第八讲 函数的微分法
(The Differentiable Methods of function)
阅读,第3章3.2,3.3,3.4 pp.60—78,
预习,
练习 pp59--50 习题 3.1,1至 5; 6,单数小题; 7; 8,(1); 9,单数小题;
10,单数小题; 11,(2); 13,单数小题; 14,单数小题;
15,(1),(3)
作业 pp59--50 习题 3.1,6,双数小题; 8,(2); 9,双数小题;
10,双数小题; 11,(1); 13,双数小题; 14,双数小题;
15,(2),(4); 17; 18.
预习,第四章 4.1 pp.80--88
练习 pp73--74 习题 3.3,1至 3; 4,单数小题; 5,单数小题;
7,单数小题;
pp78—79习题 3.4,1至 4; 5,单数小题; 6,单数小题;
9,单数小题;
作业 pp73--74 习题 3.3,4,双数小题; 5,双数小题; 6;
7,单数小题; 9.
pp78—79习题 3.4,5,双数小题; 6,双数小题; 7; 8
9,(2),(4),(6),(10); 11.
3-3 函数的微分法
3-3-1 复合函数导数公式
(一) 复合函数微分法
定理 ( 链式法则 ):设有可微函数和,
则复合函数亦可微,且
或
证明,=
==
上面证法有一个问题,由是自变量,当时,,但不能保证中间变量的增量 总不等于零,因此将写成不但欠妥，而且也不满足复合函数求极限的全部条件。因此必须换一种证法。
正确证明方法：
可微
可以用另外一种方式表示,,该式当时也正确
.
当,.
(二) 微分形式不变性(复合函数的微分公式)
设有可微函数和,则复合函数亦可微,且其微分是
证明,=
=
当,才有 ,因此对自变量,我们将微分写成：
当,有 ,因此对中间变量,我们不能将微分写成,,但有：.
也就说说，不管是自变量还是中间变量(函数)，微分形式都是:
.
称之为微分形式不变性。
(三) 复合函数微分法举例
例1,设,求.
解,令 ,
.
=
例2,设,求.
解,
例3,,求.
解,
=
例3,,求.
解,当,
=;
当,,令 ,
.
这里有：,这是必然的吗？
另解：令
;
.
在点的问题实际上只是因为函数的表示：
若用,则是无任何无定义点的好函数；
而用,则要考虑的问题和.
实际上是函数的可去间断点。
3-3-2 微分(求导)方法
(一) 对数求导法则
1 幂指函数求导
对于幂指函数 的求导,可变成
=
再利用复合函数求导。
亦可用对数求导方法,设
则 ,于是 这就是对数微分法.
例4:，求
解：.
.
例5,设,求
解：
(二) 参数微分法
若对于的函数由参数方程确定的,如何求
只要假定:存在反函数,并且,
有 存在,根据复合函数求导法则,得到
例6,在椭圆上任一点求其切线.
解,椭圆可以表示成参数方程:,
椭圆上任意一点,切线斜率等于
(当不等于零).
于是当不等于零时,即不等于零时,切线方程为
.
例7,设 ,求
.解,
(三) 隐函数求导
如果变量对于变量的函数关系是由一个方程
确定的,则称为隐函数。一般来说,要将其解出，以表示成显函数形式,不但很困难，甚至不可能,如何在不解出的情况下求隐函数的导数? 这可以用复合函数求导法则来求隐函数的导数.
例8,设函数由方程,,求
解,将方程两端关于自变量求导数。在求导数的过程中,始终将看成的函数,运用复合函数求导法则,
3-4 高阶导数
对导函数再求导，就成为高阶导数。设,
一阶导数：,
二阶导数：,
三阶导数：,
四阶导数：
,
(((((
n 阶导数：
,
例9 求的高阶导数
归纳得到
同样可以得到
例10,
特别当时
例11
例12
特别当时 ,
高阶导数的乘积公式：莱布尼茨公式
设 ,,且记 ,
+
=.
求
解：
.
特别是：
求;
解：
(The Differentiable Methods of function)
阅读,第3章3.2,3.3,3.4 pp.60—78,
预习,
练习 pp59--50 习题 3.1,1至 5; 6,单数小题; 7; 8,(1); 9,单数小题;
10,单数小题; 11,(2); 13,单数小题; 14,单数小题;
15,(1),(3)
作业 pp59--50 习题 3.1,6,双数小题; 8,(2); 9,双数小题;
10,双数小题; 11,(1); 13,双数小题; 14,双数小题;
15,(2),(4); 17; 18.
预习,第四章 4.1 pp.80--88
练习 pp73--74 习题 3.3,1至 3; 4,单数小题; 5,单数小题;
7,单数小题;
pp78—79习题 3.4,1至 4; 5,单数小题; 6,单数小题;
9,单数小题;
作业 pp73--74 习题 3.3,4,双数小题; 5,双数小题; 6;
7,单数小题; 9.
pp78—79习题 3.4,5,双数小题; 6,双数小题; 7; 8
9,(2),(4),(6),(10); 11.
3-3 函数的微分法
3-3-1 复合函数导数公式
(一) 复合函数微分法
定理 ( 链式法则 ):设有可微函数和,
则复合函数亦可微,且
或
证明,=
==
上面证法有一个问题,由是自变量,当时,,但不能保证中间变量的增量 总不等于零,因此将写成不但欠妥，而且也不满足复合函数求极限的全部条件。因此必须换一种证法。
正确证明方法：
可微
可以用另外一种方式表示,,该式当时也正确
.
当,.
(二) 微分形式不变性(复合函数的微分公式)
设有可微函数和,则复合函数亦可微,且其微分是
证明,=
=
当,才有 ,因此对自变量,我们将微分写成：
当,有 ,因此对中间变量,我们不能将微分写成,,但有：.
也就说说，不管是自变量还是中间变量(函数)，微分形式都是:
.
称之为微分形式不变性。
(三) 复合函数微分法举例
例1,设,求.
解,令 ,
.
=
例2,设,求.
解,
例3,,求.
解,
=
例3,,求.
解,当,
=;
当,,令 ,
.
这里有：,这是必然的吗？
另解：令
;
.
在点的问题实际上只是因为函数的表示：
若用,则是无任何无定义点的好函数；
而用,则要考虑的问题和.
实际上是函数的可去间断点。
3-3-2 微分(求导)方法
(一) 对数求导法则
1 幂指函数求导
对于幂指函数 的求导,可变成
=
再利用复合函数求导。
亦可用对数求导方法,设
则 ,于是 这就是对数微分法.
例4:，求
解：.
.
例5,设,求
解：
(二) 参数微分法
若对于的函数由参数方程确定的,如何求
只要假定:存在反函数,并且,
有 存在,根据复合函数求导法则,得到
例6,在椭圆上任一点求其切线.
解,椭圆可以表示成参数方程:,
椭圆上任意一点,切线斜率等于
(当不等于零).
于是当不等于零时,即不等于零时,切线方程为
.
例7,设 ,求
.解,
(三) 隐函数求导
如果变量对于变量的函数关系是由一个方程
确定的,则称为隐函数。一般来说,要将其解出，以表示成显函数形式,不但很困难，甚至不可能,如何在不解出的情况下求隐函数的导数? 这可以用复合函数求导法则来求隐函数的导数.
例8,设函数由方程,,求
解,将方程两端关于自变量求导数。在求导数的过程中,始终将看成的函数,运用复合函数求导法则,
3-4 高阶导数
对导函数再求导，就成为高阶导数。设,
一阶导数：,
二阶导数：,
三阶导数：,
四阶导数：
,
(((((
n 阶导数：
,
例9 求的高阶导数
归纳得到
同样可以得到
例10,
特别当时
例11
例12
特别当时 ,
高阶导数的乘积公式：莱布尼茨公式
设 ,,且记 ,
+
=.
求
解：
.
特别是：
求;
解：
