第十一讲 台劳(Taylor)公式阅读：第4章4.4,pp.113—121
预习,
练习 pp121--122 习题 4.4,1至2; 3,(1),(3); 5,(1),
作业 pp121--122 习题 4.4,3,(4),(5),(6); 5,(2).
pp.122---123,第4章补充题,1; 3; 5; 9; 12; 15,(3); 17.
机考安排：
1,地点：学校开放实验室，(主楼地下室);
2,时间：第九周星期六下午。
3,各班时间安排：
注意与上次公布的不一样！以这次为准！！
14:00----15:00,13:30入场,
班级,环21—23,共三个班
15:30----16:30,15:00入场,
班级,自21-----自27 共七个班; 建环2,文2,新闻2,
医学2,软件2,及其他所有上谭泽光老师课的同学,
4,注意事项：
第九周星期二以后，可在网上浏览机考说明及做模拟题,以熟悉考试规则，请第一次参加机考的同学务必在考前抽空上网。
网址：info,Emathc,edu,cn
不带书本、书包、纸张入场,场上统一发草稿纸;
检查你的上机卡中的钱够不够一小时上机费用！
考前分发密码，
在网站：info,Emathc,edu,cn上按密码进入打开试题助教答疑时间地点：
班 级
助教姓名
时间
上课地点
1
自21—自22
自23—自24
张 靖
星期三(5)
新水300
2
自25—自26,
自27,医学23
陈 明
星期三(6)
四教4102
3
环21—22;
环23; 建环2
张李军
星期四(5)
四教4305
4
文2,新闻2,
其他班级及重修同学
王 强
星期四(5)
文科楼206
4-4 台劳(Taylor)公式
4-4-1多项式逼近、台劳公式
一 函数在一点的台劳公式引理,
A) 若在的0至阶导数均为零时,则=;
若在阶可导,且在的0至阶导数均为零时,则 ,=.
证明：反复利用柯西中值定理可得，但最后一次利用导数定义：
A)=
=
=.
B) 一直反复利用柯西中值定理可得
=
=,
=.
台劳多项式,
若函数是次多项式,且在点的函数值及1至阶导数值己知为：,其中,则这个多项式是：
=,
这个结果可以直接验证。
如果函数在点阶可导，且0至阶导数值为：,其中,今用这些导数值构成的次多项式,
=
称为 在点的次台劳多项式.
利用引理可得到台劳多项式与函数之间的关系,
台劳公式,
定理:(带有皮亚诺余项的台劳公式)假定函数在点存在1到阶的各阶导数,则有:
.
此式式称为带有皮亚诺(Piano)余项的台劳公式,其中为皮亚诺余项.
定理7.2 (带有拉格朗日余项的台劳公式)设函数在包含点的某个区间上存在阶的导数，则对于任意的有
,
其中介于与之间．此式称为带有拉格朗日余项的台劳公式,其中为拉格朗日余项.
带有拉格朗日余项的台劳公式与带有皮亚诺余项的台劳公式相比较,一个是无限形式，一个是有限形，各有不同的用武之地。
这两个定理只要设,再直接利用引理即得。
三 一些常见函数的台劳公式
1 在点带有拉格朗日余项的台劳公式
由于 ,所以有
=
其中
2 和在点带有拉格朗日余项的台劳公式
因为 ,所以
于是在点带有拉格朗日余项的台劳公式是
=
其中
类似的推导可以得到
=
其中
3 (为任意实数) 在点带有格朗日余项的台劳公式
因为 ,……,
所以
=
其中 .
特别是：
,;
,;
,;
其中,,,
4 在点带有拉格朗日余项的台劳公式
由于 ,……,
,
=
其中
五个基本函数在点的Taylor公式：
(1)
(2)
+
(3)
+
(4)
+
(5)
+.
特别是：
,;
,;
,;
例1,分别写出函数在点与的2阶和3阶
台劳公式.
解(1) 在点的3阶台劳公式.
在点带有皮亚诺余项的三阶台劳公式为:
在点带有拉格朗日余项的三阶台劳公式为
(2) 求在点的2阶台劳公式.
该函数在点的1阶台劳公式,
=
=
该函数在点,只能写出带皮亚诺余项的2阶台劳公式,
=
试研究：,在点的阶台劳公式。
4-4-2 台劳公式的应用
下面举例说明台劳公式在近似计算和求不定型极限方面的应用.
例2,求函数的5阶台劳多项式,并用其作为的近似.
解,
所以函数的5阶台劳多项式为
例3:用台劳公式求极限
解,注意到当时(,(,
用等价无穷小量代换将原极限变成
=
=
=
==
=
例4,证明：,.
解：为证,,
研究函数：;
在展三阶台劳公式,,,
,,
=
=
,,
因为,,
再在 展三阶台劳公式,,,
,,;
=
=
,;
由于 .
综合两者，有.
此题仍有别的证法,可能证明会简单些,比如,
设 ,,
,
,
此即为要证的左半不等式。利用凸凹性亦可证明。
( A
B D d C
r
x
0
例4,Huyge 弧长近似计算公式.
设园弧BAC长为s,
园弧的弦长;
半弧的弦长;
今欲利用公式
来近似计算弧长s,试确定系数
a和b，使公式的精度尽可能高。
解：设圆弧BAC的半径为r,所对之园心角是.
=,
=,
=,
,,
,
当时,.
E A
B D C
r
x
0
问题,弧长近似计算公式.
设园弧BAC长为s,
园弧的弦长;
半弧的弦长;
园弧弦长 ,
试确定系数,利用公式,
来近似园弧BAC长为s,使得公式的精度尽可能提高。
=,
=,
=,
=
=
+,
,
=
=
讨论：用这种方法再提高公式的精度是否可取？为什么？
例5,一单位质量的质点,在一平行轴的连续变化的力的作用下，沿轴做直线运动，从静止开始，运动了单位时间,产生了单位位移，并停止运动。证明：在运动过程中质点受力的最大值必须超过4.
证明：;
预习,
练习 pp121--122 习题 4.4,1至2; 3,(1),(3); 5,(1),
作业 pp121--122 习题 4.4,3,(4),(5),(6); 5,(2).
pp.122---123,第4章补充题,1; 3; 5; 9; 12; 15,(3); 17.
机考安排：
1,地点：学校开放实验室，(主楼地下室);
2,时间：第九周星期六下午。
3,各班时间安排：
注意与上次公布的不一样！以这次为准！！
14:00----15:00,13:30入场,
班级,环21—23,共三个班
15:30----16:30,15:00入场,
班级,自21-----自27 共七个班; 建环2,文2,新闻2,
医学2,软件2,及其他所有上谭泽光老师课的同学,
4,注意事项：
第九周星期二以后，可在网上浏览机考说明及做模拟题,以熟悉考试规则，请第一次参加机考的同学务必在考前抽空上网。
网址：info,Emathc,edu,cn
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班 级
助教姓名
时间
上课地点
1
自21—自22
自23—自24
张 靖
星期三(5)
新水300
2
自25—自26,
自27,医学23
陈 明
星期三(6)
四教4102
3
环21—22;
环23; 建环2
张李军
星期四(5)
四教4305
4
文2,新闻2,
其他班级及重修同学
王 强
星期四(5)
文科楼206
4-4 台劳(Taylor)公式
4-4-1多项式逼近、台劳公式
一 函数在一点的台劳公式引理,
A) 若在的0至阶导数均为零时,则=;
若在阶可导,且在的0至阶导数均为零时,则 ,=.
证明：反复利用柯西中值定理可得，但最后一次利用导数定义：
A)=
=
=.
B) 一直反复利用柯西中值定理可得
=
=,
=.
台劳多项式,
若函数是次多项式,且在点的函数值及1至阶导数值己知为：,其中,则这个多项式是：
=,
这个结果可以直接验证。
如果函数在点阶可导，且0至阶导数值为：,其中,今用这些导数值构成的次多项式,
=
称为 在点的次台劳多项式.
利用引理可得到台劳多项式与函数之间的关系,
台劳公式,
定理:(带有皮亚诺余项的台劳公式)假定函数在点存在1到阶的各阶导数,则有:
.
此式式称为带有皮亚诺(Piano)余项的台劳公式,其中为皮亚诺余项.
定理7.2 (带有拉格朗日余项的台劳公式)设函数在包含点的某个区间上存在阶的导数，则对于任意的有
,
其中介于与之间．此式称为带有拉格朗日余项的台劳公式,其中为拉格朗日余项.
带有拉格朗日余项的台劳公式与带有皮亚诺余项的台劳公式相比较,一个是无限形式，一个是有限形，各有不同的用武之地。
这两个定理只要设,再直接利用引理即得。
三 一些常见函数的台劳公式
1 在点带有拉格朗日余项的台劳公式
由于 ,所以有
=
其中
2 和在点带有拉格朗日余项的台劳公式
因为 ,所以
于是在点带有拉格朗日余项的台劳公式是
=
其中
类似的推导可以得到
=
其中
3 (为任意实数) 在点带有格朗日余项的台劳公式
因为 ,……,
所以
=
其中 .
特别是：
,;
,;
,;
其中,,,
4 在点带有拉格朗日余项的台劳公式
由于 ,……,
,
=
其中
五个基本函数在点的Taylor公式：
(1)
(2)
+
(3)
+
(4)
+
(5)
+.
特别是：
,;
,;
,;
例1,分别写出函数在点与的2阶和3阶
台劳公式.
解(1) 在点的3阶台劳公式.
在点带有皮亚诺余项的三阶台劳公式为:
在点带有拉格朗日余项的三阶台劳公式为
(2) 求在点的2阶台劳公式.
该函数在点的1阶台劳公式,
=
=
该函数在点,只能写出带皮亚诺余项的2阶台劳公式,
=
试研究：,在点的阶台劳公式。
4-4-2 台劳公式的应用
下面举例说明台劳公式在近似计算和求不定型极限方面的应用.
例2,求函数的5阶台劳多项式,并用其作为的近似.
解,
所以函数的5阶台劳多项式为
例3:用台劳公式求极限
解,注意到当时(,(,
用等价无穷小量代换将原极限变成
=
=
=
==
=
例4,证明：,.
解：为证,,
研究函数：;
在展三阶台劳公式,,,
,,
=
=
,,
因为,,
再在 展三阶台劳公式,,,
,,;
=
=
,;
由于 .
综合两者，有.
此题仍有别的证法,可能证明会简单些,比如,
设 ,,
,
,
此即为要证的左半不等式。利用凸凹性亦可证明。
( A
B D d C
r
x
0
例4,Huyge 弧长近似计算公式.
设园弧BAC长为s,
园弧的弦长;
半弧的弦长;
今欲利用公式
来近似计算弧长s,试确定系数
a和b，使公式的精度尽可能高。
解：设圆弧BAC的半径为r,所对之园心角是.
=,
=,
=,
,,
,
当时,.
E A
B D C
r
x
0
问题,弧长近似计算公式.
设园弧BAC长为s,
园弧的弦长;
半弧的弦长;
园弧弦长 ,
试确定系数,利用公式,
来近似园弧BAC长为s,使得公式的精度尽可能提高。
=,
=,
=,
=
=
+,
,
=
=
讨论：用这种方法再提高公式的精度是否可取？为什么？
例5,一单位质量的质点,在一平行轴的连续变化的力的作用下，沿轴做直线运动，从静止开始，运动了单位时间,产生了单位位移，并停止运动。证明：在运动过程中质点受力的最大值必须超过4.
证明：;
