3
习题 1; 2; 3; 6; 7; 9; 12; 14; 15; 16; 18; 20
p.231,习题 6.4
习题 1; 2; 4; 5; 6; 7; 9; 10; 11; 12; 15; 16; 17; 20
p.236,习题 6.5
习题 1; 2; 4; 6; 7; 9; 10; 12; 13
作业 pp.216---217,习题 6.2
习题 1(17)---(30) 中的双号题; 2
p.223,习题 6.3
习题 4; 5; 8; 10; 11; 13; 17; 19; 21; 22
p.231,习题 6.4
习题 3; 8; 13; 14; 18; 19;
p.236,习题 6.5
习题 3; 5; 8; 11; 14; 15
6-2 不定积分方法
6-2-1 变量置换法凑微分法是通过局部的积分,即,将欲求的积分向己有的积分公式转化.
这是实际上是作了一个变量置换：,将
,
如果凑微分目标不明，亦可先用变量置换先化简被积分式子，即引进新的自变量,将积分
=.
如果能够求出函数的原函数,并且反函数存在,于是就得到不定积分;
=.
或者即使问题没有马上解决但被积分式比原来的简单,也是进了一步。
定理：若可导，且有反函数,则有
=.
t
a
x
这就是不定积分的变量置换法。要注意的是，最后结果应换回最原始的自变量。
例1,求
解,(1) 设变量，换被积分式:
令,则
,
(2)算积分
=
(3) 回代自变量
,得 ,,
例2,求
解,(1) 设变量，换被积分式:
令,则,
(2)算积分
==
(3) 回代自变量
,
,
6-2-2 分部积分法
分部积分法是由函数乘积求导公式导出的求原函数的公式，运用它可以将一个积分换成另一个积分。
假定函数可微,则
由此得到
两端积分得到
这就是分部积分公式,它将两个积分互相转化,只要能求出其中一个,就能求出另一个。在实用中是希望将其中一个较难的积分转化为另一个较为简单的积分.具体分析一下这两个积分,
什么函数微分后会“简单”些？ 宜于取作
幂函数; 对数函数； 反正弦、反正切函数.
什么函数积分后会“简单”些？ 宜于取作
经积分微分后会“简单”情况不变的函数,可作,亦可为
正弦、佘弦函数，指数函数
例3:求
解,取,
=
=
例4:求
解,=
对于再运用分部积分公式,
=
于是
由以上两个例子看出,对于形如
的积分运用分部积分公式时,需要取
,,,.
例5:求
解,==
例6,求
解,
例7,求
解：=
=
=
.
类似典型题有：
==
=
=;
例8,求
解,
=
得到递推公式:
利用容易求得的
,
就可以利用上面得到的递推公式计算 ,
对于分部积分有三种典型类：
是多项式函数；是有理分式函数.
第一种，化简型：如
; ;
;
第二种，循环型：如
; ;
;
第三种，递推型：如
; ;
在基本积分表中加上几个公式：
( );
( );
( );
6-3 有理函数的积分
6-3-1 最简分式的积分
设为多项式,则分式称为有理式,任意有理式都都能表示成最简分式和，所谓最简分式是：
(1) ; (2) ;
(3) ;
(4) ,
这些函数的不定积分总有有限形式。
例9.,形如的积分
(1) 如果,则有两个相异实根,这时
=
(2) 如果,则有重根,这时
=
(3) 如果,则没有实根,此时
=
例10,形如的积分(),首先将积分改写成
其中第一个积分为
第二个积分
例12,形如的积分,首先将积分改写成
=
其中第二个积分可以用可以按照前例说明的方法求解.
例13:求
解,
例14,求
解,=
=
=
==
6-3-2 有理函数的积分
一般有理分式的积分做法是：先用代数方法将化成最简分式之和，再运用己有公式求之。从这里可知：
有理分式函数总有有限形式的原函数，而且其原函数只可能包括以下三类函数：有理分式函数，对数函数，反正切函数。
例14,求
解1,=
=.
通分后比较分子，得恒等式：
;
比较的同等幂系数，得五个关于系数的线性方程，解之而得：
;
.
;
;
=;
解2,=
=
==
=.
其中：
==
解3,
==
=
=
=
其中：
==
6-4 其他可积成有限形式的函数类
6-4-1 三角有理式的积分
由经有限次四则运算得到的函数,记作称为三角有理式,三角有理函数的积分
借助于万能变换,
,
可以其变为的有理函数积分
=.
求出这个积分之后,用代入就求出结果,
对于
可用 ,
=
但是,一些常见的、简单的情形不需要这样的繁琐运算.在求三角有理式积分时,最常用的方法是用三角恒等时对本积函数进行变形简化,最后求得结果.
例15:求
解,
相同的方法可以得到
=
=
=
例17:求
解,=
例17,求
解,方法1,=
=
=
方法2,=
=
例18,求的递推公式(正整数)
解,求递推公式一般用分部积分法
所以
,
将换成,就得到
6-4-2 简单根式的积分
解决这个问题的基本思路是，利用变量置换使其“有理化”。
如,
这只要去掉根号就行：
若 ,则
若 ,则
=
这均可以利用三角变换将其化成三角有理式的积分问题。
又如,,
先令 ,,
=,
这样就化成只含二次三项式根式的形式。
若 则作一次变换就行了。
这种变换成有理式的思路可以用于许多函数类：
再如：对 ,可令 ,,.
==。
当然，在做具体题目时，一定要具体分析，不能完全套用类型。
例19,==
=
*=
=
=
对*第二个积分：令 ,
对*第三个积分：令 ,
==
=
6-4-3 不能积成有限形式的积分
在某个区间连续的函数(在这个区间上)一定有原函数.但是,在初等函数中,只有很少的一部分函数存在初等原函数.大多数初等函数的原函数虽然存在,但是却不是初等函数.例如下列函数的原函数都不是初等函数,,,,
,,
一般情形下， 不是初等函数
