第四章 重积分
二重积的计算习题讨论
讨 论 题 目:
1,计算累次积分

2,计算二重积分 ,
其中.
3,求二重积分:,
其中.
4,求二重积分:
其中.
5,求二重积分:

6,求三重积分:
其中.
7,设,,且
,,证明：
,
其中，是域的体积。
8,证明；,.
9,若,单调减,设
是在上曲边梯形的重心坐标;
是在上曲边梯形的重心坐标;
证明：
10.若,证明：
.
参 考 解 答:
1,计算累次积分

解,
==
2,计算二重积分 ,
其中.
解：
y
1
D2
D1
0 1 x

=
=;

=
=
y
(=Sin(/2
(=Sin(/4
(=Cos(/2
0 x
(=Cos(/4

3,求二重积分:,
.
解：=
==
=
4,求二重积分:
其中.
解：考虑极坐标系,.
=
==
因为：=
=
=.
=

=
==
y
A
O1
D1
O x
D2
5,求二重积分:

解：如图，切点,
小园园心;
;

==;
=
=
=
=;

==
=;

6,求三重积分:
,其中
.
解：由函数与域的对称性；
=
球坐标系,;
柱坐标系,;
直角坐标系,
先对积分,

7,设,,
是半径为，球心在原点的球面所围成之域，
且,,
证明,,
其中，；是域的体积,。
证,;



;
即,
8,证明；
,
y
a r
证明：




由,得
由此得 
;
即：
9,若,单调减,设
是在上曲边梯形的重心坐标;
是在上曲边梯形的重心坐标;
证明：
证明,







因：
则，
=
10.若,证明：
.
证明：
首先有：=
;
再者：有：


令 ,


,即
综合在一起有,
另外，该问题后一部可利用以下结果：两正数之和小于正数,则乘积的最大值为,即 
 当时,取最大值，即.