第六章 常微分方程
6-2高阶线性方程
6-2-1 线性方程解的结构
6-2-2 高阶线性常系数方程的解
6-2-3 Euler方程
第二十二讲 高阶线性方程(一)
课后作业,
阅读：第六章 6-1 pp,189—194
预习：第六章 6-2 pp,194—199
作业题,p.199 习题2 1,(2),(4); 2; 3,(2)
引言：
阶线性微分方程的一般形式为
其中以及都是区间上的已知连续函数.当时,(3.1)变成相应的齐次方程:
为简便计，记：阶导数符号,及多项式微分算子：
,
这样阶线性齐次微分方程可表成,
阶线性非齐次微分方程可表成：
易于验证，算子对函数的作用具有线性性。
对于阶线性微分方程解的存在唯一性定理:
定理,设方程中的系数以及非齐次项都是区间上的已知连续函数,,则对于任意一组实数方程满初值条件:
的解在区间上存在唯一.
6-2-1 线性方程解的结构函数的线性相关性：
定义,在区间上的个函数线性相关，是指，
存在个不全为零的常数，使得
;
否则称为线性无关.
性质：
若个函数线性相关 郎斯基(Wronsky)行列式恒为零,即：=
若存在,使得函数线性无关。
例如:设互不相等,则函数在任意区间上线性无关.
线性方程解的结构若都是方程的解,则对任意常数,
函数也是该方程的解.
证明：只要利用多项式微分算子的线性性即可。
方程的所有解构成一个维线性空间,其中任意个线性无关的解，,构成该空间的一组基。
证明：的所有解构成线性空间是明显的；
关键要证明它是维的，即要证恰有个线性无关之解.
为此要用到解存在唯一性定理。今以二阶为例，高阶证法一样。
设有二阶齐次方程,,下面证明：其解集是一个之维的线性空间。设在中连续由多项子微分算子的线性运算可知解集是一线性空间。
线性空间是二维的，即有二个无关解，构成基。
由解的存在唯一性定确定两个解：
是满足条件之解;
是满足条件之解
可断言两个解无关解,因为其郎斯基行列式在处不为零，
即
(2-2) 进一步可证该郎斯基行列式恒不为零,因为,
;
最后，证明这两个解张成上述方程之解空间：即可证,
,方程之解,
都可表成,。事实上,
利用初始条件,确定常数，得代数方程：
;
由于系数行列式,,因而总有唯一解。 这就证明了，线性无关的两个函数张成了齐次方程 的解空间。
。非齐次方程之解
非齐次方程任意两个解之差是齐次方程的解; 因此，如果已知方程有一个特解,那么它的每个解都可以表示为 ,其中是齐次方程的解,
例如:方程
与相应的齐次方程 ,
不难验证,是齐次方程 的两个线性无关解,
是非齐次方程 的一个特解.
因此,齐次方程的通解是 .
而非齐次方程的通解为 .
线性方程解的求解：观察待定法。
设有二阶齐次方程,,
若己知二阶齐次方程的一个特解，用变动任意常数法,
设，代入方程 可求出另一个无关特解。
若己知二阶齐次方程的二个无关特解，,用变动任意常数法,
设,
代入方程,可求出非齐次方程的一个特解。
例1：
解：可观察出一个解：
今利用侍定函数法求第二个特解 ( 变动任意常数法),
解是.
例2：
解：多项式解：,;
; .
例3：,
,
6-2高阶线性方程
6-2-1 线性方程解的结构
6-2-2 高阶线性常系数方程的解
6-2-3 Euler方程
第二十二讲 高阶线性方程(一)
课后作业,
阅读：第六章 6-1 pp,189—194
预习：第六章 6-2 pp,194—199
作业题,p.199 习题2 1,(2),(4); 2; 3,(2)
引言：
阶线性微分方程的一般形式为
其中以及都是区间上的已知连续函数.当时,(3.1)变成相应的齐次方程:
为简便计，记：阶导数符号,及多项式微分算子：
,
这样阶线性齐次微分方程可表成,
阶线性非齐次微分方程可表成：
易于验证，算子对函数的作用具有线性性。
对于阶线性微分方程解的存在唯一性定理:
定理,设方程中的系数以及非齐次项都是区间上的已知连续函数,,则对于任意一组实数方程满初值条件:
的解在区间上存在唯一.
6-2-1 线性方程解的结构函数的线性相关性：
定义,在区间上的个函数线性相关，是指，
存在个不全为零的常数，使得
;
否则称为线性无关.
性质：
若个函数线性相关 郎斯基(Wronsky)行列式恒为零,即：=
若存在,使得函数线性无关。
例如:设互不相等,则函数在任意区间上线性无关.
线性方程解的结构若都是方程的解,则对任意常数,
函数也是该方程的解.
证明：只要利用多项式微分算子的线性性即可。
方程的所有解构成一个维线性空间,其中任意个线性无关的解，,构成该空间的一组基。
证明：的所有解构成线性空间是明显的；
关键要证明它是维的，即要证恰有个线性无关之解.
为此要用到解存在唯一性定理。今以二阶为例，高阶证法一样。
设有二阶齐次方程,,下面证明：其解集是一个之维的线性空间。设在中连续由多项子微分算子的线性运算可知解集是一线性空间。
线性空间是二维的，即有二个无关解，构成基。
由解的存在唯一性定确定两个解：
是满足条件之解;
是满足条件之解
可断言两个解无关解,因为其郎斯基行列式在处不为零，
即
(2-2) 进一步可证该郎斯基行列式恒不为零,因为,
;
最后，证明这两个解张成上述方程之解空间：即可证,
,方程之解,
都可表成,。事实上,
利用初始条件,确定常数，得代数方程：
;
由于系数行列式,,因而总有唯一解。 这就证明了，线性无关的两个函数张成了齐次方程 的解空间。
。非齐次方程之解
非齐次方程任意两个解之差是齐次方程的解; 因此，如果已知方程有一个特解,那么它的每个解都可以表示为 ,其中是齐次方程的解,
例如:方程
与相应的齐次方程 ,
不难验证,是齐次方程 的两个线性无关解,
是非齐次方程 的一个特解.
因此,齐次方程的通解是 .
而非齐次方程的通解为 .
线性方程解的求解：观察待定法。
设有二阶齐次方程,,
若己知二阶齐次方程的一个特解，用变动任意常数法,
设，代入方程 可求出另一个无关特解。
若己知二阶齐次方程的二个无关特解，,用变动任意常数法,
设,
代入方程,可求出非齐次方程的一个特解。
例1：
解：可观察出一个解：
今利用侍定函数法求第二个特解 ( 变动任意常数法),
解是.
例2：
解：多项式解：,;
; .
例3：,
,
