第四章 导数的应用
(The Applications Derivative of function)
第九讲 罗比塔法则阅读,第4章4.2 pp.89—95,
预习,第4章4.3,96--111
练习 pp95--96 习题 4.2,1至 6; 7,单数小题; 8,单数小题,
作业 pp95--96 习题 4.2,7,双数小题; 8,双数小题; 9; 10.
重要通知,
第九周星期六下午在开放实验室进行微积分(I)小测验,
测验内容为罗比塔法则及以前的知识；
测验方式：计算机考试，时间一小时。
每班具体考试时间下周考前通知。
请每位同学务必在下周星期二以前，到网上
(网址为,info,Emathc,edu,cn )
阅读机考说明，并试做摸拟试卷。
4-2 罗比塔(L’Hospitale)法则
4-2-1 无穷小阶的分析----罗比塔法则
(1) 不定型的极限,假定在同一个变化过程中
,则时称为型不定式,
,则称为型不定式
,则称为型不定式,
为型不定式
,则称为型不定式
,则称为型不定式
,则称为型不定式
各种不定式中,基本的是 和,其它几种都可以经过变形转化为和型不定式.
洛比塔法则对于求各种不定式极限提供了一个非常简便有效的方法。洛比塔法则是利用柯西中值定理证明的。
(2) 型的极限：
定理1,对于 ,若在某邻域中,与可导,;
;
.
则 
证明,,在与之间;
显然，当时，有,从而有

定理2 对于 ,若在中,与可导,;
;
.
则 .
证明：可利用变换,化成上一种情形。
(2) 型的极限：
定理3,对于,若在内,与可导,;
;
(有限或无穷).
则 
4-2-2 罗比塔法则应用举例例1,求极限,
解：=
=

=
解：= 


解：= 
 .
解,=
=.
例2,求极限
解,
 
例3,若在可微，且,
求 
解：
例4,求极限
解,这是一个型不定式极限问题.


其中第一个极限容易求出 
用洛比塔法则求第二个极限:

分子与分母同除以,得到

=
注,由这个极限的运算过程可以看出,求不定式极限不一定仅仅运用洛比塔法则,综合运用洛比塔法则与极限,可以数运算过程得到简化.
例5,求极限
解,先求右极限,这是型不定式极限.
令,则.
 =
= = 
即，.
因为 是偶函数,得到
,
从而.
说明：运用洛比塔法则时需要注意的问题
1 在洛比塔法则中,若不存在，不能说明也
不存在,因此是充分而非必要的条件条件。
例如：,但是
=
=
2 只有满足条件的不定式极限才能够运用洛比塔法则.
例,,不是型不定式,以下是错误的：

3,在求极限的过程中,罗比塔法则应与其他方法配合使用，以求简便：.
例:求极限 
解,=
= 

=
这里提出一个极限不等于零的因子,问题就明显地
简化了,在最后的极限中,分母可以用等价无穷小量
代替,变成.
又例如,求
如果直接运用洛比塔法则求这个极限,求得数是非常复杂的.但是运用等价无穷小量的代替方法,则十分简单:注意到当
时, ∽,∽,
∽,∽∽,
所以 
例6 关于无穷大：
例：;

=.
;

=