第四章 重积分第五节 含参变量的积分
4-5-1 含参积分的概念及性质
4-5-2 广义含参积分
第十四讲 含参变量积分的概念与性质课后作业,
阅读：第四章 第二节,pp.102---107,、第三节,pp.109---113
预习,第四节 三重积分的计算 pp.114---123
作业,习题2,pp,108--109,1,(3),(5),(6); 2,(2),(3),(4);
3(书上错写成2),(3),(4); 4(书上错写成3),(2),(4);
5(书上错写成4); 7(书上错写成9); 8(书上错写成10);
习题3,pp,113--114,2; 3; 4; 5.
引言
Γ函数和Β函数是在物理和工程技术中常见的两个函数。它们都是用积分定义的函数。其中
(6.1)
(6.2)
根据对于一元函数广义积分的研究结果，我们已经知道：
1．当且仅当时，无穷积分收敛，因此Γ函数的定义域是。
2．当且仅当，时，瑕积分收敛，因此Β函数的定义域是。
Γ函数和(函数都是由积分确定的函数。在积分中，是积分变量，是参变量。在对于的积分过程中，是不变的。但是积分的结果一般与是有关的，也就是说，积分值是的函数。这样的积分称为含参变量积分。
同样，在积分中，都是参变量，这个含参变量积分是的二元函数，记作。
除了初等函数之外，我们曾经研究过隐函数和由参数方程确定的函数的微分法；还研究过函数级数的和函数的连续性、微分法和积分法。本节考察含参变量积分（由积分确定的函数）。例如
，（其中是某个区间）,（其中是中的某个区域）以及等等。
我们将研究这样的问题：含参变量积分作为参变量的函数，如何研究它们的连续性,可导性,以及如何求导数和积分等问题。
6.1．含参变量的定积分
假设当在某个范围中任意固定时，定积分存在，则称是含参变量的定积分（此处为参变量）。此时，由积分确定了一个的函数，该函数的定义域就是使得积分存在的那些的值构成的集合。
同样，假设当任意固定时，在通常意义下的二重积分存在，则也是含参变量的定积分（二重积分，为参变量）。
首先研究含参变量积分的连续性。
定理6.1：设。如果二元函数在矩形
连续，则在区间上连续。
证明：任取，按照函数连续性的定义，为了证明在点连续，只需要证明：对于任意给定的正数，都能够找到正数，只要满足不等式，就有。
现在开始证明定理.注意到
（6.3）
对于任意给定的正数,由于在有界闭区域上连续，从而一致连续。因此存在正数，只要，那么对于所有的，都有
（6.4）
于是只要，由（6.3）和（6.4）式就推出
。
这就证明了在点连续。由于是在区间任取的，所以在区间处处连续。证毕。
注释：定理1为求含参变量积分的函数极限提供了一个简单的途径。在定理6.1的条件下，由于函数在区间上连续，所以对于任意的，有。因为，，由此得到
又因为二元函数连续，因此。于是由上式得到
（6.5）
这就是说，在定理1的条件下，对于参变量的求极限运算与对于变量的积分运算可以交换顺序。
在定理1的条件下，由于函数在区间上连续，所以积分
（6.6）
存在。并且根据二重积分化为累次积分的方法可以推出
（6.7）
于是得到下述结论：
定理6.2：设。如果二元函数在矩形连续，则积分存在，并且（6.7）式成立。
定理6.2的意义在于，它为计算含参变量积分提供了一种方法，即可以通过交换积分顺序计算积分（6.6）。同时，由此也可以得到计算定积分的一种技巧。
例6.1：计算定积分（其中为常数，满足）
解：由于被积函数没有初等原函数，所以不能直接用牛顿-莱布尼茨公式计算这个积分。
注意到，所以
在上述解题过程中，将原来的被积函数看成某个含参变量的积分，然后交换积分顺序，最后求得原积分的值。
另一个更加重要的问题是如何求含参变量积分的导数。研究这个问题要比研究连续性与求积分复杂一些。
定理6.3:假设函数以及该函数关于参变量偏导数都在区域连续，则在区间上可导，并且
（6.8）
证明：对于任意的，假设（作这个假设是为了使有定义），则有
于是
（6.9）
因为存在，根据微分中值定理，存在介于和之间的点，使得
(对于每一个，存在，但是一般与有关。)
于是由（6.9）式得到
（6.10）
由（6.10）式得到，
由于在区域连续，所以一致连续。因此对于任意正数，存在正数，只要，就有（注意）
于是当时，有
这说明当时，的极限为。从而
注释：（6.8）式说明：对于含参变量所确定的函数求导数时，对于参变量求导运算可以与对于自变量的积分运算交换顺序。
例6.2：计算积分。
解：记。则根据定理6.3得到
对于积分，令，则，。于是
于是
积分得到
注意到当时
所以。从而
因此
在各种问题中经常见到下述形式的含参变量积分：
（6.11）
有关此类函数的求导运算，有以下定理：
定理6.4：假设函数以及关于参变量偏导数都在区域连续，又设函数的值域都属于区间。则在区间上可导，并且
(6.12)
6.2．含参变量广义积分
设是一个（有限或无限）区间，考察含参变量积分
（6.13）
如果对于每一个，是一个广义积分(例如无穷积分或者瑕积分)，则称由（6.13）式确定的函数为含参变量广义积分。
对于由含参变量广义积分确定的函数，同样需要研究连续性、积分交换顺序以及求导法则等问题。但是由于这些问题的研究涉及到含参变量广义积分的一致收敛性，所以问题要复杂得多。
以下先介绍含参变量广义积分的一致收敛性，然后对于含参变量无穷积分叙述有关定理。更为详细的研究和应用，读者可以参考数学分析教科书。
定义6.1：（含参变量无穷积分的一致收敛性）考察含参变量无穷积分。
假设对于每个，关于变量的无穷积分收敛。并记。如果对于任意正数，都存在正数，只要满足，对于所有的都有，则称含参变量无穷积分关于参变量一致收敛。
关于含参变量无穷积分的连续性、求积分与求导数等问题，有与定理6.1，6.2和6.3平行的以下三个定理。（由于篇幅所限，略去这些定理的证明细节）
定理6.5：设二元函数在区域连续，并且含参变量无穷积分关于参变量一致收敛。则函数在区间上连续。
定理6.6：设二元函数在区域连续，并且含参变量无穷积分关于参变量一致收敛。则积分存在，并且
定理6.7：设二元函数在区域处处可导，且处处连续，其中是有限区间。假设对于每个，关于变量的无穷积分收敛。又设含参变量无穷积分关于参变量一致收敛。则函数可导,并且
作为定理6.7的一个应用，下面计算一个著名的广义积分。
例6.3：计算（为常数）。
解：任取正数，令。考察以为参变量的含参变量无穷积分。
可以证明（略去证明细节）：参变量无穷积分对于每一个都收敛，并且参变量无穷积分
关于参数是一致收敛的。于是由定理7可知
简单计算得到
于是
注意到，所以。因此
另一方面，固定常数，将积分看作是以为参数的含参变量广义积分。则这个积分关于参数是一致收敛的。因此根据定理5可以知道，作为参数的函数，含参变量广义积分在连续。因此
由此式立即得到：
当时，；
当时，；
当时，。
4-5-1 含参积分的概念及性质
4-5-2 广义含参积分
第十四讲 含参变量积分的概念与性质课后作业,
阅读：第四章 第二节,pp.102---107,、第三节,pp.109---113
预习,第四节 三重积分的计算 pp.114---123
作业,习题2,pp,108--109,1,(3),(5),(6); 2,(2),(3),(4);
3(书上错写成2),(3),(4); 4(书上错写成3),(2),(4);
5(书上错写成4); 7(书上错写成9); 8(书上错写成10);
习题3,pp,113--114,2; 3; 4; 5.
引言
Γ函数和Β函数是在物理和工程技术中常见的两个函数。它们都是用积分定义的函数。其中
(6.1)
(6.2)
根据对于一元函数广义积分的研究结果，我们已经知道：
1．当且仅当时，无穷积分收敛，因此Γ函数的定义域是。
2．当且仅当，时，瑕积分收敛，因此Β函数的定义域是。
Γ函数和(函数都是由积分确定的函数。在积分中，是积分变量，是参变量。在对于的积分过程中，是不变的。但是积分的结果一般与是有关的，也就是说，积分值是的函数。这样的积分称为含参变量积分。
同样，在积分中，都是参变量，这个含参变量积分是的二元函数，记作。
除了初等函数之外，我们曾经研究过隐函数和由参数方程确定的函数的微分法；还研究过函数级数的和函数的连续性、微分法和积分法。本节考察含参变量积分（由积分确定的函数）。例如
，（其中是某个区间）,（其中是中的某个区域）以及等等。
我们将研究这样的问题：含参变量积分作为参变量的函数，如何研究它们的连续性,可导性,以及如何求导数和积分等问题。
6.1．含参变量的定积分
假设当在某个范围中任意固定时，定积分存在，则称是含参变量的定积分（此处为参变量）。此时，由积分确定了一个的函数，该函数的定义域就是使得积分存在的那些的值构成的集合。
同样，假设当任意固定时，在通常意义下的二重积分存在，则也是含参变量的定积分（二重积分，为参变量）。
首先研究含参变量积分的连续性。
定理6.1：设。如果二元函数在矩形
连续，则在区间上连续。
证明：任取，按照函数连续性的定义，为了证明在点连续，只需要证明：对于任意给定的正数，都能够找到正数，只要满足不等式，就有。
现在开始证明定理.注意到
（6.3）
对于任意给定的正数,由于在有界闭区域上连续，从而一致连续。因此存在正数，只要，那么对于所有的，都有
（6.4）
于是只要，由（6.3）和（6.4）式就推出
。
这就证明了在点连续。由于是在区间任取的，所以在区间处处连续。证毕。
注释：定理1为求含参变量积分的函数极限提供了一个简单的途径。在定理6.1的条件下，由于函数在区间上连续，所以对于任意的，有。因为，，由此得到
又因为二元函数连续，因此。于是由上式得到
（6.5）
这就是说，在定理1的条件下，对于参变量的求极限运算与对于变量的积分运算可以交换顺序。
在定理1的条件下，由于函数在区间上连续，所以积分
（6.6）
存在。并且根据二重积分化为累次积分的方法可以推出
（6.7）
于是得到下述结论：
定理6.2：设。如果二元函数在矩形连续，则积分存在，并且（6.7）式成立。
定理6.2的意义在于，它为计算含参变量积分提供了一种方法，即可以通过交换积分顺序计算积分（6.6）。同时，由此也可以得到计算定积分的一种技巧。
例6.1：计算定积分（其中为常数，满足）
解：由于被积函数没有初等原函数，所以不能直接用牛顿-莱布尼茨公式计算这个积分。
注意到，所以
在上述解题过程中，将原来的被积函数看成某个含参变量的积分，然后交换积分顺序，最后求得原积分的值。
另一个更加重要的问题是如何求含参变量积分的导数。研究这个问题要比研究连续性与求积分复杂一些。
定理6.3:假设函数以及该函数关于参变量偏导数都在区域连续，则在区间上可导，并且
（6.8）
证明：对于任意的，假设（作这个假设是为了使有定义），则有
于是
（6.9）
因为存在，根据微分中值定理，存在介于和之间的点，使得
(对于每一个，存在，但是一般与有关。)
于是由（6.9）式得到
（6.10）
由（6.10）式得到，
由于在区域连续，所以一致连续。因此对于任意正数，存在正数，只要，就有（注意）
于是当时，有
这说明当时，的极限为。从而
注释：（6.8）式说明：对于含参变量所确定的函数求导数时，对于参变量求导运算可以与对于自变量的积分运算交换顺序。
例6.2：计算积分。
解：记。则根据定理6.3得到
对于积分，令，则，。于是
于是
积分得到
注意到当时
所以。从而
因此
在各种问题中经常见到下述形式的含参变量积分：
（6.11）
有关此类函数的求导运算，有以下定理：
定理6.4：假设函数以及关于参变量偏导数都在区域连续，又设函数的值域都属于区间。则在区间上可导，并且
(6.12)
6.2．含参变量广义积分
设是一个（有限或无限）区间，考察含参变量积分
（6.13）
如果对于每一个，是一个广义积分(例如无穷积分或者瑕积分)，则称由（6.13）式确定的函数为含参变量广义积分。
对于由含参变量广义积分确定的函数，同样需要研究连续性、积分交换顺序以及求导法则等问题。但是由于这些问题的研究涉及到含参变量广义积分的一致收敛性，所以问题要复杂得多。
以下先介绍含参变量广义积分的一致收敛性，然后对于含参变量无穷积分叙述有关定理。更为详细的研究和应用，读者可以参考数学分析教科书。
定义6.1：（含参变量无穷积分的一致收敛性）考察含参变量无穷积分。
假设对于每个，关于变量的无穷积分收敛。并记。如果对于任意正数，都存在正数，只要满足，对于所有的都有，则称含参变量无穷积分关于参变量一致收敛。
关于含参变量无穷积分的连续性、求积分与求导数等问题，有与定理6.1，6.2和6.3平行的以下三个定理。（由于篇幅所限，略去这些定理的证明细节）
定理6.5：设二元函数在区域连续，并且含参变量无穷积分关于参变量一致收敛。则函数在区间上连续。
定理6.6：设二元函数在区域连续，并且含参变量无穷积分关于参变量一致收敛。则积分存在，并且
定理6.7：设二元函数在区域处处可导，且处处连续，其中是有限区间。假设对于每个，关于变量的无穷积分收敛。又设含参变量无穷积分关于参变量一致收敛。则函数可导,并且
作为定理6.7的一个应用，下面计算一个著名的广义积分。
例6.3：计算（为常数）。
解：任取正数，令。考察以为参变量的含参变量无穷积分。
可以证明（略去证明细节）：参变量无穷积分对于每一个都收敛，并且参变量无穷积分
关于参数是一致收敛的。于是由定理7可知
简单计算得到
于是
注意到，所以。因此
另一方面，固定常数，将积分看作是以为参数的含参变量广义积分。则这个积分关于参数是一致收敛的。因此根据定理5可以知道，作为参数的函数，含参变量广义积分在连续。因此
由此式立即得到：
当时，；
当时，；
当时，。
