第四章 重积分
4-3 三重积分的计算
4-3-1 三重积分在直角坐标系下的计算
4-3-2 三重积分在柱坐标系下的计算
4-3-3 三重积分在球坐标系下的计算
4-3-4 三重积分在一般坐标系下的计算
第十三讲 三重积的计算课后作业,
阅读：第四章 第四节 三重积分的计算 pp.114---123
预习,第五节 曲面面积和曲面积分 pp.125---134
作业,习题4,pp,124--125,1; 2; 3; 4; 6; 7; 9; 11.
微积分(III)第一次(第七周)
机考时间安排
时 间
班 级
监考负责人
7：40
第一场进场
8:00--9:00
第一场
谭泽光班(182）、
张友金班（95）
谭泽光及其助教张友金及其助教
9：00
第二场进场
10:30
第三场进场
12:00
第四场进场
13:30
第五场进场
15:00
第六场进场
16:30
第七场进场
说明：
考试时间：本周星期六，早七点四十开始进场，到下午六时结束; 连续考七场，每场约三百人,考试一个小时，换场时间半小时；
考试地点：开放实验室；
考试内容：多元函数及多元微分学;
任课老师负责通知各班学生考试时间，让学生按指定时间进场; 并告之学生进场只许带文具，不得带书包，草稿纸进场时系里统一发（请各位自己领自己班的草稿纸）。
4-3-1 三重积分在直角坐标系下的计算

d z
d x
dy
d v = d x d y d z
z
D(z)
(
y
D(x,y)
x
直角坐标系下的体积元素：
,

不同积分次序的选择下的计算公式：


举例,
例一：计算 ,
D z A
D(z)
B
C
A ( xA,y,z),xA=2-y
B ( xB,y,z),x B =6-2y
,
=
=
=;
 
=,
= =
==
z
y
x
4-3-2 三重积分在柱坐标系下的计算
柱坐标系下的体积元素：

,

=
不同积分次序的选择下的计算公式：

.
z
((,(,z)
y
((,()
x
举例：
例二，,
其中  由曲面:
半球面,
,
柱面,
及平面,
所围成.
解,=
=
==
4-3-3 三重积分在球坐标系下的计算球坐标系下的体积元素：


,

=
举例,
例三，是上半空间中球面,
与锥面
所围的区域。
则：=
=
==
= =,
重心坐标,.
4-3-4 三重积分在一般坐标系下的计算一般曲线坐标系下的体积元素：
,或者 
,

=.
柱坐标系：
; ;


=.
球坐标系：
;

=


=.
(2) 举例,
例六，,其中：
解：设,;

=;

=
=
=
=
例七，,其中：

,,,
,,这样，
;
解：设,;
或，;
=
=;
=

=
=,令
=
=
=+
+
=+
+
=
=,(因)
=
= 
=