15.为什么 引用极坐标计算二重积分
21
D
0
y
xD1 D2
D3
D4
D:
之间的环域和 yxyx
4321 DDDD
I
.
怎么计算？
D
yxy,xfI d)d(
需使用 极坐标系！
此题用直角系算麻烦必须把 D分块儿 !
D
σyxfI d),(
将 变换到 极坐标系 (r,?)
0
D
用 坐标线? =常数 ； r =常数分割区域 D
i
ri ri+1
iii θrr ΔΔ?
.
,ir
iσΔ
iiiii θr
rrr ΔΔ
2
)Δ(
),( ii ηξ
iiiiii θrηθrξ s i n,co s
iii
n
i
σηξf Δ),(l i m
1
iiiiiii
n
i
θrrθrθrf ΔΔ)s i n,c o s(l i m
1
D
θrrθrθrf dd)s n,c o s(
.
.
.
iθ
.
,极坐标系下的面积元素是平均值)ir(
16,利用极坐标计算二重积分
i
i
i +i
I =
iiiii θrθrr Δ2
1Δ)Δ(
2
1 22
r
.
17,怎样利用极坐标计算二重积分 (1)
极点不在区域 D 的内部
0
A
B F
E
)(1?r
)(2?r
D
D,)()(
21 rrr
r
rrθrθrfθr θr d)s i n,c o s( )( )(2
1?
D
yxyxfI dd),(
D
yxy,xfI d)d(
r
17,怎样利用极坐标计算二重积分 (1)
0
A
B F
E
)(1?r
)(2?r
D
rrθrθrfθr θr d)s i n,c o s( )( )(2
1?
D,)()(
21 rrr
.
D
yxy,xfI d)d(
D
yxyxfI dd),(
极点不在区域 D 的内部
r
17,怎样利用极坐标计算二重积分 (1)
0
A
B F
E
)(1?r
)(2?r
D
rrθrθrfθr θr d)s i n,c o s( )( )(2
1?
βα θd
D,)()(
21 rrr
.步骤：
1 从 D的图形找出 r,?上、下限；
2 化被积函数为极坐标形式；
3 面积元素 dxdy化为 rdrd?
.
D
yxy,xfI d)d(
D
yxyxfI dd),(
极点不在区域 D 的内部
r
极点位于区域 D 的内部
0
)(?r
D
rrθrθrfθr d)s i n,c o s( )(0
.r
D,)(0?rr
20
D
yxyxfI dd),(
18,怎样利用极坐标计算二重积分 (2)
D
yxy,xfI d)d(
r
)(?r
D,)(0?rr
20
rrθrθrfθr d)s i n,c o s( )(0
D
0
18,怎样利用极坐标计算二重积分 (2)
.
D
yxy,xfI d)d(
D
yxyxfI dd),(
极点位于区域 D 的内部
r
)(?r
D,)(0?rr
20
rrθrθrfθr d )s i n,c o s( )(020 d
.
D
0
步骤：
1 从 D的图形找出 r,?上、下限；
2 化被积函数为极坐标形式；
3 面积元素 dxdy化为 rdrd?
18,怎样利用极坐标计算二重积分 (2)
.
D
yxy,xfI d)d(
D
yxyxfI dd),(
极点位于区域 D 的内部
r
0
y
x
变为极坐标形式 把 d)d,(
D
yxyxfI
所围区域与, yay)ax(D
2a
co s2 ar?
.,
20 c o s20 d)s i n,c o s(dπ θa rrθrθrfθ
)( 222 ayax,ar?c o s即解
19.
D
yxyxfI dd),(,
此题用直角系算麻烦，
需使用 极坐标系！
21
D
0
y
x
D:
4321 DDDD
I
变换到 极坐标系
20,?
π rrθrθrfθ20 21 d)s i n,c o s(d
.
.
之间的环域和 yxyx
20.
D
yxy,xfI d)d(
计算
D
yxyxfI dd),(
D:? =1和? =2
围成
)d,(d 变为极坐标形式 把 R yRy xyxfyI
2R
区域 边界：
x = 0
I
.
0
y
x
r =2Rsin?
r =2Rsin?
20 s i n20 d)s i n,c o s(d
π θR
rrθrθrfθ
21.
D
yxxyI dda r c t a n计算所围第一象限部分 y,xy,yx,yx:D
0
y
x1 2
y =x
D
40 21 da r c t a n t a nd
π
rrθθ
40 21 dd
π
rrθθ
2
64
3
.,
I
.
22.
0
y
x4
r = 4 cos?
所围xy,yx
,xyx,xyx:D
422 xyx
822 xyx
r = 8 cos?
8
D
1
2
,r?c o s即 即
a r ct a n?即,r?c o s 即
23.
D
yxy,xfI d)d(
计算
y = 2x
x = y
0
y
x
422 xyx
822 xyx
yx?
即
xy 2 a r ct a n?即
r = 8 cos?D
4 8
.
r = 4 cos?
2
1
所围xy,yx
,xyx,xyx:D
,r?c o s 即
2a r c t a n
4
c o s8
c o s4 d)s i n,c o s(dπ
θ
θ rrθrθrfθ
,r?c o s即
23.
.
D
yxy,xfI d)d(
计算
I =
25,将积分化为 极坐标形式
r =R
R
R
R
R
R
xR y
x
yfx
21
)d(d )d(d21R
R Rx
yxyfx
D1 D2
.
.
R
0
y
x
D
d)( t a nda r c t a nR R rrθfθ
)d( t a na r c t a n
R θθfR
.
.,
22 xRy
d)d( t a na r c t a n R R rrθθf
arctanR
I =
I =
21
D
0
y
xD1 D2
D3
D4
D:
之间的环域和 yxyx
4321 DDDD
I
.
怎么计算？
D
yxy,xfI d)d(
需使用 极坐标系！
此题用直角系算麻烦必须把 D分块儿 !
D
σyxfI d),(
将 变换到 极坐标系 (r,?)
0
D
用 坐标线? =常数 ； r =常数分割区域 D
i
ri ri+1
iii θrr ΔΔ?
.
,ir
iσΔ
iiiii θr
rrr ΔΔ
2
)Δ(
),( ii ηξ
iiiiii θrηθrξ s i n,co s
iii
n
i
σηξf Δ),(l i m
1
iiiiiii
n
i
θrrθrθrf ΔΔ)s i n,c o s(l i m
1
D
θrrθrθrf dd)s n,c o s(
.
.
.
iθ
.
,极坐标系下的面积元素是平均值)ir(
16,利用极坐标计算二重积分
i
i
i +i
I =
iiiii θrθrr Δ2
1Δ)Δ(
2
1 22
r
.
17,怎样利用极坐标计算二重积分 (1)
极点不在区域 D 的内部
0
A
B F
E
)(1?r
)(2?r
D
D,)()(
21 rrr
r
rrθrθrfθr θr d)s i n,c o s( )( )(2
1?
D
yxyxfI dd),(
D
yxy,xfI d)d(
r
17,怎样利用极坐标计算二重积分 (1)
0
A
B F
E
)(1?r
)(2?r
D
rrθrθrfθr θr d)s i n,c o s( )( )(2
1?
D,)()(
21 rrr
.
D
yxy,xfI d)d(
D
yxyxfI dd),(
极点不在区域 D 的内部
r
17,怎样利用极坐标计算二重积分 (1)
0
A
B F
E
)(1?r
)(2?r
D
rrθrθrfθr θr d)s i n,c o s( )( )(2
1?
βα θd
D,)()(
21 rrr
.步骤：
1 从 D的图形找出 r,?上、下限；
2 化被积函数为极坐标形式；
3 面积元素 dxdy化为 rdrd?
.
D
yxy,xfI d)d(
D
yxyxfI dd),(
极点不在区域 D 的内部
r
极点位于区域 D 的内部
0
)(?r
D
rrθrθrfθr d)s i n,c o s( )(0
.r
D,)(0?rr
20
D
yxyxfI dd),(
18,怎样利用极坐标计算二重积分 (2)
D
yxy,xfI d)d(
r
)(?r
D,)(0?rr
20
rrθrθrfθr d)s i n,c o s( )(0
D
0
18,怎样利用极坐标计算二重积分 (2)
.
D
yxy,xfI d)d(
D
yxyxfI dd),(
极点位于区域 D 的内部
r
)(?r
D,)(0?rr
20
rrθrθrfθr d )s i n,c o s( )(020 d
.
D
0
步骤：
1 从 D的图形找出 r,?上、下限；
2 化被积函数为极坐标形式；
3 面积元素 dxdy化为 rdrd?
18,怎样利用极坐标计算二重积分 (2)
.
D
yxy,xfI d)d(
D
yxyxfI dd),(
极点位于区域 D 的内部
r
0
y
x
变为极坐标形式 把 d)d,(
D
yxyxfI
所围区域与, yay)ax(D
2a
co s2 ar?
.,
20 c o s20 d)s i n,c o s(dπ θa rrθrθrfθ
)( 222 ayax,ar?c o s即解
19.
D
yxyxfI dd),(,
此题用直角系算麻烦，
需使用 极坐标系！
21
D
0
y
x
D:
4321 DDDD
I
变换到 极坐标系
20,?
π rrθrθrfθ20 21 d)s i n,c o s(d
.
.
之间的环域和 yxyx
20.
D
yxy,xfI d)d(
计算
D
yxyxfI dd),(
D:? =1和? =2
围成
)d,(d 变为极坐标形式 把 R yRy xyxfyI
2R
区域 边界：
x = 0
I
.
0
y
x
r =2Rsin?
r =2Rsin?
20 s i n20 d)s i n,c o s(d
π θR
rrθrθrfθ
21.
D
yxxyI dda r c t a n计算所围第一象限部分 y,xy,yx,yx:D
0
y
x1 2
y =x
D
40 21 da r c t a n t a nd
π
rrθθ
40 21 dd
π
rrθθ
2
64
3
.,
I
.
22.
0
y
x4
r = 4 cos?
所围xy,yx
,xyx,xyx:D
422 xyx
822 xyx
r = 8 cos?
8
D
1
2
,r?c o s即 即
a r ct a n?即,r?c o s 即
23.
D
yxy,xfI d)d(
计算
y = 2x
x = y
0
y
x
422 xyx
822 xyx
yx?
即
xy 2 a r ct a n?即
r = 8 cos?D
4 8
.
r = 4 cos?
2
1
所围xy,yx
,xyx,xyx:D
,r?c o s 即
2a r c t a n
4
c o s8
c o s4 d)s i n,c o s(dπ
θ
θ rrθrθrfθ
,r?c o s即
23.
.
D
yxy,xfI d)d(
计算
I =
25,将积分化为 极坐标形式
r =R
R
R
R
R
R
xR y
x
yfx
21
)d(d )d(d21R
R Rx
yxyfx
D1 D2
.
.
R
0
y
x
D
d)( t a nda r c t a nR R rrθfθ
)d( t a na r c t a n
R θθfR
.
.,
22 xRy
d)d( t a na r c t a n R R rrθθf
arctanR
I =
I =
