第六章 不定积分
(The indefinite integration )
6-1 原函数和不定积分
6-1-1 原函数概念及性质
6-1-2 不定积分概念及性质
5-1-3 基本积分表及凑微分法
6-2 不定积分方法
6-2-1 变量置换法
6-2-2 分部积分法
6-3 有理函数的积分
6-3-1 最简分式的积分
6-3-2 有理函数的积分
6-4 其他可积成有限形式的函数类
6-4-1 三角有理式的积分
第十四讲 原函数及不定积分课后作业,
阅读：第六章6.1,pp206---210; 6.2,pp211---214;
预习：第六章6.2,pp214---216; 6.3,pp218---222; 6.4,pp224---230;
练习 pp.210---211,习题 6.1
复习题全部；习题 1; 2; 3(1)---(8);
pp.216---217,习题 6.2
习题 1(1)---(16) 中的单号题;
作业 pp.210---211,习题 6.1 4; 5;
pp.216---217,习题 6.2
习题 1(1)---(16) 中的双号题;
引言：
运算与其逆运算；
问题与其反问题。
6-1 原函数和不定积分
6-1-1 原函数概念及性质
(一) 原函数概念
定义 如果在某区间上恒有,则称是
在区间上的一个原函数.
例如,在区间,是的一个原函数;
在区间,是的一个原函数.
在区间,,是的一个原函数;
也是的一个原函数等等,
因,可知：
是在上的原函数,也是在
上的原函数
注：一个函数在某区间I上是否存在原函数，这有侍下一章研究，但有一个重要结论：在一区间上连续的函数一定有原函数。
(二) 原函数的性质
性质一：都是在区间上的原函数,则存在常数,使得.或者说，同一函数的两个原函之间只差一个常数。
证明, 是在区间上的两个原函数
 
 
 .
性质二：若都是在区间上的一个原函数,则
函数集合是的所有原函数。
证明,首先,,

,;
再者,
 ,
 .
重要结论,若在区间上存在原函数,则在区间
上的所有原函数都可以写成的形式.
6-1-2 不定积分概念及性质不定积分定义,如果在区间上存在原函数,则所有原函
数的集合 ,称为在区间
上的不定积分.记作 或写成：

(二) 不定积分的性质
性质一,求不定积分是求导数微分的逆运算：即
(1) 若有原函数,
则 ,.
（2）若 ,可导,且导函数连续,则
,
定理,(不定积分运算的线性性) 若有原函数,则
（1）
(2）若，则
例1,在区间,是的原函数,;
在区间,是的原函数,;
例2:设,求在区间上的不定积分.
解,在区间上,是的所有原函数;
在区间上,是的所有原函数.由于任一原函数在区间内可导，当然连续,由此条件可知，只有当,时，

在区间才连续可微,且处处有.
因此在区间是的一个原函数.且

5-1-3 基本积分表及凑微分法
由于求不定积分是求微分的逆运算，因此任何一个微分公式，反过来就是一个求不定积分的公式。
(一) 基本积分表
以下是基本初等函数微分公式变来的，称为基本积分表.
(1) 
(2) 
(3)  ()
(4) 

(5) ,(
(6) ,(
(7) ,

(8) ,

(9) ,( )
**,
(11) ,(
(12) **,(
例3 求不定积分
解：=
例5 求不定积分
解:利用三角恒等式得到

.
例6 求不定积分
解,==
=
=
凑微分法(第一换元法)
凑微分法学名称第一换元积分法,它是由复合函数微分公式在不定积分中的运用。
,且连续可导
 
,
即，就是的原函数.因此得到结论:
定理:(凑微分法) 若,连续可导，则

例7 求不定积分
解：令 ,

例8,求不定积分
解,令,则有
;
;
;

例9,求不定积分和.
解,.
因为,所以有

同样的方法可以得到,
凑微分法的基本思路是，先做小积分，即，使得

凑成己有的积分公式形式。
常用凑微分公式,
,;
,
, ;
,,
,.
例10,求不定积分和.
解,


 

同样的方法可以得到
;


例4:求不定积分
解:由于,

=
例11:求.
解:因为,所以
.



例12:求
解:因为,所以

例13,
例14,

例15,
例16,
=