第七章 定积分
( The definite integration )
7-1定积分概念与性质
7-2 可积性与可积函数类
6-3 Newton－Leibniz公式
7-3-1 变上限定积分
7-3-2 N－L公式
7-4 定积分的计算方法
7-4-1 变量置换法
7-4-2 分部积分法
7-4-3 计算举例积分
7-5 定积分的应用
7-5-1 定积分应用的两种思想
7-5-2 定积分在几何方面的应用
7-5-3 定积分在物理方面的应用
7-6 广义积分
7-6-1 在无穷区间上的广义积分
7-6-2 在无穷区间上的广义积分
7-6-3 应用
第十八讲 Newton－Leibniz公式与定积分的计算课后作业,
阅读：第七章 7.4,256---262; 7.5,pp263---268;
预习：7.6,pp269---285; 7.7,pp.288---295
练习 pp.262---263,习题 7.4
复习题全部 习题 1,(1),(2); 2,(1); 3,单数题号 ;
5,(1),(2)
pp.268---269,习题 7.5
习题 1,(1),(2),(3),(5),(6); 2,(1),(2),(3),(5),(7);
3,(1),(2);
作业 pp.262---263,习题 7.4
习题 1,(3),(4); 2,(2); 3,双数题号 ; 5,(3),(4)
pp.268---269,习题 7.5
习题 1,(4),(7),(8),(9),(10); 2,(4),(6),(8),(9),(10);
4; 5; 6
6-3 牛顿(Newton)－莱布尼兹(Leibnitz)公式
7-3-1 变上限定积分
一 变上限积分
设,, 是定义在上的一个函数,称之为变上限积分.
这里有一个十分重要的结果：变上限积分总是连续函数。
定理,若 。
证明, 在上有界，设界为,
,
.
进一步，若加强条件，则有另一个重要结论。
定理,设,则,()可导，且:
,；
这样在区间上是的一个原函数.
证明,,有
=
=
因在连续,由积分中值定理,存在,使
, 在和之间,
当为时,可以。分别用右、左导数定义类似地证明。
显然地，有以下结果：若,,
,
,
,
==
例1,求极限
解:由洛比塔法则,
=
7-3-2 N－L公式
定理,( 牛顿—莱布尼茨公式) 设,是
在上的一个原函数,则有
.
证明：因,则变上限积分在区间上是的一个原函数,并且按照的定义有
.
今是在上另一个原函数,则存在常数,使得
。
再利用条件,确定常数,
,
于是,,
写成,
这就是Newton---Leibniz公式，又称微积分基本公式。
牛顿—莱布尼茨公式又可以写成
这个公式是由牛顿和莱布尼茨独立完成的,所以称之为牛顿—莱布尼茨公式,这个公式把计算定积分与求原函数,这两个看来不太有关的问题联系在一起,从而给出了计算定积分的一个有效的方法。这是数学历史发展中的重大发现。 ,因此对于在上的任何一个原函数都有
牛顿—莱布尼茨公式又可以写成
,
例2:计算定积分
解,因为在区间是被积函数一个原函数，根据牛顿—莱布尼茨公式得到
.
最好与不定积分求原函数结合起来：
=
.
例2:计算定积分
解,
=
例3,计算
解,
.
例4,计算.
解,
=;
=
==
= (? )
= 。
可以验证：,
,
=0有根,
和 ,
其中,
即函数在内不连续，有间断点,因而发生了问题。
例4,计算.
解1：分三种情形：
x<0,则
x>1,则
0( x ( 1,则
解2：这样做行吗？：
==
=
7-4 定积分的计算方法
7-4-1 变量置换法
定理：设(连续),如果函数满足下列条件：
在上连续可导,且;
;
则 .
由于保证了两边被积函数的连续性，因而直接利用N--L公式即可证
明。
定理：设(可积),如果函数满足下列条件：
(1) 在上连续可导,且单调 ;
(2) ;
则 .
这个证稍麻烦，要把两边化成积分和,对用有限增量公式来证明，有兴趣者可尝试之。
例 4,证明,若,则.
证：令 ,,
=
=
.
求,
=
例2,若,求极限
.
解：=
==
=
7-4-2 分部积分法由不定积分的分部积分到定积分的分部积分没有什么特别之处，只是可随式的推导及时代入积分限即可,
对于分部积分的计算同样有三种情形：化简型；循环型及递推型。特别是递推型用得多。
例4,计算
解,先求的原函数.令,则,于是
于是
例4,计算=
( The definite integration )
7-1定积分概念与性质
7-2 可积性与可积函数类
6-3 Newton－Leibniz公式
7-3-1 变上限定积分
7-3-2 N－L公式
7-4 定积分的计算方法
7-4-1 变量置换法
7-4-2 分部积分法
7-4-3 计算举例积分
7-5 定积分的应用
7-5-1 定积分应用的两种思想
7-5-2 定积分在几何方面的应用
7-5-3 定积分在物理方面的应用
7-6 广义积分
7-6-1 在无穷区间上的广义积分
7-6-2 在无穷区间上的广义积分
7-6-3 应用
第十八讲 Newton－Leibniz公式与定积分的计算课后作业,
阅读：第七章 7.4,256---262; 7.5,pp263---268;
预习：7.6,pp269---285; 7.7,pp.288---295
练习 pp.262---263,习题 7.4
复习题全部 习题 1,(1),(2); 2,(1); 3,单数题号 ;
5,(1),(2)
pp.268---269,习题 7.5
习题 1,(1),(2),(3),(5),(6); 2,(1),(2),(3),(5),(7);
3,(1),(2);
作业 pp.262---263,习题 7.4
习题 1,(3),(4); 2,(2); 3,双数题号 ; 5,(3),(4)
pp.268---269,习题 7.5
习题 1,(4),(7),(8),(9),(10); 2,(4),(6),(8),(9),(10);
4; 5; 6
6-3 牛顿(Newton)－莱布尼兹(Leibnitz)公式
7-3-1 变上限定积分
一 变上限积分
设,, 是定义在上的一个函数,称之为变上限积分.
这里有一个十分重要的结果：变上限积分总是连续函数。
定理,若 。
证明, 在上有界，设界为,
,
.
进一步，若加强条件，则有另一个重要结论。
定理,设,则,()可导，且:
,；
这样在区间上是的一个原函数.
证明,,有
=
=
因在连续,由积分中值定理,存在,使
, 在和之间,
当为时,可以。分别用右、左导数定义类似地证明。
显然地，有以下结果：若,,
,
,
,
==
例1,求极限
解:由洛比塔法则,
=
7-3-2 N－L公式
定理,( 牛顿—莱布尼茨公式) 设,是
在上的一个原函数,则有
.
证明：因,则变上限积分在区间上是的一个原函数,并且按照的定义有
.
今是在上另一个原函数,则存在常数,使得
。
再利用条件,确定常数,
,
于是,,
写成,
这就是Newton---Leibniz公式，又称微积分基本公式。
牛顿—莱布尼茨公式又可以写成
这个公式是由牛顿和莱布尼茨独立完成的,所以称之为牛顿—莱布尼茨公式,这个公式把计算定积分与求原函数,这两个看来不太有关的问题联系在一起,从而给出了计算定积分的一个有效的方法。这是数学历史发展中的重大发现。 ,因此对于在上的任何一个原函数都有
牛顿—莱布尼茨公式又可以写成
,
例2:计算定积分
解,因为在区间是被积函数一个原函数，根据牛顿—莱布尼茨公式得到
.
最好与不定积分求原函数结合起来：
=
.
例2:计算定积分
解,
=
例3,计算
解,
.
例4,计算.
解,
=;
=
==
= (? )
= 。
可以验证：,
,
=0有根,
和 ,
其中,
即函数在内不连续，有间断点,因而发生了问题。
例4,计算.
解1：分三种情形：
x<0,则
x>1,则
0( x ( 1,则
解2：这样做行吗？：
==
=
7-4 定积分的计算方法
7-4-1 变量置换法
定理：设(连续),如果函数满足下列条件：
在上连续可导,且;
;
则 .
由于保证了两边被积函数的连续性，因而直接利用N--L公式即可证
明。
定理：设(可积),如果函数满足下列条件：
(1) 在上连续可导,且单调 ;
(2) ;
则 .
这个证稍麻烦，要把两边化成积分和,对用有限增量公式来证明，有兴趣者可尝试之。
例 4,证明,若,则.
证：令 ,,
=
=
.
求,
=
例2,若,求极限
.
解：=
==
=
7-4-2 分部积分法由不定积分的分部积分到定积分的分部积分没有什么特别之处，只是可随式的推导及时代入积分限即可,
对于分部积分的计算同样有三种情形：化简型；循环型及递推型。特别是递推型用得多。
例4,计算
解,先求的原函数.令,则,于是
于是
例4,计算=
