第六章 定积分
(The definite integration )
第十五讲 Newton－Leibniz公式与定积分的计算课后作业,
阅读：第六章6.3,pp168---174,
预习：6.4,6.5,6.6,pp176---193.
练习 pp.174---176,习题 6.3,1,7,8中的单数序号小题,
作业 pp.174---176,习题 6.3,1,(2),(6); 2,(2); 4; 5; 7,(4^,(6),(10),
(12); 8,(4),(8); 9,11; 12; 14; 16; 17; 20,
6-3 牛顿(Newton)－莱布尼兹(Leibnitz)公式
6-3-1 变上限定积分
(一 )变上限积分
设,, 是定义在上的一个函数,称之为变上限积分.
这里有一个十分重要的结果：变上限积分总是连续函数。
定理,若 。
证明,  在上有界，设界为,
,
.
进一步，若加强条件，则有另一个重要结论。
定理,设,则,()可导，且:
,；
这样在区间上是的一个原函数.
证明,,有
=
=

因在连续,由积分中值定理,存在,使
, 在和之间,


当为时,可以。分别用右、左导数定义类似地证明。
显然地，有以下结果：若,,
,
,
,

==
例1,求极限 
解:由洛比塔法则,
=


6-3-2 N－L公式
定理,( 牛顿—莱布尼茨公式) 设,是
在上的一个原函数,则有
.
证明：因,则变上限积分在区间上是的一个原函数,并且按照的定义有
.
今是在上另一个原函数,则存在常数,使得
。
再利用条件,确定常数,
 ,
于是,,

写成,
这就是Newton---Leibniz公式，又称微积分基本公式。
牛顿—莱布尼茨公式又可以写成

这个公式是由牛顿和莱布尼茨独立完成的,所以称之为牛顿—莱布尼茨公式,这个公式把计算定积分与求原函数,这两个看来不太有关的问题联系在一起,从而给出了计算定积分的一个有效的方法。这是数学历史发展中的重大发现。 ,因此对于在上的任何一个原函数都有
牛顿—莱布尼茨公式又可以写成
,
例2:计算定积分 
解,因为在区间是被积函数一个原函数，根据牛顿—莱布尼茨公式得到
.
最好与不定积分求原函数结合起来：
=
例2:计算定积分
解,

=
例3,计算
解,
.
例4,计算.
解,
=;
=
==
= (? )
= 。
==
=
=
=,
=
=
=
==
可以验证：,
,
 =0有根,
 和 ,
其中,
即函数在 内不连续，
有间断点,因而发生了问题。
例4,计算.
解1：分三种情形：
x<0,则 
x>1,则
0( x ( 1,则


解2：这样做行吗？：
==
=