第三章 空间曲线的基本知识
第九、十讲 曲线的弧长课后作业,
阅读：第三章 第二节 曲线的弧长 pp.85---87
预习：第三章 第三节 曲线的曲率与挠率 pp.87---94
第四节 在天体力学中的应用 pp.94---96
作业,
1,求下列曲线的切线和法平面议程：
(1) ；
(2)
2,求下列曲线的副法线和密切平面方程
(1) ；
(2) ;
3.,求曲线处的主法线和从切平面方程。
4,证明球面曲线的法平面通过球心。
5,计算圆锥螺线的弧长公式（从0到t）。
6,求下列平面曲线的弧长公式及弧长。
(1) 曲线由直角坐标中显示表示；
(2) 曲线由极坐标方程表示(＝( (()，对数螺线。
7,将方程（圆柱螺线）化成以弧长为参数的方程。
8,求曲线在处的弗雷耐标架。
第二节 曲线的弧长
3.2.1 曲线的弧长设曲线,，
其中，我们来定义和计算曲线C的弧长。
将区间分成n份，记分点为，则曲线C也相应的分成n段，C上的对应分点是,i=0,1,2,…,n,点,之间的线段长为，记。如果极限：
存在，则称该极限为曲线C在上所对应的曲线段的弧长。
对于光滑曲线，可以证明，这个极限等于在上的定积分，即 。
设t0,t(,t0是固定值，记为到的弧长，并规定t>t0时,
弧长函数s(t)是t的增函数，且 ,
即
可推出平面曲线在直角坐标系和极坐标系中的弧长公式：
弧微分,
即，.
若则
,
这表示弧长函数是光滑的单调增函数，故s(t)的反函数存在，以此代入，
得到以弧长s为参数的曲线C的方程
弧长参数也称为自然参数。
引理2.1 设曲线,则t为弧长参数的充要条件是 。
证：必要性,
若以弧长s代换参数t,有.
充分性：
设由,到段的弧长：
所以t为弧长参数；若，
则 (c为常数)，即均为弧长参数，二者仅在起点和弧长的增减方向上可能有差别。
例1 设中的直线方程,,
其中是常向量，求直线上由点t=0 到点t之间的弧长s及直线的弧长参数表达式。
解 直线的方向向量为 ,
所求弧长是
由此解得反函数,,
代入原直线方程，即得直线由其弧长作为参数的方程：
,
其中表示直线方向的单位向量。
例2 求圆柱螺线从t＝0起计算的弧长s，
并求圆柱螺线的弧长参数表达式。
解 圆柱螺线在点t处的切向量是
所求弧长为
由此我们得到圆柱螺线由自然参数s表示的方程,
,其中，.
注意的第三个分量是常数，与参数t无关，故圆柱螺线的切向量和z轴的夹角(的余弦为
,
这就是说：圆柱螺线上任一点的切线与z轴交成定角。
用具有明确几何意义的弧长s代替原来的一般不具有几何意义的任意参数t，会给问题的讨论带来很大的方便，特别是理论问题，用弧长作参数，将使一些公式大为简化,
3.2.2 切线和法平面设中曲线C以自然参数表示为
,
为C的正则点。C在点s0的切线向量：
切线方程为
其中是C在点s0的切线的向径,(为参数。
法平面,过点与切线垂直平面称为C在法平面，
法面方程为
,
其中是C在点s0的法平面上的向径。
例3 求螺旋线在点处的切线和法平面。
解 时,
故在点处螺旋线的切线议程为
是参数，
或 ,
法平面方程为 ,
即 .
3.2.3 密切平面和副法线密切平面经过曲线C上点 的切线的平面称为切平面,其中有一个最贴近C的平面称为密切平面。
其具体定义为：过C上点 的切线及其邻近点作一平面 ，当时，若((有极限位置(，则称(为C在点r(s0)的密切平面。设该平面的法向量为单位向量,则由这是由于的法向量平行于向量
可得,,
再利用 和
( 是定长向量，所以)，即得密切平面的单位法向量:
.
密切平面方程为
或
如果是平面曲线，则其上任一点的密切平面就是曲线所在平面。
副法线,密切平面的法线称为C在处的副法线，单位副法线向量以表示，则
副法线方程为
或 .
曲线C的一般参数方程，它在处的单位副法线向量为 .
例4 求圆锥螺线 在坐标原点处的密切平面方程和副法线方程。
解 坐标原点对应于t=0,
所以，螺线在原点处的密切平面方程为
即 ,
螺旋线在原点处的副法线方程为
即
其中t 是参数。
3.2.4 主法线和从切平面主法线,在曲线C的任一点处，
在已有切线和法平面、密切平面和副法线的概念的基础上，
我们把密切平面和法平面的交线称为主法线，过点且以主法线为法向量的平面称为从切平面。
以表示过的单位主法线向量，取
由于是定长向量，
所以 ；
再由，
,
过的主法线和从切平面的方程分别为
和
若曲线C的方程为,则
例5 求圆柱螺线在任一点t处的切线和法平面、密切平面和副法线、主法线和从切平面。
得向量
副法线向量
主法线向量
故得切线方程
；
副法线方程
；
主法线方程
；
法平面方程
；
密切平面方程
；
从切平面方程：
3.2.5 弗雷耐标架上面我们得到曲线C：在处的单位切向量、单位副法线向量和单位主法线向量，它们以自然参数s表示和以一般参数t表示的公式如下表所示。
空间曲线方程
空间曲线方程
弧长
s
弧微分
在曲线C上任一点处，都有互相正交的三个单位向,和，且依上述次序构成一个右旋系，我们把它看成是粘附在C上点处以为原点的右旋单位正交坐标系，当s在C上移动时，这个坐标系也随着运动，是个活动的坐标架。
定义2.1 曲线在点s处的单位正交向量,和按右手法则组成的坐标系，称为曲线在点s处的弗雷耐(Frenet)标架，记作
显然，
例6 设圆柱螺线的方程为,且有
式中，求曲线在s处的弗雷耐标架解 由和得知s为弧长参数。所以
当b>0时的圆柱螺线，它是右旋的；
当b>0，的第三分量(b是向上倾斜的。的第三分量为零，它总是平行于水平平面且指向z轴。的第三个分量(a>0，它是向上倾斜的。它是左旋的。
在曲线论中，用活动的弗雷耐标架取代固定的笛卡尔直角标加，会给问题的研究带来很大的方便，这种活动标架的方法在其他学科中（如运动学中）也被广泛地使用。
人们在实际生活中，也经常利用活动标架的方法。如，一条船航行在茫茫大海上，如果取其前进的方向为T，铅垂向上为B，则 是沿水平指向左舷的向量。这样就组成了一个标架，由于船本身在前进，因此它们都是时间t的函数，是一个活动标架，当水手观察到海面上空一架飞机时，它报出了下列数据：正前方x米，左侧y米，高度z米，这三个数字就是飞机在活动标架上的三个坐标分量，它们也都是t的函数，即使飞机不动，飞机的坐标也是要改变的。当然地面上指挥所的雷达也能发现目标，测得飞机的方位（这是固定坐标架下的坐标），通知舰船。但打仗时，对舰船有用的数据正是敌机在活动标架中的坐标。
第九、十讲 曲线的弧长课后作业,
阅读：第三章 第二节 曲线的弧长 pp.85---87
预习：第三章 第三节 曲线的曲率与挠率 pp.87---94
第四节 在天体力学中的应用 pp.94---96
作业,
1,求下列曲线的切线和法平面议程：
(1) ；
(2)
2,求下列曲线的副法线和密切平面方程
(1) ；
(2) ;
3.,求曲线处的主法线和从切平面方程。
4,证明球面曲线的法平面通过球心。
5,计算圆锥螺线的弧长公式（从0到t）。
6,求下列平面曲线的弧长公式及弧长。
(1) 曲线由直角坐标中显示表示；
(2) 曲线由极坐标方程表示(＝( (()，对数螺线。
7,将方程（圆柱螺线）化成以弧长为参数的方程。
8,求曲线在处的弗雷耐标架。
第二节 曲线的弧长
3.2.1 曲线的弧长设曲线,，
其中，我们来定义和计算曲线C的弧长。
将区间分成n份，记分点为，则曲线C也相应的分成n段，C上的对应分点是,i=0,1,2,…,n,点,之间的线段长为，记。如果极限：
存在，则称该极限为曲线C在上所对应的曲线段的弧长。
对于光滑曲线，可以证明，这个极限等于在上的定积分，即 。
设t0,t(,t0是固定值，记为到的弧长，并规定t>t0时,
弧长函数s(t)是t的增函数，且 ,
即
可推出平面曲线在直角坐标系和极坐标系中的弧长公式：
弧微分,
即，.
若则
,
这表示弧长函数是光滑的单调增函数，故s(t)的反函数存在，以此代入，
得到以弧长s为参数的曲线C的方程
弧长参数也称为自然参数。
引理2.1 设曲线,则t为弧长参数的充要条件是 。
证：必要性,
若以弧长s代换参数t,有.
充分性：
设由,到段的弧长：
所以t为弧长参数；若，
则 (c为常数)，即均为弧长参数，二者仅在起点和弧长的增减方向上可能有差别。
例1 设中的直线方程,,
其中是常向量，求直线上由点t=0 到点t之间的弧长s及直线的弧长参数表达式。
解 直线的方向向量为 ,
所求弧长是
由此解得反函数,,
代入原直线方程，即得直线由其弧长作为参数的方程：
,
其中表示直线方向的单位向量。
例2 求圆柱螺线从t＝0起计算的弧长s，
并求圆柱螺线的弧长参数表达式。
解 圆柱螺线在点t处的切向量是
所求弧长为
由此我们得到圆柱螺线由自然参数s表示的方程,
,其中，.
注意的第三个分量是常数，与参数t无关，故圆柱螺线的切向量和z轴的夹角(的余弦为
,
这就是说：圆柱螺线上任一点的切线与z轴交成定角。
用具有明确几何意义的弧长s代替原来的一般不具有几何意义的任意参数t，会给问题的讨论带来很大的方便，特别是理论问题，用弧长作参数，将使一些公式大为简化,
3.2.2 切线和法平面设中曲线C以自然参数表示为
,
为C的正则点。C在点s0的切线向量：
切线方程为
其中是C在点s0的切线的向径,(为参数。
法平面,过点与切线垂直平面称为C在法平面，
法面方程为
,
其中是C在点s0的法平面上的向径。
例3 求螺旋线在点处的切线和法平面。
解 时,
故在点处螺旋线的切线议程为
是参数，
或 ,
法平面方程为 ,
即 .
3.2.3 密切平面和副法线密切平面经过曲线C上点 的切线的平面称为切平面,其中有一个最贴近C的平面称为密切平面。
其具体定义为：过C上点 的切线及其邻近点作一平面 ，当时，若((有极限位置(，则称(为C在点r(s0)的密切平面。设该平面的法向量为单位向量,则由这是由于的法向量平行于向量
可得,,
再利用 和
( 是定长向量，所以)，即得密切平面的单位法向量:
.
密切平面方程为
或
如果是平面曲线，则其上任一点的密切平面就是曲线所在平面。
副法线,密切平面的法线称为C在处的副法线，单位副法线向量以表示，则
副法线方程为
或 .
曲线C的一般参数方程，它在处的单位副法线向量为 .
例4 求圆锥螺线 在坐标原点处的密切平面方程和副法线方程。
解 坐标原点对应于t=0,
所以，螺线在原点处的密切平面方程为
即 ,
螺旋线在原点处的副法线方程为
即
其中t 是参数。
3.2.4 主法线和从切平面主法线,在曲线C的任一点处，
在已有切线和法平面、密切平面和副法线的概念的基础上，
我们把密切平面和法平面的交线称为主法线，过点且以主法线为法向量的平面称为从切平面。
以表示过的单位主法线向量，取
由于是定长向量，
所以 ；
再由，
,
过的主法线和从切平面的方程分别为
和
若曲线C的方程为,则
例5 求圆柱螺线在任一点t处的切线和法平面、密切平面和副法线、主法线和从切平面。
得向量
副法线向量
主法线向量
故得切线方程
；
副法线方程
；
主法线方程
；
法平面方程
；
密切平面方程
；
从切平面方程：
3.2.5 弗雷耐标架上面我们得到曲线C：在处的单位切向量、单位副法线向量和单位主法线向量，它们以自然参数s表示和以一般参数t表示的公式如下表所示。
空间曲线方程
空间曲线方程
弧长
s
弧微分
在曲线C上任一点处，都有互相正交的三个单位向,和，且依上述次序构成一个右旋系，我们把它看成是粘附在C上点处以为原点的右旋单位正交坐标系，当s在C上移动时，这个坐标系也随着运动，是个活动的坐标架。
定义2.1 曲线在点s处的单位正交向量,和按右手法则组成的坐标系，称为曲线在点s处的弗雷耐(Frenet)标架，记作
显然，
例6 设圆柱螺线的方程为,且有
式中，求曲线在s处的弗雷耐标架解 由和得知s为弧长参数。所以
当b>0时的圆柱螺线，它是右旋的；
当b>0，的第三分量(b是向上倾斜的。的第三分量为零，它总是平行于水平平面且指向z轴。的第三个分量(a>0，它是向上倾斜的。它是左旋的。
在曲线论中，用活动的弗雷耐标架取代固定的笛卡尔直角标加，会给问题的研究带来很大的方便，这种活动标架的方法在其他学科中（如运动学中）也被广泛地使用。
人们在实际生活中，也经常利用活动标架的方法。如，一条船航行在茫茫大海上，如果取其前进的方向为T，铅垂向上为B，则 是沿水平指向左舷的向量。这样就组成了一个标架，由于船本身在前进，因此它们都是时间t的函数，是一个活动标架，当水手观察到海面上空一架飞机时，它报出了下列数据：正前方x米，左侧y米，高度z米，这三个数字就是飞机在活动标架上的三个坐标分量，它们也都是t的函数，即使飞机不动，飞机的坐标也是要改变的。当然地面上指挥所的雷达也能发现目标，测得飞机的方位（这是固定坐标架下的坐标），通知舰船。但打仗时，对舰船有用的数据正是敌机在活动标架中的坐标。
