第四章 重积分
4-1重积分的概念与性质
4-1-1引言、背景
4-1-2 重积分定义
4-1-3 重积分性质
第十一讲 二重积的概念与性质中的应用课后作业,
阅读：第四章 第一节 重积分的概念与性质 pp.97---101
预习,第二节 二重积分的计算 pp.102---109
作业,第四章 习题1,p,102,1,(1); 2,(1); 3,(2); 4; 5; 8,(1),(2),
4-1-1引言、背景
定积分作为积分和式这种概念向多元函数的推广，就是重积分。
z
z = f(x,y) Pi
y y +d y y y
x d (
x + d x D
x
例一 曲顶柱体的体积曲顶柱体是空间一区域，由三张曲面围成:
第一张,由表示的空间曲面第二张,位于上述函数定义域内的(平面上) 有界闭区域;
第三张：是母线与平行于轴、垂直于的柱面柱面,
如何求曲顶柱体的体积？
首先，分小取近似：即：
将区域分割成小块：(也表每小块面积)；
相应地也被分成了个小曲顶柱体，(也表每小曲顶柱体之体积),显然可得近似值：
其中,.
接着，求和取极限：即：
因此得到曲顶柱体的体积的一个近似值
,
可以认为，其极限值
(如果存在)就是其体积,这里
,
例二 非均匀分布的质量计算设有一块薄板,薄板上有质量分布不均匀的物质.那么如何求薄板的质量?
用表示薄板占据的平面有界区域,并且用
表示区域(即薄板上)中的点处的密度.
首先，分小取近似：即：
将区域分割成小块：(也表每小块面积)；
相应地薄板质量也被分成了个小块薄板，(也表每小块薄板之质量),显然可得近似值：
其中,.
接着，求和取极限：即：
因此得到薄板质量的一个近似值
,
可以认为，其极限值
以上两个问题的具体意义不同,但是解决问题的思想方法确是相同的.如果我们忽略问题的具体的几何意义与物理意义,只注意解决问题过程中的数学思想,就得到二元函数在有界区域上的积分概念,
4-1-2 重积分定义
在一元函数微积分学中，
黎曼积分是作为一种和式的极限而定义的.
现在在二元函数中先于以推广,
设,,
为了叙述方便，先引进几个名词.
划分,将一个平面或空间的区域分成份，使得：; 且 ,
称是的一个划分,记为：,
称为的一个子域；
集合的直径,设是一点集
称为集合的直径划分的直径
称为划分的直径.
定义1 设,是有界闭区域，若对于的任意划分，及任意取点 ,积分和式的极限
存在，则称在上(黎曼)可积，记,
此极限称为在上的二重积分，记作
;
是二重积分号,是积分域，是被积函数，为面积元.
若用“”语言，可以用如下的形式描述二重积分的定义：
定义1’ 设,是有界闭区域，如果有常数,，,对于的任意划分，
及任意取点 ,只要，就有
成立，
则称在上可积，其中的为在上的二重积分.
这样：曲顶柱体的体积就是在上的二重积分值，即
类似地，面密度为的平面薄板的质量是
.
类似地可以给出，三重积分的定义.
定义2 设,是有界闭区域，若对于的任意划分,及任意取点 ,积分和式的极限
存在，则称在上(黎曼)可积，记,
此极限称为在上的三重积分，记作
;
是三重积分号,是积分域，是被积函数，为面积元.
其中,是三重积分号，是积分域，是被积函数，是体积元.
这里的是的划分的直径; 又表子区域的体积.
4-1-3 重积分性质
从重积分的定义可以看出，重积分与定积分本质上是一致的，都是反映函数整体性质的一个量，且定义方式也是一样的.因此定积分的所有性质都可以平移到重积分上来，以下仅对二重积分列出其有关性质,至于三重分则完全雷同,其性质请自行给出.
设,是有界闭区域,
重积分的存在性：
定理 (可积的必要条件） 若在有界闭域上可积，则在上有界.
定理 (可积的充分必要条件）设,是有界闭区域，二则二重积分存在的充要条件是：
对于的任意划分，极限
,
其中
为函数在子域上的振幅。
可积函数类I,在有界闭域上连续的函数在上可积.
可积函数类II,在有界闭域上分块连续的函数在上可积,即：在有界闭域上有界，在其内部上连续，的边界是有限段逐段光滑的曲线.
二重积分几何意义,其值为,曲面在区域上,曲顶柱体体积代数之和。
此定理的证明分定积分可积性的研究类似，此处了作赘述。
例1 求，其中.
解 因为的图形是球心在原点，半径为的上半球面，所以，由二重积分的几何意义可知
表示的是半径为的半球的体积，因此
运算的线性性 若，则，有 ，且
对积分域的可加性,设，且与无公共内点，若，则，且
反之亦然.
保号(序)性 若,且
，则
特别地，若，则 .
若，,则
.
若，,则，且
估值定理 若，且，则
其中，表示积分域的面积.
积分中值定理 设，，且在上不变号，则存在一点，使得
特别地，当时，有
其中，为积分域的面积.
例2 估计积分值所在的范围，其中.
解 首先求被积函数在上的最大、最小值.
由于方程组在内无解，因此在上的最值一定在其边界上取到.
为此解下列条件极值问题：
,
令，解方程组
得，且
所以函数在上的最大，最小值分别是和，
再注意到的面积为，由估值定理得
.
设可积，区域对称于轴,
(1) 若,则积分;
若,则积分,
其中.,关于轴对称。
估计二重积分之值.
;
=
,
=
4-1重积分的概念与性质
4-1-1引言、背景
4-1-2 重积分定义
4-1-3 重积分性质
第十一讲 二重积的概念与性质中的应用课后作业,
阅读：第四章 第一节 重积分的概念与性质 pp.97---101
预习,第二节 二重积分的计算 pp.102---109
作业,第四章 习题1,p,102,1,(1); 2,(1); 3,(2); 4; 5; 8,(1),(2),
4-1-1引言、背景
定积分作为积分和式这种概念向多元函数的推广，就是重积分。
z
z = f(x,y) Pi
y y +d y y y
x d (
x + d x D
x
例一 曲顶柱体的体积曲顶柱体是空间一区域，由三张曲面围成:
第一张,由表示的空间曲面第二张,位于上述函数定义域内的(平面上) 有界闭区域;
第三张：是母线与平行于轴、垂直于的柱面柱面,
如何求曲顶柱体的体积？
首先，分小取近似：即：
将区域分割成小块：(也表每小块面积)；
相应地也被分成了个小曲顶柱体，(也表每小曲顶柱体之体积),显然可得近似值：
其中,.
接着，求和取极限：即：
因此得到曲顶柱体的体积的一个近似值
,
可以认为，其极限值
(如果存在)就是其体积,这里
,
例二 非均匀分布的质量计算设有一块薄板,薄板上有质量分布不均匀的物质.那么如何求薄板的质量?
用表示薄板占据的平面有界区域,并且用
表示区域(即薄板上)中的点处的密度.
首先，分小取近似：即：
将区域分割成小块：(也表每小块面积)；
相应地薄板质量也被分成了个小块薄板，(也表每小块薄板之质量),显然可得近似值：
其中,.
接着，求和取极限：即：
因此得到薄板质量的一个近似值
,
可以认为，其极限值
以上两个问题的具体意义不同,但是解决问题的思想方法确是相同的.如果我们忽略问题的具体的几何意义与物理意义,只注意解决问题过程中的数学思想,就得到二元函数在有界区域上的积分概念,
4-1-2 重积分定义
在一元函数微积分学中，
黎曼积分是作为一种和式的极限而定义的.
现在在二元函数中先于以推广,
设,,
为了叙述方便，先引进几个名词.
划分,将一个平面或空间的区域分成份，使得：; 且 ,
称是的一个划分,记为：,
称为的一个子域；
集合的直径,设是一点集
称为集合的直径划分的直径
称为划分的直径.
定义1 设,是有界闭区域，若对于的任意划分，及任意取点 ,积分和式的极限
存在，则称在上(黎曼)可积，记,
此极限称为在上的二重积分，记作
;
是二重积分号,是积分域，是被积函数，为面积元.
若用“”语言，可以用如下的形式描述二重积分的定义：
定义1’ 设,是有界闭区域，如果有常数,，,对于的任意划分，
及任意取点 ,只要，就有
成立，
则称在上可积，其中的为在上的二重积分.
这样：曲顶柱体的体积就是在上的二重积分值，即
类似地，面密度为的平面薄板的质量是
.
类似地可以给出，三重积分的定义.
定义2 设,是有界闭区域，若对于的任意划分,及任意取点 ,积分和式的极限
存在，则称在上(黎曼)可积，记,
此极限称为在上的三重积分，记作
;
是三重积分号,是积分域，是被积函数，为面积元.
其中,是三重积分号，是积分域，是被积函数，是体积元.
这里的是的划分的直径; 又表子区域的体积.
4-1-3 重积分性质
从重积分的定义可以看出，重积分与定积分本质上是一致的，都是反映函数整体性质的一个量，且定义方式也是一样的.因此定积分的所有性质都可以平移到重积分上来，以下仅对二重积分列出其有关性质,至于三重分则完全雷同,其性质请自行给出.
设,是有界闭区域,
重积分的存在性：
定理 (可积的必要条件） 若在有界闭域上可积，则在上有界.
定理 (可积的充分必要条件）设,是有界闭区域，二则二重积分存在的充要条件是：
对于的任意划分，极限
,
其中
为函数在子域上的振幅。
可积函数类I,在有界闭域上连续的函数在上可积.
可积函数类II,在有界闭域上分块连续的函数在上可积,即：在有界闭域上有界，在其内部上连续，的边界是有限段逐段光滑的曲线.
二重积分几何意义,其值为,曲面在区域上,曲顶柱体体积代数之和。
此定理的证明分定积分可积性的研究类似，此处了作赘述。
例1 求，其中.
解 因为的图形是球心在原点，半径为的上半球面，所以，由二重积分的几何意义可知
表示的是半径为的半球的体积，因此
运算的线性性 若，则，有 ，且
对积分域的可加性,设，且与无公共内点，若，则，且
反之亦然.
保号(序)性 若,且
，则
特别地，若，则 .
若，,则
.
若，,则，且
估值定理 若，且，则
其中，表示积分域的面积.
积分中值定理 设，，且在上不变号，则存在一点，使得
特别地，当时，有
其中，为积分域的面积.
例2 估计积分值所在的范围，其中.
解 首先求被积函数在上的最大、最小值.
由于方程组在内无解，因此在上的最值一定在其边界上取到.
为此解下列条件极值问题：
,
令，解方程组
得，且
所以函数在上的最大，最小值分别是和，
再注意到的面积为，由估值定理得
.
设可积，区域对称于轴,
(1) 若,则积分;
若,则积分,
其中.,关于轴对称。
估计二重积分之值.
;
=
,
=
