第三章 空间曲线的基本知识
第四节 微分学在天体力学中的应用
第十讲 微分学在天体力学中的应用课后作业,
阅读：第三章 第四节 在天体力学中的应用 pp.94---96
预习：第四章 第一节 重积分的概念与性质 pp.97---101
第二节 二重积分的计算 pp.102---109
3-4 微分学在天体力学中的应用
3-4-1 Kepler天体运行定律
在对行星运动进行大量观测的基础上,ohan-Kepler(1571-1630)提出了太阳系中行星运动的三大定律:
太阳系中的行星环绕着太阳作周期运动，且
1.行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等.
2.行星的运行轨道是一个椭圆,太阳位于此椭圆的一个焦点上.
3.行星运行周期的平方正比于行星与太阳之间的平均距离(近日点距离与远日点距离的平均值).
现在我们用微分学重新给出Kepler三大定律中前两个定律的证明.
将太阳取为坐标原点,将行星看成空间的质点，设代表时间。
坐置函数代表运动质点(行星)于时刻在空间的位置.
质点在时刻的运动速度.
质点在时刻的加速度是的导数:

如果忽略行星之间的相互作用，那么行星就只受到太阳引力的作用，则由万有引力定律：

其中，，是径向单位向量，是太阳的质量，
是行星的质量，为引力常数.根据Newton第二定律得
,
3-4-1 Kepler天体运行定律的数学证明
是平面曲线：
记 ，则得

因此 是一个定常向量,且位置向量恒与定常向量正交。所以是平面向量,即行星轨道始终在通过太阳的一个平面上.
向径相等的时间内扫过的面积相等考虑向径扫过面积的速度.设行星在时刻和的位置分别是和，则在到这段时间内向径扫过的面积近似地等于，因此扫过面积的速度就等于

上面已经指出是一个定常向量，因此扫过面积的速度就是一个常数，这就是Kepler第一定律,
行星的运行轨道是一个椭圆因为是一个定常向量，所以得
)
注意到 ，
得 ，所以

不难验证对于任意向量,有
.
由此可以推出

在以上推导中,由于为定长向量,有 .
对于前式两端关于积分得

这里是某个定常向量.由此进一步得到

其中,是与之间的夹角，又注意到

所以 ，就知道行星的运动轨道满足

这是一条圆锥曲线，由于行星运动轨道是封闭的，所以一定是椭圆.这就是Kepler第二定律.