4.二重积分的计算 (D是矩形 区域 )
复习 § 2,平行截面面积为已知的立体的体积
y0
x
z
ya
b
c d
D
D是矩形 区域 [a,b ; c,d]
z=f (x,y)
ba xy,xf )d(
dc yyQ )d(
)(yQ
yy yxfz ),(
问题,Q( y)是什么图形？
Q( y ) =
I
是曲边梯形。
D
yxy,xfI d)d(
.
4,二重积分的计算 (D是矩形 区域 )
0
x
z
y
y
a
b
c d
D
dc ba xy,xfy )d(d
.
ba xy,xf )d(Q( y ) =
dc yyQ )d(I
同理，也可以先对 y 积分 b
a
d
c yyxfxI d),(d
.
.
D
yxy,xfI d)d(
z=f (x,y)
D是矩形 区域 [a,b ; c,d]
0
x
z
y
c d
D
z=f (x,y)
)( )( )d,(yψ yφ xyxf
x=?(y)
x=?(y)
)(yQ
.
y
问题,Q( y)是什么图形？
Q( y ) =
D,?(y)? x(y)
c? y? d
yy yxfz ),(
也是曲边梯形 !
5,二重积分的计算 （ D是 曲线梯 形 区域 ）
D
yxy,xfI d)d(
.
dc yyQ )d(I =
0
x
z
y
x=?(y)
yc d
D
dc yψ yφ xyxfy )( ) )d,(d (
.
D,?(y)? x(y)
c? y? d
5,二重积分的计算 （ D是 曲线梯 形 区域 ）
.
D
yxy,xfI d)d(
)( )( )d,(yψ yφ xyxf
dc yyQ )d(
Q( y ) =
I =
z=f (x,y)
x=?(y)
D,x1(y)? x? x2(y)
c? y? d
I =
)(
)( )d(
yx
yx xy,xf
0
y
x
x2(y)x1 (y)
D
c
d
y
D
yxy,xfI d)d(
6,二重积分计算的两种积分顺序
0
y
x
c
d
y
D
x2(y)x1 (y)
I =
6,二重积分计算的两种积分顺序
.
D
yxy,xfI d)d(
)( )( )d( yx yx xy,xf
D,x1(y)? x? x2(y)
c? y? d
0
y
x
c
d
y
dc yd
D
D,y1(x)? y? y2(x)
a? x? b
0
y
x
I =
a b
y1(x)
y2(x)
D
x2(y)x1 (y)
x
)( )( d),(xy xy yyxfI =
6,二重积分计算的两种积分顺序
.
D
yxy,xfI d)d(
)( )( )d( yx yx xy,xf
D,x1(y)? x? x2(y)
c? y? d
0
y
x
c
d
y
D
0
y
x
I =
a b
y1(x)
y2(x)
D
x2(y)x1 (y)
x
6,二重积分计算的两种积分顺序
.
D
yxy,xfI d)d(
)( )( d),(xy xy yyxfI = )( )( )d( yx yx xy,xf?dc yd
D,x1(y)? x? x2(y)
c? y? d
D,y1(x)? y? y2(x)
a? x? b
0
y
x
c
d
y
D
0
y
x
I =
a b
y1(x)
y2(x)
D
x2(y)x1 (y)
x
ba xd
6,二重积分计算的两种积分顺序
.
D
yxy,xfI d)d(
)( )( d),(xy xy yyxfI = )( )( )d( yx yx xy,xf?dc yd
D,x1(y)? x? x2(y)
c? y? d
D,y1(x)? y? y2(x)
a? x? b
0
y
x
1
1 3
3
y = x
x = y 2D
y
y
xyx yI d yd
.
yyxyDyxyx yI
D
,dd
.
2ln21123
.
7,计算所围区域 与 xyxyDyxxy
D
,,dd
1
1
0
y
x
D
2 先对 y 积分（从下到上）
1 画出区域 D 图形
D
dd yxxy
x
x yxy d?
xd
xx yyxx dd
10 53 d)(21 xxx 241?
3 先对 x 积分（从左到右）
.
.
.
D
dd yxxy? y
y xxy d?
yd
24
1?
.
8,用两种顺序计算
x
0
z
y
a
b
1
平面所围成的体积与 求椭圆抛物面 x o ybyaxz 1 2
2
2
2
1,2222 byaxD xy
D1
V
x)byax(yb ybb
a
dd
b yybba d)(
dc o sab（定积分三角代换）ab ab2
.
.
yxbyax
D
d)d(?
瓦里斯公式
9.
=
0
y
x
D,x + y =1,x – y = 1,x = 0 所围
1
1
–1
先对 y 积分
xx yyxfI d),(
.
y =1– x
y = x –1
xd
.
10,将二重积分化成二次积分
D
yxy,xfI d)d(
0
y
x
D,x + y =1,x – y = 1,x = 0 所围
1
1
–1
先对 y 积分
xx yyxfxI d),(d
.
先对 x 积分
21 DD
I
D1
D2
xyxfy y d),(d
xyxfy y d),(d
.
x =1– y
x = y +1
（不分块儿行吗？）
10,将二重积分化成二次积分
.
D
yxy,xfI d)d(
D,由四条直线,x=3,x=5,
3x – 2y+4 = 0,3x –2y+1 = 0
共同围成的区域
o
x
y
3 5
5
8
D
I
.
xyxfy y )( d),(d
D1
D2
D3
321 DDD
I
先对 y积分先对 x积分
.
213
219
xyxfy y
y
)(
)(
d),(d
xyxfy y )( d),(d
.
（需分块）
.
.
（需分块）
)(
)(
)d,(d x
x
yyxfx
11,将二重积分化成二次积分
D
yxy,xfI d)d(
I
D,yxy
yy xyxfyI d),(d
.
.
0
y
x1
1
10 y
xd
yx
xy 联立 ) (,得交点
xx yyxf )d,(
.
12,将二重积分换序
I
D:
22 xaxyx
a xax
x
yyxfxI d),(d
.
.
0
y
xa
ax0
a yd
a
22 2 xaxy aaxy )( 即
,ax又 22 yaax
22 yaax
.
.
.
.
y yaa xyxf )d,(
13,将二重积分换序一 先对 x积分
y
xo a
b
D
y
xo a
b D
y
xo a
b
D
b a y
b
a xyxfyI d),(d
b yb
a
xyxfyI d),(d
b b
ya
xyxfyI )( d),(d.
.
.
1 byax
.
14,(练习 )将二重积分化成二次积分
D
yxy,xfI d)d(
二 先对 y 积分
y
xo a
b
y
xo a
b
y
xo a
b
D
D
D
a xa
b
yyxfxI d),(d
.
.
.
a b x
a
b yyxfxI d),(d
a a
xb
yyxfxI )( d),(d
1 byax
.
14,(练习 )将二重积分化成二次积分
.
D
yxy,xfI d)d(
15.为什么 引用极坐标计算二重积分
21
D
0
y
xD1 D2
D3
D4
D:
之间的环域和 yxyx
4321 DDDD
I
.
怎么计算？
D
yxy,xfI d)d(
需使用 极坐标系！
此题用直角系算麻烦必须把 D分块儿 !
D
σyxfI d),(
将 变换到 极坐标系 (r,?)
0
D
用 坐标线? =常数 ； r =常数分割区域 D
i
ri ri+1
iii θrr ΔΔ?
.
,ir
iσΔ
iiiii θr
rrr ΔΔ
2
)Δ(
),( ii ηξ
iiiiii θrηθrξ s i n,co s
iii
n
i
σηξf Δ),(l i m
1
iiiiiii
n
i
θrrθrθrf ΔΔ)s i n,c o s(l i m
1
D
θrrθrθrf dd)s n,c o s(
.
.
.
iθ
.
,极坐标系下的面积元素是平均值)ir(
16,利用极坐标计算二重积分
i
i
i +i
I =
iiiii θrθrr Δ2
1Δ)Δ(
2
1 22
r
.
17,怎样利用极坐标计算二重积分 (1)
极点不在区域 D 的内部
0
A
B F
E
)(1?r
)(2?r
D
D,)()(
21 rrr
r
rrθrθrfθr θr d)s i n,c o s( )( )(2
1?
D
yxyxfI dd),(
D
yxy,xfI d)d(
r
17,怎样利用极坐标计算二重积分 (1)
0
A
B F
E
)(1?r
)(2?r
D
rrθrθrfθr θr d)s i n,c o s( )( )(2
1?
D,)()(
21 rrr
.
D
yxy,xfI d)d(
D
yxyxfI dd),(
极点不在区域 D 的内部
r
17,怎样利用极坐标计算二重积分 (1)
0
A
B F
E
)(1?r
)(2?r
D
rrθrθrfθr θr d)s i n,c o s( )( )(2
1?
βα θd
D,)()(
21 rrr
.步骤：
1 从 D的图形找出 r,?上、下限；
2 化被积函数为极坐标形式；
3 面积元素 dxdy化为 rdrd?
.
D
yxy,xfI d)d(
D
yxyxfI dd),(
极点不在区域 D 的内部
r
极点位于区域 D 的内部
0
)(?r
D
rrθrθrfθr d)s i n,c o s( )(0
.r
D,)(0?rr
20
D
yxyxfI dd),(
18,怎样利用极坐标计算二重积分 (2)
D
yxy,xfI d)d(
r
)(?r
D,)(0?rr
20
rrθrθrfθr d)s i n,c o s( )(0
D
0
18,怎样利用极坐标计算二重积分 (2)
.
D
yxy,xfI d)d(
D
yxyxfI dd),(
极点位于区域 D 的内部
r
)(?r
D,)(0?rr
20
rrθrθrfθr d )s i n,c o s( )(020 d
.
D
0
步骤：
1 从 D的图形找出 r,?上、下限；
2 化被积函数为极坐标形式；
3 面积元素 dxdy化为 rdrd?
18,怎样利用极坐标计算二重积分 (2)
.
D
yxy,xfI d)d(
D
yxyxfI dd),(
极点位于区域 D 的内部
r
0
y
x
变为极坐标形式 把 d)d,(
D
yxyxfI
所围区域与, yay)ax(D
2a
co s2 ar?
.,
20 c o s20 d)s i n,c o s(dπ θa rrθrθrfθ
)( 222 ayax,ar?c o s即解
19.
D
yxyxfI dd),(,
此题用直角系算麻烦，
需使用 极坐标系！
21
D
0
y
x
D:
4321 DDDD
I
变换到 极坐标系
20,?
π rrθrθrfθ20 21 d)s i n,c o s(d
.
.
之间的环域和 yxyx
20.
D
yxy,xfI d)d(
计算
D
yxyxfI dd),(
D:? =1和? =2
围成
)d,(d 变为极坐标形式 把 R yRy xyxfyI
2R
区域 边界：
x = 0
I
.
0
y
x
r =2Rsin?
r =2Rsin?
20 s i n20 d)s i n,c o s(d
π θR
rrθrθrfθ
21.
D
yxxyI dda r c t a n计算所围第一象限部分 y,xy,yx,yx:D
0
y
x1 2
y =x
D
40 21 da r c t a n t a nd
π
rrθθ
40 21 dd
π
rrθθ
2
64
3
.,
I
.
22.
0
y
x4
r = 4 cos?
所围xy,yx
,xyx,xyx:D
422 xyx
822 xyx
r = 8 cos?
8
D
1
2
,r?c o s即 即
a r ct a n?即,r?c o s 即
23.
D
yxy,xfI d)d(
计算
y = 2x
x = y
0
y
x
422 xyx
822 xyx
yx?
即
xy 2 a r ct a n?即
r = 8 cos?D
4 8
.
r = 4 cos?
2
1
所围xy,yx
,xyx,xyx:D
,r?c o s 即
2a r c t a n
4
c o s8
c o s4 d)s i n,c o s(dπ
θ
θ rrθrθrfθ
,r?c o s即
23.
.
D
yxy,xfI d)d(
计算
I =
0
y
x2a
2a
24,将积分换序
)d,(d a ax xax yyxfxI
a
D,axyxax 解 0? x? 2a
D1
D2 D
3
axy
.
yaax
.
yaax
.
DDD
I
)d,(d
a
a
a
a
y xyxfy
)d,(d
a yaa
a
y xyxfy
)d,(d a a yaa xyxfy
.
还有别的方法吗？
0
y
x2a
2a
a
D,axyxax 解 0? x? 2a
D1
D2
axy
yaax
.
yaax
.
)d,(d
a a
a
y xyxfy
)d,(d a yaa yaa xyxfy
.
DD
I
24,将积分换序
.
)d,(d a ax xax yyxfxI
25,将积分化为 极坐标形式
r =R
R
R
R
R
R
xR y
x
yfx
21
)d(d )d(d21R
R Rx
yxyfx
D1 D2
.
.
R
0
y
x
D
d)( t a nda r c t a nR R rrθfθ
)d( t a na r c t a n
R θθfR
.
.,
22 xRy
d)d( t a na r c t a n R R rrθθf
arctanR
I =
I =
复习 § 2,平行截面面积为已知的立体的体积
y0
x
z
ya
b
c d
D
D是矩形 区域 [a,b ; c,d]
z=f (x,y)
ba xy,xf )d(
dc yyQ )d(
)(yQ
yy yxfz ),(
问题,Q( y)是什么图形？
Q( y ) =
I
是曲边梯形。
D
yxy,xfI d)d(
.
4,二重积分的计算 (D是矩形 区域 )
0
x
z
y
y
a
b
c d
D
dc ba xy,xfy )d(d
.
ba xy,xf )d(Q( y ) =
dc yyQ )d(I
同理，也可以先对 y 积分 b
a
d
c yyxfxI d),(d
.
.
D
yxy,xfI d)d(
z=f (x,y)
D是矩形 区域 [a,b ; c,d]
0
x
z
y
c d
D
z=f (x,y)
)( )( )d,(yψ yφ xyxf
x=?(y)
x=?(y)
)(yQ
.
y
问题,Q( y)是什么图形？
Q( y ) =
D,?(y)? x(y)
c? y? d
yy yxfz ),(
也是曲边梯形 !
5,二重积分的计算 （ D是 曲线梯 形 区域 ）
D
yxy,xfI d)d(
.
dc yyQ )d(I =
0
x
z
y
x=?(y)
yc d
D
dc yψ yφ xyxfy )( ) )d,(d (
.
D,?(y)? x(y)
c? y? d
5,二重积分的计算 （ D是 曲线梯 形 区域 ）
.
D
yxy,xfI d)d(
)( )( )d,(yψ yφ xyxf
dc yyQ )d(
Q( y ) =
I =
z=f (x,y)
x=?(y)
D,x1(y)? x? x2(y)
c? y? d
I =
)(
)( )d(
yx
yx xy,xf
0
y
x
x2(y)x1 (y)
D
c
d
y
D
yxy,xfI d)d(
6,二重积分计算的两种积分顺序
0
y
x
c
d
y
D
x2(y)x1 (y)
I =
6,二重积分计算的两种积分顺序
.
D
yxy,xfI d)d(
)( )( )d( yx yx xy,xf
D,x1(y)? x? x2(y)
c? y? d
0
y
x
c
d
y
dc yd
D
D,y1(x)? y? y2(x)
a? x? b
0
y
x
I =
a b
y1(x)
y2(x)
D
x2(y)x1 (y)
x
)( )( d),(xy xy yyxfI =
6,二重积分计算的两种积分顺序
.
D
yxy,xfI d)d(
)( )( )d( yx yx xy,xf
D,x1(y)? x? x2(y)
c? y? d
0
y
x
c
d
y
D
0
y
x
I =
a b
y1(x)
y2(x)
D
x2(y)x1 (y)
x
6,二重积分计算的两种积分顺序
.
D
yxy,xfI d)d(
)( )( d),(xy xy yyxfI = )( )( )d( yx yx xy,xf?dc yd
D,x1(y)? x? x2(y)
c? y? d
D,y1(x)? y? y2(x)
a? x? b
0
y
x
c
d
y
D
0
y
x
I =
a b
y1(x)
y2(x)
D
x2(y)x1 (y)
x
ba xd
6,二重积分计算的两种积分顺序
.
D
yxy,xfI d)d(
)( )( d),(xy xy yyxfI = )( )( )d( yx yx xy,xf?dc yd
D,x1(y)? x? x2(y)
c? y? d
D,y1(x)? y? y2(x)
a? x? b
0
y
x
1
1 3
3
y = x
x = y 2D
y
y
xyx yI d yd
.
yyxyDyxyx yI
D
,dd
.
2ln21123
.
7,计算所围区域 与 xyxyDyxxy
D
,,dd
1
1
0
y
x
D
2 先对 y 积分（从下到上）
1 画出区域 D 图形
D
dd yxxy
x
x yxy d?
xd
xx yyxx dd
10 53 d)(21 xxx 241?
3 先对 x 积分（从左到右）
.
.
.
D
dd yxxy? y
y xxy d?
yd
24
1?
.
8,用两种顺序计算
x
0
z
y
a
b
1
平面所围成的体积与 求椭圆抛物面 x o ybyaxz 1 2
2
2
2
1,2222 byaxD xy
D1
V
x)byax(yb ybb
a
dd
b yybba d)(
dc o sab（定积分三角代换）ab ab2
.
.
yxbyax
D
d)d(?
瓦里斯公式
9.
=
0
y
x
D,x + y =1,x – y = 1,x = 0 所围
1
1
–1
先对 y 积分
xx yyxfI d),(
.
y =1– x
y = x –1
xd
.
10,将二重积分化成二次积分
D
yxy,xfI d)d(
0
y
x
D,x + y =1,x – y = 1,x = 0 所围
1
1
–1
先对 y 积分
xx yyxfxI d),(d
.
先对 x 积分
21 DD
I
D1
D2
xyxfy y d),(d
xyxfy y d),(d
.
x =1– y
x = y +1
（不分块儿行吗？）
10,将二重积分化成二次积分
.
D
yxy,xfI d)d(
D,由四条直线,x=3,x=5,
3x – 2y+4 = 0,3x –2y+1 = 0
共同围成的区域
o
x
y
3 5
5
8
D
I
.
xyxfy y )( d),(d
D1
D2
D3
321 DDD
I
先对 y积分先对 x积分
.
213
219
xyxfy y
y
)(
)(
d),(d
xyxfy y )( d),(d
.
（需分块）
.
.
（需分块）
)(
)(
)d,(d x
x
yyxfx
11,将二重积分化成二次积分
D
yxy,xfI d)d(
I
D,yxy
yy xyxfyI d),(d
.
.
0
y
x1
1
10 y
xd
yx
xy 联立 ) (,得交点
xx yyxf )d,(
.
12,将二重积分换序
I
D:
22 xaxyx
a xax
x
yyxfxI d),(d
.
.
0
y
xa
ax0
a yd
a
22 2 xaxy aaxy )( 即
,ax又 22 yaax
22 yaax
.
.
.
.
y yaa xyxf )d,(
13,将二重积分换序一 先对 x积分
y
xo a
b
D
y
xo a
b D
y
xo a
b
D
b a y
b
a xyxfyI d),(d
b yb
a
xyxfyI d),(d
b b
ya
xyxfyI )( d),(d.
.
.
1 byax
.
14,(练习 )将二重积分化成二次积分
D
yxy,xfI d)d(
二 先对 y 积分
y
xo a
b
y
xo a
b
y
xo a
b
D
D
D
a xa
b
yyxfxI d),(d
.
.
.
a b x
a
b yyxfxI d),(d
a a
xb
yyxfxI )( d),(d
1 byax
.
14,(练习 )将二重积分化成二次积分
.
D
yxy,xfI d)d(
15.为什么 引用极坐标计算二重积分
21
D
0
y
xD1 D2
D3
D4
D:
之间的环域和 yxyx
4321 DDDD
I
.
怎么计算？
D
yxy,xfI d)d(
需使用 极坐标系！
此题用直角系算麻烦必须把 D分块儿 !
D
σyxfI d),(
将 变换到 极坐标系 (r,?)
0
D
用 坐标线? =常数 ； r =常数分割区域 D
i
ri ri+1
iii θrr ΔΔ?
.
,ir
iσΔ
iiiii θr
rrr ΔΔ
2
)Δ(
),( ii ηξ
iiiiii θrηθrξ s i n,co s
iii
n
i
σηξf Δ),(l i m
1
iiiiiii
n
i
θrrθrθrf ΔΔ)s i n,c o s(l i m
1
D
θrrθrθrf dd)s n,c o s(
.
.
.
iθ
.
,极坐标系下的面积元素是平均值)ir(
16,利用极坐标计算二重积分
i
i
i +i
I =
iiiii θrθrr Δ2
1Δ)Δ(
2
1 22
r
.
17,怎样利用极坐标计算二重积分 (1)
极点不在区域 D 的内部
0
A
B F
E
)(1?r
)(2?r
D
D,)()(
21 rrr
r
rrθrθrfθr θr d)s i n,c o s( )( )(2
1?
D
yxyxfI dd),(
D
yxy,xfI d)d(
r
17,怎样利用极坐标计算二重积分 (1)
0
A
B F
E
)(1?r
)(2?r
D
rrθrθrfθr θr d)s i n,c o s( )( )(2
1?
D,)()(
21 rrr
.
D
yxy,xfI d)d(
D
yxyxfI dd),(
极点不在区域 D 的内部
r
17,怎样利用极坐标计算二重积分 (1)
0
A
B F
E
)(1?r
)(2?r
D
rrθrθrfθr θr d)s i n,c o s( )( )(2
1?
βα θd
D,)()(
21 rrr
.步骤：
1 从 D的图形找出 r,?上、下限；
2 化被积函数为极坐标形式；
3 面积元素 dxdy化为 rdrd?
.
D
yxy,xfI d)d(
D
yxyxfI dd),(
极点不在区域 D 的内部
r
极点位于区域 D 的内部
0
)(?r
D
rrθrθrfθr d)s i n,c o s( )(0
.r
D,)(0?rr
20
D
yxyxfI dd),(
18,怎样利用极坐标计算二重积分 (2)
D
yxy,xfI d)d(
r
)(?r
D,)(0?rr
20
rrθrθrfθr d)s i n,c o s( )(0
D
0
18,怎样利用极坐标计算二重积分 (2)
.
D
yxy,xfI d)d(
D
yxyxfI dd),(
极点位于区域 D 的内部
r
)(?r
D,)(0?rr
20
rrθrθrfθr d )s i n,c o s( )(020 d
.
D
0
步骤：
1 从 D的图形找出 r,?上、下限；
2 化被积函数为极坐标形式；
3 面积元素 dxdy化为 rdrd?
18,怎样利用极坐标计算二重积分 (2)
.
D
yxy,xfI d)d(
D
yxyxfI dd),(
极点位于区域 D 的内部
r
0
y
x
变为极坐标形式 把 d)d,(
D
yxyxfI
所围区域与, yay)ax(D
2a
co s2 ar?
.,
20 c o s20 d)s i n,c o s(dπ θa rrθrθrfθ
)( 222 ayax,ar?c o s即解
19.
D
yxyxfI dd),(,
此题用直角系算麻烦，
需使用 极坐标系！
21
D
0
y
x
D:
4321 DDDD
I
变换到 极坐标系
20,?
π rrθrθrfθ20 21 d)s i n,c o s(d
.
.
之间的环域和 yxyx
20.
D
yxy,xfI d)d(
计算
D
yxyxfI dd),(
D:? =1和? =2
围成
)d,(d 变为极坐标形式 把 R yRy xyxfyI
2R
区域 边界：
x = 0
I
.
0
y
x
r =2Rsin?
r =2Rsin?
20 s i n20 d)s i n,c o s(d
π θR
rrθrθrfθ
21.
D
yxxyI dda r c t a n计算所围第一象限部分 y,xy,yx,yx:D
0
y
x1 2
y =x
D
40 21 da r c t a n t a nd
π
rrθθ
40 21 dd
π
rrθθ
2
64
3
.,
I
.
22.
0
y
x4
r = 4 cos?
所围xy,yx
,xyx,xyx:D
422 xyx
822 xyx
r = 8 cos?
8
D
1
2
,r?c o s即 即
a r ct a n?即,r?c o s 即
23.
D
yxy,xfI d)d(
计算
y = 2x
x = y
0
y
x
422 xyx
822 xyx
yx?
即
xy 2 a r ct a n?即
r = 8 cos?D
4 8
.
r = 4 cos?
2
1
所围xy,yx
,xyx,xyx:D
,r?c o s 即
2a r c t a n
4
c o s8
c o s4 d)s i n,c o s(dπ
θ
θ rrθrθrfθ
,r?c o s即
23.
.
D
yxy,xfI d)d(
计算
I =
0
y
x2a
2a
24,将积分换序
)d,(d a ax xax yyxfxI
a
D,axyxax 解 0? x? 2a
D1
D2 D
3
axy
.
yaax
.
yaax
.
DDD
I
)d,(d
a
a
a
a
y xyxfy
)d,(d
a yaa
a
y xyxfy
)d,(d a a yaa xyxfy
.
还有别的方法吗？
0
y
x2a
2a
a
D,axyxax 解 0? x? 2a
D1
D2
axy
yaax
.
yaax
.
)d,(d
a a
a
y xyxfy
)d,(d a yaa yaa xyxfy
.
DD
I
24,将积分换序
.
)d,(d a ax xax yyxfxI
25,将积分化为 极坐标形式
r =R
R
R
R
R
R
xR y
x
yfx
21
)d(d )d(d21R
R Rx
yxyfx
D1 D2
.
.
R
0
y
x
D
d)( t a nda r c t a nR R rrθfθ
)d( t a na r c t a n
R θθfR
.
.,
22 xRy
d)d( t a na r c t a n R R rrθθf
arctanR
I =
I =
