习题与补充题习题
1,证明曲面r=(acos(cos(,bsin(cos(,csin()是椭球面，并求其法向量，切平面及曲线坐标。
2,求圆锥的参数方程和它的切平面。
3,证明曲面
（1）是椭圆抛物面；
（2）r=(a(u+v),b(u-v,2vu))是双曲抛物面。
4,求题3中各曲面的法向量和切平面。
5,求旋转曲面r=(ucosv,usinv,f(u)) (0<v<2()的单位法向量。
6,求劈锥面r=(ucosv,usinv,f(u))的切平面和法线方程。
7,证明一曲面是球面的充要条件是它的所有法线通过一定点。
8,设曲面的表示式为z=f(x,y)，求它的法向量。
9,求双曲抛物面r=(u+v,u-v,uv)在u=1,v=－1点处的单位法向量和切平面方程。
10,证明：旋转面r=(f(v)cosu,f(v)sinu,g(v))(g((v)(0)上任一点所作的法线一定和z轴相交。
11,用构造准线C和母线的方向向量的方法证明正螺面r=(rcos(,rsin(,a(+b)是直纹面。
12,用题11的方法，证明下列曲面是直纹面：
（1）单叶双曲面
（2）双曲抛物面
13,求下列直纹面的单位法向量：
（1）单叶双曲面r=(cosu-vsinu,sinu+vcosu,v);
（2）双曲抛物面r=(u,v,uv);
（3）劈锥曲面 r=(vcos((u),vsin( (u),u)
14,证明：曲面
r = (cosv－(u+v)sinv,sinv+(u+v)cosv,u+2v)是可展曲面。
15,证明：曲面
是可展曲面。
16,求圆柱螺线r=(cosv,sinv,v)的切线面方程。
17,证明：下列曲面是非可展直纹面：
（1）双曲抛物面（abu(0）
r = (a (+v),b (u-v),2uv);
（2）正螺面 (b(0)
r = (vcosu,vsinu,bu)
18,求下列各曲面的第一基本形式：
(1) 圆锥面r = (vcosu,vsinu,cv);
(2) 螺旋面 r = (f (v) cosu,f (v) sinu,g (u)+bu);
(3)单叶双曲面 r = (a chu cosv,a chu sinv,c chu);
(4)双叶双曲央 r = (a chu,b shu cosv,b shu shiv);
(5)劈锥曲面 r = (vcosu,vsinu,((u))；
(6)旋转面 r = (f (v)cosu,f (v)sinu,g (v));
(7) 环面r=((a+rcosv)cosu,(a+rcosv)sinu,rsinv)。
19,已知曲面的第一基本形式为
，
证明：(1)u曲线和v曲线正交；
(2) 任意两条u曲线被v曲线截成等长的弧，即(u1,v0)到(u2,v0)的弧长与v0无关。
20,已知曲面S的第一基本形式为
,
求S上的曲线弧长。
21,已知曲面S的第一基本形式为
,
求S上两条曲线和在交点(0,0)处的交角。
22,求圆柱面的法曲率。
23,试证明：在曲面上的一点，任何两个正交方向的法曲率之和相等。
24,求下列曲面的第二基本形式
(1) 正螺面 ；
(2) 环面 ；
(3) 双曲抛物面.
25,证明：曲面是平面的充要条件是L=M=N=0.
26,试证明：在半径为a的球面上，高斯曲率和平均曲率都是常数。
27,求下列曲面的高斯曲率和平均曲率：
(1) 旋转曲面 ；
(2) 正螺面 ；
(3) 螺面 ；
28,试证明：
(1) 平面和球面都是全脐点曲面：
(2) 平面上任一点都为平点，球面上任一点的法曲率与方向无关。
29,试证明：直纹面的高斯曲率.
30,求椭球旋转面的高斯曲率。
补充题
1,求曲面上参数曲线（u曲线和V曲线）的第二部分角轨线的微分方程。
2,在曲面上任一点(处，求两个切向量e1,e2，使之构成曲面的单位正交参数（坐标）系。
3,证明：坐标曲线与任意曲线的交角公式为：
u线,
v线,
4,证明：曲面上的点是脐点的充要条件为H2=K。
部分习题和补充题解答习题
1,.
4,.
5,.
6,.
8,
13,(1)
(2)
(3),
16,.
18,(1);
(2)
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7)
20,shl.
21,.
22,.
23,利用欧拉公式.
24,(1)
(3)
26,K=1/R=H.
27,(1)
(2)
(3) .
29,N=0,II=-M2,I>0.
30,K=c2/(a2cos2v+c2sin2v)2.
补充题
1,.
2,将正交化，.
3,u线(v=0.
4,.
1,证明曲面r=(acos(cos(,bsin(cos(,csin()是椭球面，并求其法向量，切平面及曲线坐标。
2,求圆锥的参数方程和它的切平面。
3,证明曲面
（1）是椭圆抛物面；
（2）r=(a(u+v),b(u-v,2vu))是双曲抛物面。
4,求题3中各曲面的法向量和切平面。
5,求旋转曲面r=(ucosv,usinv,f(u)) (0<v<2()的单位法向量。
6,求劈锥面r=(ucosv,usinv,f(u))的切平面和法线方程。
7,证明一曲面是球面的充要条件是它的所有法线通过一定点。
8,设曲面的表示式为z=f(x,y)，求它的法向量。
9,求双曲抛物面r=(u+v,u-v,uv)在u=1,v=－1点处的单位法向量和切平面方程。
10,证明：旋转面r=(f(v)cosu,f(v)sinu,g(v))(g((v)(0)上任一点所作的法线一定和z轴相交。
11,用构造准线C和母线的方向向量的方法证明正螺面r=(rcos(,rsin(,a(+b)是直纹面。
12,用题11的方法，证明下列曲面是直纹面：
（1）单叶双曲面
（2）双曲抛物面
13,求下列直纹面的单位法向量：
（1）单叶双曲面r=(cosu-vsinu,sinu+vcosu,v);
（2）双曲抛物面r=(u,v,uv);
（3）劈锥曲面 r=(vcos((u),vsin( (u),u)
14,证明：曲面
r = (cosv－(u+v)sinv,sinv+(u+v)cosv,u+2v)是可展曲面。
15,证明：曲面
是可展曲面。
16,求圆柱螺线r=(cosv,sinv,v)的切线面方程。
17,证明：下列曲面是非可展直纹面：
（1）双曲抛物面（abu(0）
r = (a (+v),b (u-v),2uv);
（2）正螺面 (b(0)
r = (vcosu,vsinu,bu)
18,求下列各曲面的第一基本形式：
(1) 圆锥面r = (vcosu,vsinu,cv);
(2) 螺旋面 r = (f (v) cosu,f (v) sinu,g (u)+bu);
(3)单叶双曲面 r = (a chu cosv,a chu sinv,c chu);
(4)双叶双曲央 r = (a chu,b shu cosv,b shu shiv);
(5)劈锥曲面 r = (vcosu,vsinu,((u))；
(6)旋转面 r = (f (v)cosu,f (v)sinu,g (v));
(7) 环面r=((a+rcosv)cosu,(a+rcosv)sinu,rsinv)。
19,已知曲面的第一基本形式为
，
证明：(1)u曲线和v曲线正交；
(2) 任意两条u曲线被v曲线截成等长的弧，即(u1,v0)到(u2,v0)的弧长与v0无关。
20,已知曲面S的第一基本形式为
,
求S上的曲线弧长。
21,已知曲面S的第一基本形式为
,
求S上两条曲线和在交点(0,0)处的交角。
22,求圆柱面的法曲率。
23,试证明：在曲面上的一点，任何两个正交方向的法曲率之和相等。
24,求下列曲面的第二基本形式
(1) 正螺面 ；
(2) 环面 ；
(3) 双曲抛物面.
25,证明：曲面是平面的充要条件是L=M=N=0.
26,试证明：在半径为a的球面上，高斯曲率和平均曲率都是常数。
27,求下列曲面的高斯曲率和平均曲率：
(1) 旋转曲面 ；
(2) 正螺面 ；
(3) 螺面 ；
28,试证明：
(1) 平面和球面都是全脐点曲面：
(2) 平面上任一点都为平点，球面上任一点的法曲率与方向无关。
29,试证明：直纹面的高斯曲率.
30,求椭球旋转面的高斯曲率。
补充题
1,求曲面上参数曲线（u曲线和V曲线）的第二部分角轨线的微分方程。
2,在曲面上任一点(处，求两个切向量e1,e2，使之构成曲面的单位正交参数（坐标）系。
3,证明：坐标曲线与任意曲线的交角公式为：
u线,
v线,
4,证明：曲面上的点是脐点的充要条件为H2=K。
部分习题和补充题解答习题
1,.
4,.
5,.
6,.
8,
13,(1)
(2)
(3),
16,.
18,(1);
(2)
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7)
20,shl.
21,.
22,.
23,利用欧拉公式.
24,(1)
(3)
26,K=1/R=H.
27,(1)
(2)
(3) .
29,N=0,II=-M2,I>0.
30,K=c2/(a2cos2v+c2sin2v)2.
补充题
1,.
2,将正交化，.
3,u线(v=0.
4,.
