第二章 函数的极限与连续性
第二讲 极限 (一)
课后作业,
阅读,第二章2.1--- 2.2 pp.27—39,
预习,第二章2.3--- 2.4 pp.40—50,
练习 pp34--35 习题 2.1,1; 2
pp39--40 习题 2.2,1.(1),(2),(3); 2.(1),(6),(10),(11),(14);
3,(2); 4,(1).
作业 pp34--35 习题 2.1,1; 2
pp39--40 习题 2.2,1.(4),(5),(6); 2.(3),(4),(7),(8),(9),(12),(13);
3,(1); 4,(2).
引言：
1,极限的发展,
由方法到概念：
从求切线求速度到导数概念；
从的求曲边面积到定积分概念
(公元前二百多年到十七世纪)
由直观到理性：
从物理、几何的直观到微积分理论的创立由混乱到精确：
从贝格莱的无穷小悖论说到柯西的 ((( 定义
三大流派：
逻辑主义(英国Russell １８７２－１９７０)
直觉主义(荷兰Brouwer１８８１－１９６６)
形式主义(德国Hilbert １８６２－１９４３)
2,极限的重要性,
极限是一种思想方法从认识有限到把握无限；从了解离散到理解连续；
极限是一种概念：
许多物理、几何对象要用极限来刻画极限是一种计算：
许多物理、几何量要通过极限来求出
2-1 函数的极限
2-1-1 函数极限的定义
(1) 自变量变化的描述,
邻域概念,
的邻域，
的去心邻域，
两种基本变化趋势：
趋向于一点：
趋向于无穷,
(2)函数极限的直观的定义
设函数在点的某去心邻域上有定义,
若存在常数A,当“无限趋于,不等于”时,
函数“无限趋于A” 。则称A是
当趋于 的极限。记作.
或者.
(3)函数极限举例
(a) 函数在一点的极限
例1,
例2,
例3,.
例4,.
(4) 函数在无穷远处的极限定义:设函数在区间有定义,若有实数.
当“无限变大”时,函数“无限趋于A” 。
则称A是,当时的极限,.记作,或者.
类似地可以定义当当和时函数的极限.
(5) 极限严格定义：设函数在点的某去心邻域上有定义,若,,,使得所有满足不等式
的动点,都有
则称当时,函数有极限,
或者称当时,函数趋向于.
记作,或者.
或者.
(3)几点说明函数在一点的极限不考虑该点处函数是否有定义，但在附近必须要有定义。
极限直观定义的优缺点.
2-1 函数极限的性质和计算
(一) 数列极限的性质,
性质1,(函数极限的几何意义)
性质2,函列极限若存在,则必唯一.
性质3,函列极限若存在，则一定有界.
函数在点的某去心邻域中有界。
性质4,极限的保序性性质6,函数在一点的单侧极限与极限
和的定义命题2.5,极限存在的充分必要条件是与都存在并且相等.
(二) 函数极限的计算,
极限的四则运算
若极限,存在,则,
(1)
(2) 对于任意常数,
(3)
(4) 假定,则
思考：若己知存在，关于极限,可以有什么结论？
两者是否一定存在？
若其中一个存在，另一个是否一定存在？
若，那么结论如何？
其他的性质也反过来问一问？
夹逼收敛准则：
若,,且
,则 。
例，=？
解,利用图形,
=1
复合函数极限定理,
设,,且当时,,
则 .
注,这里的条件时,的作用：例子若,而,
显然有和,
考察：
初等函数的极限定理,
若是初等函数，在其定义域区间内，则有
函数极限计算例
两个重要极限,,
例一 =？其中分别m,n是次多项式,其最高次项的系数分别为。
例如
解,原式分子与分母同除以得到
=
例二
解：当,,记,
.
此处,,小于的最大整数。
类似可求出：
例三,令
由此可推出,
例四,求
解:
例五，
解：令 ,
特别有：若
通过极限运算、变量置换、夹逼法则，将未知极限化成己知的极限。(如,,,
, )
例六 求
解:
例七,求
解:
因为当时,,
所以,从而
=1
例八,求极限
解,
=
=
第二讲 极限 (一)
课后作业,
阅读,第二章2.1--- 2.2 pp.27—39,
预习,第二章2.3--- 2.4 pp.40—50,
练习 pp34--35 习题 2.1,1; 2
pp39--40 习题 2.2,1.(1),(2),(3); 2.(1),(6),(10),(11),(14);
3,(2); 4,(1).
作业 pp34--35 习题 2.1,1; 2
pp39--40 习题 2.2,1.(4),(5),(6); 2.(3),(4),(7),(8),(9),(12),(13);
3,(1); 4,(2).
引言：
1,极限的发展,
由方法到概念：
从求切线求速度到导数概念；
从的求曲边面积到定积分概念
(公元前二百多年到十七世纪)
由直观到理性：
从物理、几何的直观到微积分理论的创立由混乱到精确：
从贝格莱的无穷小悖论说到柯西的 ((( 定义
三大流派：
逻辑主义(英国Russell １８７２－１９７０)
直觉主义(荷兰Brouwer１８８１－１９６６)
形式主义(德国Hilbert １８６２－１９４３)
2,极限的重要性,
极限是一种思想方法从认识有限到把握无限；从了解离散到理解连续；
极限是一种概念：
许多物理、几何对象要用极限来刻画极限是一种计算：
许多物理、几何量要通过极限来求出
2-1 函数的极限
2-1-1 函数极限的定义
(1) 自变量变化的描述,
邻域概念,
的邻域，
的去心邻域，
两种基本变化趋势：
趋向于一点：
趋向于无穷,
(2)函数极限的直观的定义
设函数在点的某去心邻域上有定义,
若存在常数A,当“无限趋于,不等于”时,
函数“无限趋于A” 。则称A是
当趋于 的极限。记作.
或者.
(3)函数极限举例
(a) 函数在一点的极限
例1,
例2,
例3,.
例4,.
(4) 函数在无穷远处的极限定义:设函数在区间有定义,若有实数.
当“无限变大”时,函数“无限趋于A” 。
则称A是,当时的极限,.记作,或者.
类似地可以定义当当和时函数的极限.
(5) 极限严格定义：设函数在点的某去心邻域上有定义,若,,,使得所有满足不等式
的动点,都有
则称当时,函数有极限,
或者称当时,函数趋向于.
记作,或者.
或者.
(3)几点说明函数在一点的极限不考虑该点处函数是否有定义，但在附近必须要有定义。
极限直观定义的优缺点.
2-1 函数极限的性质和计算
(一) 数列极限的性质,
性质1,(函数极限的几何意义)
性质2,函列极限若存在,则必唯一.
性质3,函列极限若存在，则一定有界.
函数在点的某去心邻域中有界。
性质4,极限的保序性性质6,函数在一点的单侧极限与极限
和的定义命题2.5,极限存在的充分必要条件是与都存在并且相等.
(二) 函数极限的计算,
极限的四则运算
若极限,存在,则,
(1)
(2) 对于任意常数,
(3)
(4) 假定,则
思考：若己知存在，关于极限,可以有什么结论？
两者是否一定存在？
若其中一个存在，另一个是否一定存在？
若，那么结论如何？
其他的性质也反过来问一问？
夹逼收敛准则：
若,,且
,则 。
例，=？
解,利用图形,
=1
复合函数极限定理,
设,,且当时,,
则 .
注,这里的条件时,的作用：例子若,而,
显然有和,
考察：
初等函数的极限定理,
若是初等函数，在其定义域区间内，则有
函数极限计算例
两个重要极限,,
例一 =？其中分别m,n是次多项式,其最高次项的系数分别为。
例如
解,原式分子与分母同除以得到
=
例二
解：当,,记,
.
此处,,小于的最大整数。
类似可求出：
例三,令
由此可推出,
例四,求
解:
例五，
解：令 ,
特别有：若
通过极限运算、变量置换、夹逼法则，将未知极限化成己知的极限。(如,,,
, )
例六 求
解:
例七,求
解:
因为当时,,
所以,从而
=1
例八,求极限
解,
=
=
