第五章 向量分析
习题讨论,曲线、曲面积分的计算
习题讨论题计算积分：,.
2,计算积分：,
沿任一条不与轴相交的曲线。
3,计算,其中 ,
,为包围原点的闭曲线。
4,计算,,
其中,外法线为曲面正向。.
5,设函数满足条件：
,为正整数,
曲面:,与平面 ,所围区域为,取外法线作正向,计算：
.
6,计算,,
从正z轴方向看,的正向为反时钟方向。
7,设是闭域上的调和函数，即满足方程：
。
若,求
,
其中，是矢径，即,,
是的法线方向。
若是任一不包含原点作为内点的闭域,求 .
若是任一包含原点作为内点的闭域,求
若是任一包含点作为内点的闭域,求,,
其中，是以为起点的矢径，即
,,
是的法线方向。
参考解答计算积分：,.
解1,作坐标变换，将z轴变成平面的单位法向量,再在平面上取两个正交的向量,
和,
再单位化，以构成新坐标系,
,
过渡矩阵 由 新坐标系三个点在旧坐标系中的坐标形成如下：
,,


因为是正交阵，,
因此，

,即 
=

=
解二：由对称性可知：

.
2,计算积分：,
沿任一条不与轴相交的曲线。
解：由于,
=
=
=
=,

=
3,计算,其中 ,
,为包围原点的闭曲线。
解：由可知，仅有原点使.

=
=,
易于验证：
I= =
==
=,
因
,

=.
4,计算,,
其中,外法线为曲面正向。.
解：由对称性可知：,
且  ,
=
=
=


,
.
5,设函数满足：,为正整数,
曲面:,与平面 ,所围区域为,取外法线作正向,计算：
.
解,设

在曲面上,
= 
在平面上,=
= 
=
==
这里，是原点到平面的距离，是曲面在平面上切下图形的面积,另一方面，由Gauss 公式有：
=
,
即所围体积,.
6,计算,,
从正z轴方向看,的正向为反时钟方向。
解1：直接计算：做的参数方程：



=
,
解2：利用Stokes 公式计算：
=
=
=
7,设是闭域上的调和函数，即满足方程：。
若,求
,
其中，是矢径，即,,
是的法线方向。
若是任一不包含原点作为内点的闭域,求 .
若是任一包含原点作为内点的闭域,求
若是任一包含点作为内点的闭域,求,,
其中，是以为起点的矢径，即
,,
是的法线方向。
解,设 ,,则有：
;
,
若,则此时
,.
在,中
首先，
=
再者，
=.
最后：=
若是任一不包含原点作为内点的闭域,则对

可利用Gauss公式。
注意,
,

首先，
=
=
=
再者，
=
=.
最后：
=(
= 0(0 = 0
若是任一包含原点作为内点的闭域,
在内作以原点为球心半径为的球
=
=
==
其中，,
.
若是任一包含点作为内点的闭域,
是以为起点的矢径，即
,,
是的法线方向。则
,